平頂山許昌濟源2021—2022學年高三第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（）A.  B.  C.  D. 【1題答案】【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再求兩集的交集【詳解】由，得，所以，因為，所以，故選：B2. 若，則的虛部為（）A.  B.  C.  D. 【2題答案】【答案】D【解析】【分析】由求出復數(shù)，從而可求出其虛部.【詳解】由得，故的虛部為，故選：D.3. 若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則（）A. －4 B. －1 C. 1 D. 4【3題答案】【答案】C【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進而求出和的值，由此可得出的值.【詳解】設等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，，那么故選：C.4. 搭載神州十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭，精準點火發(fā)射后約582秒，進入預定軌道，發(fā)射取得圓滿成功．據(jù)測算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg）、火箭的質(zhì)量m（除燃料外，單位：kg）的函數(shù)關系是．當火箭的最大速度為11.5km/s時，約等于（）（參考數(shù)據(jù)：）A. 313 B. 314 C. 312 D. 311【4題答案】【答案】B【解析】【分析】先將火箭的最大速度化為，然后代入給出的表達式中，即可求出答案.【詳解】火箭的最大速度為11.5km/s,即所以，所以即故選：B5. 已知，，則（）A.  B. 12 C. －12 D. 【5題答案】【答案】C【解析】【分析】先求出和，利用二倍角公式求出，直接代入即可求解.【詳解】因為，，解得：，所以.所以所以.故選：C6. 已知函數(shù)，若，則（）A.  B.  C.  D. 【6題答案】【答案】D【解析】【分析】先得到，進而由得到答案.【詳解】定義域為R，且，又，所以，所以.故選：D7. 右圖是一張“春到福來”的剪紙窗花，為了估計深色區(qū)域的面積，將窗花圖案放置在邊長為的正方形內(nèi)，在該正方形內(nèi)隨機生成個點，恰有個點落在深色區(qū)域內(nèi)，則此窗花圖案中深色區(qū)域的面積約為（）A.  B.  C.  D. 【7題答案】【答案】B【解析】【分析】設此窗花圖案中深色區(qū)域的面積為，根據(jù)幾何概型的概率公式可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】設此窗花圖案中深色區(qū)域的面積為，由幾何概型的概率公式可得，解得.故選：B.8. 已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為（）A.  B. C.  D. 【8題答案】【答案】A【解析】【分析】由表示圓可得，點A（1，2）在圓C外可得，求解即可【詳解】由題意，表示圓故，即或點A（1，2）在圓C：外故，即故實數(shù)m的取值范圍為或即故選：A9. 已知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖像交于A，B，C三點，則的面積是（）A. 2 B.  C.  D. 4【9題答案】【答案】A【解析】【分析】先求出于A，B，C三點坐標，得出是等腰三角形，進而求出面積.【詳解】，則，令，即或或，解得：，，，不妨設，，，則為等腰三角形，故選：A10. “中國天眼”射電望遠鏡的反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓面為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，為球冠的高），設球冠底的半徑為r，周長為C，球冠的面積為S，則當，時，（）A.  B.  C.  D. 【10題答案】【答案】B【解析】【分析】作出示意圖，根據(jù)條件先求出r，然后根據(jù)并結(jié)合勾股定理求出R，進而得到答案.【詳解】如示意圖，根據(jù)題意，，由勾股定理可得，聯(lián)立方程解得.于是.故選：B.11. 過雙曲線的下焦點作圓的切線，切點為E，延長FE交拋物線于點P，O為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為（）A.  B.  C.  D. 【11題答案】【答案】D【解析】【分析】先設雙曲線的上焦點為，則，因為拋物線為，所以為拋物線的焦點，O為的中點，又可得E為FP的中點，所以OE為的中位線，得到，再設，由得出關于a，c的關系式，最后即可求得離心率．【詳解】設雙曲線的上焦點為，則拋物線為，為拋物線的焦點，O為的中點，，則為FP的中點，又為的中點，則為的中位線．．，．切圓O于E，．． 設，則，．由點在拋物線上，則在直角中，即，整理得即，又，所以故選：D．12. 已知，，，則a，b，c的大小關系是（）A.  B.  C.  D. 【12題答案】【答案】A【解析】【分析】記，利用導數(shù)證明出，令時，證明出；記，利用導數(shù)證明出，令時，.即可得到結(jié)論.【詳解】記，則.令，解得：；，解得：；所以在單減，在單增.