河南省濟(jì)源市、平頂山市、許昌市2022屆高三第二次質(zhì)量檢測（二模） 數(shù)學(xué)（理） Word版含解析

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平頂山許昌濟(jì)源2021—2022學(xué)年高三第二次質(zhì)量檢測 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上． 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效． 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回． 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 已知集合，，則（） A. B. C. M D. N 【1題答案】 【答案】D 【解析】 【分析】求得，證明函數(shù)過點(diǎn)，可得，即可求出答案. 【詳解】解：， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)過點(diǎn)， 所以， 所以. 故選：D. 2. 若復(fù)數(shù)，則（） A. B. C. D. 10 【2題答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根據(jù)虛數(shù)單位i的循環(huán)特點(diǎn)，按照復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算即可. 【詳解】由于，， ，； 故選：B. 3. 若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則（） A. －4 B. －1 C. 1 D. 4 【3題答案】 【答案】C 【解析】 【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進(jìn)而求出和的值，由此可得出的值. 【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則， 求得，，那么 故選：C. 4. 已知，，則（） A. B. 12 C. －12 D. 【4題答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先求出和，利用二倍角公式求出，直接代入即可求解. 【詳解】因?yàn)?，?解得：，所以. 所以. 所以. 故選：C 5. 已知函數(shù)，若，則（） A. B. C. D. 【5題答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，進(jìn)而由得到答案. 【詳解】定義域?yàn)镽，且，又，所以，所以. 故選：D 6. “中國天眼”射電望遠(yuǎn)鏡的反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓面為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，為球冠的高），設(shè)球冠底的半徑為r，周長為C，球冠的面積為S，則當(dāng)，時(shí)，（） A. B. C. D. 【6題答案】 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意圖，根據(jù)條件先求出r，然后根據(jù)并結(jié)合勾股定理求出R，進(jìn)而得到答案. 【詳解】如示意圖，根據(jù)題意，，由勾股定理可得，聯(lián)立方程解得. 于是. 故選：B. 7. 甲乙丙三人參加2022年冬奧會北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)志愿服務(wù)活動，若每人只能選擇一個(gè)賽區(qū)，且選擇其中任何一個(gè)賽區(qū)是等可能的．記X為三人選中的賽區(qū)個(gè)數(shù)，Y為三人沒有選中的賽區(qū)個(gè)數(shù)，則（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【7題答案】 【答案】D 【解析】 【分析】的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，從而求出，進(jìn)而求出；的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，從而求出，進(jìn)而求出，由此能求出結(jié)果． 【詳解】解：由題意得可能取值為1，2，3， 則，，， 所以， ， 的可能取值為0，1，2， 則，，， ， ； ，． 故選：D． 8. 如圖，已知AB是圓柱底面圓的一條直徑，OP是圓柱的一條母線，C為底面圓上一點(diǎn)，且，，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（） A. B. C. D. 【8題答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根據(jù)圓柱的特征，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，，，利用向量法即可求出答案. 【詳解】解：因?yàn)锳B是圓柱底面圓的一條直徑， 所以， 又OP是圓柱的一條母線， 如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)?，所以，?又因，所以， 所以，即， 設(shè)，則， 則， 則， 設(shè)平面PAB的法向量為， 則有，可取， 則， 所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為. 故選：A. 9. 已知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖像交于A，B，C三點(diǎn)，則的面積是（） A. 2 B. C. D. 4 【9題答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先求出于A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，得出等腰三角形，進(jìn)而求出面積. 【詳解】，則，令，即或或，解得：，，，不妨設(shè)，，，則為等腰三角形， 故選：A 10. 已知函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則a的取值范圍是（） A. B. C. D. 【10題答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根據(jù)題意，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得出導(dǎo)數(shù)有兩不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)的問題，結(jié)合圖象即可得出的取值范圍． 【詳解】解：函數(shù)， ， 由于函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，， 即，是方程的兩不等實(shí)根， 即方程，且， ； 設(shè)，， 因?yàn)楹氵^定點(diǎn)，設(shè)函數(shù)上點(diǎn)的切線恰過點(diǎn)，因?yàn)?，則，即，解得，即，切線的斜率， 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示： 要使這兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，應(yīng)滿足， 解得， 所以的取值范圍是． 故選：D． 11. 過雙曲線的下焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交拋物線于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（） A. B. C. D. 