北京市懷柔區(qū)2021屆高三一模數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）一、單選題1．已知集合，則圖中陰影部分的集合為（       ）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，若，則（       ）A． B．5 C． D．33．在的展開式中，的系數(shù)為（       ）A．20 B． C． D．404．曲線與曲線的（       ）A．焦距相等 B．實(shí)半軸長(zhǎng)相等C．虛半軸長(zhǎng)相等 D．離心率相等5．為了得函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（       ）A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位6．某四棱柱的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（       ）A．2 B．4 C．6 D．87．“”是直線與圓相交的（       ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件8．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列式子中的數(shù)值不能確定的是（       ）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，且關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（       ）A． B． C． D．10．形狀?節(jié)奏?聲音或軌跡，這些現(xiàn)象都可以分解成自復(fù)制的結(jié)構(gòu).即相同的形式會(huì)按比例逐漸縮小，并無限重復(fù)下去，也就是說，在前一個(gè)形式中重復(fù)出現(xiàn)被縮小的相同形式，依此類推，如圖所示，將圖1的正三角形的各邊都三等分，以每條邊中間一段為邊再向外做一個(gè)正三角形，去掉中間一段得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”；依次進(jìn)行“n次分形”，得到一個(gè)周長(zhǎng)不小于初始三角形周長(zhǎng)100倍的分形圖，則n最小值是（       ）(取)A．15 B．16 C．17 D．18二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>______.12．若拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過點(diǎn)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.13．在中，，則___________.14．若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則常數(shù)的一個(gè)取值為___________.15．如圖，在直角梯形中，，P為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，對(duì)于函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>；②，都有成立；③，函數(shù)的最大值都等于4；④，函數(shù)的最小值為負(fù)數(shù).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.三、解答題16．如圖，在四棱柱中，平面，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱. （1）求證：平面；（2）求證：；（3）求二面角的余弦值.17．已知函數(shù)，再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（1）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在區(qū)間的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇不同條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，對(duì)該流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：分組區(qū)間(單位：克)產(chǎn)品件數(shù)34751 包裝質(zhì)量在克的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品（1）估計(jì)從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率；（2）從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列；試比較期望與則望的大小.(結(jié)論不要求證明)19．已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在處的切線與直線平行，求a的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.20．已知橢圓過點(diǎn)，且，若直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若，求k的值.21．定義滿足以下兩個(gè)性質(zhì)的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：①；②.（1）若等比數(shù)列為4階“期待數(shù)列”，求的公比；（2）若等差數(shù)列是階“期待數(shù)列”(.k是正整數(shù)，求的通項(xiàng)公式；（3）記階“期待數(shù)列”的前n項(xiàng)和為(.k是不小于2的整數(shù))，求證：.
參考答案：1．B【解析】【分析】根據(jù)維恩圖分析陰影部分，利用集合的交集計(jì)算即可.【詳解】由維恩圖可知，陰影部分為集合.故選：B.2．B【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以互為共軛復(fù)數(shù)，所以，故選：B3．C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求的系數(shù).【詳解】由題得的展開式的通項(xiàng)為令5-r=2,則r=3,所以的系數(shù)為故答案為：C4．A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可得出結(jié)論.【詳解】由雙曲線可知，，，由雙曲線可知，所以焦距相等，實(shí)半軸長(zhǎng)不相等，虛半軸長(zhǎng)不相等，離心率不相等.故選：A5．A【解析】【分析】設(shè)沿橫軸所在直線平移個(gè)單位得求出，即可確定平移過程.【詳解】設(shè)的圖象沿橫軸所在直線平移個(gè)單位后得到的圖象.∴函數(shù)平移個(gè)單位后得到函數(shù)，，即，∴，即，取，.故選：A.6．C【解析】【分析】先還原幾何體，再根據(jù)直四棱柱體積公式求解.【詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖所示：該幾何體為直四棱柱，底面為直角梯形，則其體積為．故選：C．7．A【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相交的判定，充分條件，必要條件即可求解【詳解】當(dāng)時(shí)，直線為，過圓心，故直線與圓相交，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)得，顯然恒成立，不能推出，所以“”是直線與圓相交的充分不必要條件，故選：A8．D【解析】【分析】根據(jù)已知的等式變形，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比的值，然后分別根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，即可找出四個(gè)選項(xiàng)中數(shù)值不能確定的選項(xiàng)．【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，，，所以故選：D9．B【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由題意可得，函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)的范圍．【詳解】方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作函數(shù)與的圖象如下，由圖可知，當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖象是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．10．C【解析】【分析】根據(jù)分形的變化規(guī)律，得出一條長(zhǎng)為a線段n次分形后變?yōu)殚L(zhǎng)為的折線，建立不等關(guān)系，利用對(duì)數(shù)求解即可.