所以，即.當時，有，即.記，則.令，解得：；，解得：；所以在單增，在單減.所以，即.當時，有，即.所以.故選：A【點睛】指、對數(shù)比較大?。?/span>（1）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；（2）結(jié)構(gòu)不同的，尋找“中間橋梁”，通常與0、1比較.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為______．【13題答案】【答案】3【解析】【分析】由題意，即，要使得最大，即直線與可行域相交，且截距最小，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】由題意，即，要使得最大，即直線與可行域相交，且截距最小，畫出可行域如圖所示：如圖所示，當直線經(jīng)過與的交點時，截距最小即最大，故的最大值為故答案為：314. 設向量，滿足，，與的夾角為60°，則______．【14題答案】【答案】【解析】【分析】首先可得的值，然后利用可算出答案.【詳解】因為向量，滿足，，與的夾角為60°，所以所以故答案為：15. 設為數(shù)列的前n項和，滿足，，數(shù)列的前n項和為，滿足，則______．【15題答案】【答案】【解析】【詳解】因為為數(shù)列的前n項和，滿足，，所以當時，當時，因為當時也滿足，所以所以所以所以故答案為：16. 已知P是橢圓上的動點，且不在坐標軸上，，是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，若M是的角平分線上一點，且，則的取值范圍是______．【16題答案】【答案】【解析】【分析】設在第一象限，延長交的延長線于點，連接，然后可得，推導出（其中為的橫坐標），從而，由可知，由此能夠得到的取值范圍．【詳解】由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限，延長交的延長線于點，連接，由于在的角平分線上，可知，所以△與全等，則，再由，知，，（其中為的橫坐標），，由可知，由橢圓的方程知，的取值范圍是，．故答案為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17—21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，且滿足．（1）求角C的大??；（2）若，求的面積．【17~18題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可轉(zhuǎn)化為，即，結(jié)合，可得解；（2）由，，化簡可得，結(jié)合可得，利用正弦定理可得，再利用面積公式即得解【小問1詳解】由題意，，結(jié)合正弦定理故又，故故，即，又【小問2詳解】由題意，又故即，又由，代入可得：18. 近年來，隨著社會對教育的重視，家庭的平均教育支出增長較快，隨機抽樣調(diào)查某市2015~2021年的家庭平均教育支出，得到如下折線圖．（附：年份代碼1~7分別對應的年份是2015~2021）．經(jīng)計算得，，，，．（1）用線性回歸模型擬合y與t的關系，求出相關系數(shù)r（精確到0.01），并指出是哪一層次的相關性？（2）建立y關于t的回歸方程；（3）若2022年該市某家庭總支出為10萬元，預測該家庭教育支出約為多少萬元？附：（i）相關系數(shù)：；相關系數(shù)時相關性較強，時相關性一般，時相關性較弱．（ii）線性回歸方程：，其中，【18~20題答案】【答案】（1）相關性較強（2）（3）5.5萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題干數(shù)據(jù)計算，代入相關系數(shù)公式計算，即得解（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)，分別計算，即得解（3）代入，可利用（2）中的回歸方程估計家庭教育支出百分比，計算即得解【小問1詳解】故相關性較強【小問2詳解】【小問3詳解】當時，故家庭教育支出為萬元19. 如圖，內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，平面ABC，，．（1）證明：平面平面ADE；（2）求三棱錐A－CBE體積的最大值．【19~20題答案】【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】分析】（1）首先證明平面，然后得到平面即可；（2），然后求出的最大值即可.【小問1詳解】因為平面ABC，平面ABC，所以，因為內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，所以，因為，所以平面，因為四邊形DCBE為平行四邊形，所以，所以平面，因為平面ADE，所以平面平面ADE，【小問2詳解】因為平面ABC，，所以平面ABC，所以，所以當最大時，三棱錐A－CBE體積最大，設，則所以，當時等號成立，所以三棱錐A－CBE體積的最大值為.20. 如圖，圓與拋物線相交于點、、、，且．（1）若拋物線的焦點為，為其準線上一點，是坐標原點，，求拋物線的方程；（2）設與相交于點，與組成蝶形（如圖所示的陰影區(qū)域）的面積為，求點的坐標及的最大值．【20~21題答案】【答案】（1）（2），的最大值為.