【11題答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為，則，因?yàn)閽佄锞€為，所以為拋物線的焦點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，又可得E為FP的中點(diǎn)，所以O(shè)E為的中位線，得到，再設(shè)，由得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率． 【詳解】設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為，則 拋物線為，為拋物線的焦點(diǎn)，O為的中點(diǎn)， ，則為FP的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則為的中位線． ．，． 切圓O于E，．． 設(shè)，則，． 由點(diǎn)在拋物線上，則 在直角中， 即，整理得 即，又，所以 故選：D． 12. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（） A. B. C. D. 【12題答案】 【答案】A 【解析】 【分析】記，利用導(dǎo)數(shù)證明出，令時(shí)，證明出； 記，利用導(dǎo)數(shù)證明出，令時(shí)，.即可得到結(jié)論. 【詳解】記，則. 令，解得：；，解得：； 所以在單減，在單增. 所以，即. 當(dāng)時(shí)，有，即. 記，則. 令，解得：；，解得：； 所以在單增，在單減. 所以，即. 當(dāng)時(shí)，有，即. 所以. 故選：A 【點(diǎn)睛】指、對數(shù)比較大?。?（1）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??； （2）結(jié)構(gòu)不同的，尋找“中間橋梁”，通常與0、1比較. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13. 己知向量，滿足，，且，則在上的投影為_________． 【13題答案】 【答案】 【解析】 【分析】根據(jù)得，進(jìn)而根據(jù)投影的概念求解即可得答案. 【詳解】解：因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，即?所以在上的投影為 故答案為： 14. 在的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0，則含的項(xiàng)的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）． 【14題答案】 【答案】 【解析】 【分析】依題意根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特征得到，再令，得到所有項(xiàng)的系數(shù)和，即可求出參數(shù)的值，再寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令，求出，最后代入計(jì)算可得； 【詳解】解：依題意，因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，即，令，則，所以，所以二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，則，即展開式中項(xiàng)的系數(shù)為； 故答案為： 15. 已知P是橢圓上的動點(diǎn)，且不在坐標(biāo)軸上，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是的角平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是______． 【15題答案】 【答案】 【解析】 【分析】設(shè)在第一象限，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，然后可得，推導(dǎo)出（其中為的橫坐標(biāo)），從而，由可知，由此能夠得到的取值范圍． 【詳解】 由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限， 延長交的延長線于點(diǎn)，連接， 由于在的角平分線上，可知， 所以△與全等，則， 再由，知， ， （其中為的橫坐標(biāo)）， ，由可知，由橢圓的方程知， 的取值范圍是，． 故答案為： 16. 設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則______． 【16題答案】 【答案】 【解析】 【分析】直接利用數(shù)列遞推式和累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用可求得結(jié)果 【詳解】由，得， 因?yàn)椋?所以， 所以，滿足上式，則， 當(dāng)時(shí)，，滿足上式， 所以， 所以， 所以 故答案為： 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共60分． 17. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，． （1）求角A； （2）若點(diǎn)D在邊AC上，且，求△BCD面積的最大值． 【17~18題答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式變形可求得； （2）由平面向量的線性運(yùn)算求得，，用余弦定理及基本不等式求得的最大值，可得面積的最大值，從而得結(jié)論． 【小問1詳解】 因?yàn)?，由正弦定理得?所以，即， 三角形中，所以，而，所以； 【小問2詳解】 由得，，所以，， 在中由余弦定理，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立， 所以，， 所以△BCD面積的最大值為． 18. 為了解某一地區(qū)電動汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動汽車銷量y（單位：萬臺）關(guān)于x（年份）的線性回歸方程為，且銷量y的方差為，年份x的方差為． （1）求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷電動汽車銷量y與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱； （2）該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)100位購車車主性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表： 能否有99.5%的把握認(rèn)為購買電動汽車與性別有關(guān)？ 附：（i）線性回歸方程：，其中，； （ii）相關(guān)系數(shù)：，相關(guān)系數(shù)時(shí)相關(guān)性較強(qiáng)，時(shí)相關(guān)性一般，時(shí)相關(guān)性較弱． （iii） ，其中． 【18~19題答案】 【答案】（1）與相關(guān)性較強(qiáng) （2）有的把握認(rèn)為購買電動汽車與性別有關(guān) 【解析】 【分析】（1）將相關(guān)系數(shù)公式適當(dāng)變形，可得，再代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算，即可判斷； （2）由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，再與臨界值比較，即可判斷； 【小問1詳解】 解：相關(guān)系數(shù) 所以與相關(guān)性較強(qiáng)； 【小問2詳解】 解：，所以有的把握認(rèn)為購買電動汽車與性別有關(guān)； 19. 如圖，在三棱錐D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且，． （1）證明：平面平面ABD； （2）若平面ABC，，，，P是線段EF上一點(diǎn)，當(dāng)線段GP長度取最小值時(shí)，求二面角的余弦值． 