【解析】【分析】（1）可設點，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）設點、，則、，，將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)可求得點的坐標，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得的最大值.【小問1詳解】解：拋物線的焦點為，設點，所以，，，則，可得，故拋物線的標準方程為.【小問2詳解】解：根據(jù)圓與拋物線的對稱性，四邊形是以軸為對稱軸的等腰梯形，不妨設，、第一象限，設點、，則、，，聯(lián)立，消去可得，則關于的二次方程有兩個不等的正根，所以，解得，依據(jù)對稱性，點在軸上，可設點，由得，所以，，解得，所以，點，，當且僅當時，等號成立，故當時，取得最大值.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線定義和平面幾何的有關結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21. 已知函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若函數(shù)的最小值為M，求證：．【21~22題答案】【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）函數(shù)定義域是，求得導函數(shù)，這里是正數(shù)，引入，利用它的單調(diào)性，得其有唯一零點，是的唯一極小值點，即，由把轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)，再由導數(shù)得新函數(shù)的最大值不大于1，證得結(jié)論成立．【小問1詳解】當時，，的定義域是，，設，，則在單調(diào)遞增，且所以當時，；當時，．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】由（1）得的定義域是，，令，則，在上單調(diào)遞增，因為，所以，，故存在，使得．當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增；故時，取得最小值，即，由，得，令，，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故，即時，取最大值1，．【點睛】關鍵點睛：本題考查用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求最值，證明不等式．解題方法是利用導函數(shù)與單調(diào)性關系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得最值．只是對含有參數(shù)的最值問題，需要對導函數(shù)進行二次討論，對導函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導，確定單調(diào)性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)有關，因此對函數(shù)的最值又需引入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導數(shù)進行求值、證明等操作．本題考查了學生的邏輯思維能力，運算求解能力，屬于難題．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]22. 在直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）寫出直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）若直線與曲線C交于P，Q兩點，PQ中點為M，A（1，0），求的值．【22~23題答案】【答案】（1）直線的普通方程為，曲線C的直角坐標方程為；（2）8.【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程、極坐標方程的知識進行轉(zhuǎn)化即可；（2）直線的參數(shù)方程也可表示為（為參數(shù)），然后利用的幾何意義求解即可.【小問1詳解】由可得，即直線的普通方程為，由可得，所以，即所以曲線C的直角坐標方程為【小問2詳解】直線的參數(shù)方程也可表示為（為參數(shù)），將其代入可得，設該方程的根為，則，所以，所以[選修4－5：不等式選講]23. 已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若，使，求實數(shù)a的取值范圍．【23~24題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分三種情況去絕對值解不等式，（2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有公共點，畫出圖象，根據(jù)圖象求解【小問1詳解】當時，由，得，解得，當時，由，得，解得，當時，由，得，解得，綜上，不等式的解集為【小問2詳解】，使，則函數(shù)的圖象與直線有公共點，因為直線恒過點，令圖象的最低點為，則直線的斜率為，由圖象可知，當或時，函數(shù)的圖象與直線有公共點，所以實數(shù)a取值范圍為  

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