【19~20題答案】 【答案】（1）證明見解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用線面平行及面面平行的判定定理可證得； （2）分析知當(dāng)線段GP長度取最小值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角即可得解. 【小問1詳解】 ，， 又平面ABD，平面ABD，平面ABD， 又G是△ABC的重心， 又平面ABD，平面ABD，平面ABD， 又，平面 所以平面平面ABD 【小問2詳解】 由，，，可得 又， 又平面ABC，平面ABC， 又，平面，平面， 又平面， P是線段EF上一點(diǎn)，當(dāng)線段GP長度取最小值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合. 如圖，作，以C為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，， 所以，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 則，令， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 則，令， ， 所以二面角的余弦值為 20. 如圖，圓與拋物線相交于點(diǎn)、、、，且． （1）若拋物線的焦點(diǎn)為，為其準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，求拋物線的方程； （2）設(shè)與相交于點(diǎn)，與組成蝶形（如圖所示的陰影區(qū)域）的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大值． 【20~21題答案】 【答案】（1） （2），最大值為. 【解析】 【分析】（1）可設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)點(diǎn)、，則、，，將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得的最大值. 【小問1詳解】 解：拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)， 所以，，，則，可得， 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【小問2詳解】 解：根據(jù)圓與拋物線的對稱性，四邊形是以軸為對稱軸的等腰梯形， 不妨設(shè)，、第一象限， 設(shè)點(diǎn)、，則、，， 聯(lián)立，消去可得， 則關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的正根， 所以，解得， 依據(jù)對稱性，點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)， 由得，所以，， 解得，所以，點(diǎn)， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故當(dāng)時(shí)，取得最大值. 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種： 一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值； 二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值． 21. 設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)區(qū)間； （2）記，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 【21~22題答案】 【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為、； （2）個(gè)零點(diǎn) 【解析】 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）首先得到，當(dāng)時(shí)，顯然滿足條件，當(dāng)時(shí)，恒成立，即可不存在零點(diǎn)，當(dāng)，依題意可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； 【小問1詳解】 解：當(dāng)時(shí)，，則，令，即或，解得或；令，即或，解得或，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為、； 【小問2詳解】 解：因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，，，所以恒成立，所以在上無零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，由，即得，令，，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，且時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞減，易知，又，，所以函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上可得在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)； （二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． [選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為． （1）寫出直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； （2）若直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，PQ中點(diǎn)為M，A（1，0），求的值． 【22~23題答案】 【答案】（1）直線的普通方程為，曲線C的直角坐標(biāo)方程為； （2）8. 【解析】 【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可； （2）直線的參數(shù)方程也可表示為（為參數(shù)），然后利用的幾何意義求解即可. 【小問1詳解】 由可得，即直線的普通方程為， 由可得，所以，即 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為 【小問2詳解】 直線的參數(shù)方程也可表示為（為參數(shù)）， 將其代入可得， 設(shè)該方程的根為，則， 所以， 所以 [選修4—5：不等式選講] 23. 已知函數(shù)． （1）求不等式的解集； （2）若，使，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【23~24題答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分三種情況去絕對值解不等式， （2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，畫出圖象，根據(jù)圖象求解 【小問1詳解】 當(dāng)時(shí)，由，得，解得， 當(dāng)時(shí)，由，得，解得， 當(dāng)時(shí)，由，得，解得， 綜上，不等式的解集為 【小問2詳解】 ，使，則函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)， 因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)， 令圖象的最低點(diǎn)為，則 直線的斜率為， 由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為   購買非電動汽車購買電動汽車總計(jì)男性302050女性153550總計(jì)45551000.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828