【詳解】設(shè)正三角形的一條邊長(zhǎng)為a，“一次分形”后變?yōu)殚L(zhǎng)為的折線，“二次分形”后折線長(zhǎng)度為，“n次分形”后折線長(zhǎng)度為，所以得到一個(gè)周長(zhǎng)不小于初始三角形周長(zhǎng)100倍的分形圖，只需滿足，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得：，即得：，解得，故至少需要17次分形，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：仔細(xì)讀題，弄懂分形變化的規(guī)律，即正三角形的一條邊長(zhǎng)為a，“一次分形”后變?yōu)殚L(zhǎng)為的折線，“二次分形”后折線長(zhǎng)度為，“n次分形”后折線長(zhǎng)度為是解題的關(guān)鍵.11．【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，列出不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以解得，所以函數(shù)定義域?yàn)?/span>，故答案為：12．【解析】【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線方程即可；【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)拋物線方程為，又拋物線過點(diǎn)，所以，即，所以拋物線方程為故答案為：13．2【解析】【分析】直接利用余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以解得或（舍去）故答案為：214．【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的概念及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，即，所以時(shí)，滿足條件，是常數(shù)的一個(gè)取值.故答案為：15．②③④【解析】【分析】先利用垂直建立坐標(biāo)系，根據(jù)長(zhǎng)度寫點(diǎn)的坐標(biāo)，再化簡(jiǎn)函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)依次判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即得結(jié)果.【詳解】建立如圖坐標(biāo)系，根據(jù)題意，，，故，，故，則，，則，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)，最大值為，即值域?yàn)?/span>，①錯(cuò)誤；時(shí)，，②正確；，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)拋物線對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值.綜上可知，，函數(shù)的最大值都等于4，故③正確；取時(shí)，取得最小值，故④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系得到函數(shù)，才能結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)突破難點(diǎn).16．（1）證明見解析（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)四棱柱的性質(zhì)可得面面平行，由面面平行的性質(zhì)即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線線垂直；（3）根據(jù)平面的法向量，利用法向量的夾角公式求二面角即可.【詳解】（1）四棱柱中，平面,平面,由正方形可知，,且平面，平面,,平面,平面,平面平面，平面,平面 （2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，,,,, 即.（3）設(shè)平面的法向量，,, 即，令，則，，設(shè)平面的法向量， ，，即 ，令，則，，，即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)四棱柱的性質(zhì)及條件平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.17．選①，（1）單調(diào)遞增區(qū)間，（2）；選②，（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）；（3）選③，（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）.【解析】【分析】選①，根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為，（1）根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)自變量的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解；選②，根據(jù)二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)得，(1)利用正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間；(2) 根據(jù)自變量范圍求出的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求值域；選③，根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)可得，（1）利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)求其單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)自變量范圍求出的范圍，利用正弦函數(shù)求范圍即可.【詳解】選①：，（1）由知，單調(diào)遞增區(qū)間（2）當(dāng)時(shí)，，所以.選②：，（1）令, 解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，，所以，所以.選③：，(1)令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）當(dāng)時(shí)，，所以，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)所選條件，利用輔助角公式或者二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)或余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，確定單調(diào)性及值域，屬于中檔題.18．（1）；（2）分布列見解析；（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意的可能取值為、、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列；（3）依題意，即可求出的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望，即可得解；【詳解】解：（1）樣本中一共有件產(chǎn)品，包裝質(zhì)量在克的產(chǎn)品有件，故從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率（2）依題意的可能取值為、、；，，故的分布列為： （3）由（2）可得依題意，則的可能取值為，，，，故的分布列為： 所以所以19．（1）2（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，即可求得的值；（2）由題可知，在上恒成立，參變分離，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.【詳解】（1）由題可知，則，解得．（2）∵在上是減函數(shù)，∴對(duì)恒成立，所以，令，則由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故只需故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)在上小于等于零恒成立，采用了參變分離法，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最值，其中轉(zhuǎn)化的思想，參變量分離的方法，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．20．（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓過點(diǎn)及求解即可；（2）設(shè)，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)為的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）橢圓過點(diǎn)，且，橢圓C的方程為（2）如圖， 設(shè)，，， ，，由得 ，，，，為的中點(diǎn)，，即，，，，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)條件得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)此條件建立相關(guān)坐標(biāo)之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵，注意韋達(dá)定理在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題.21．（1）公比為-1；（2）時(shí)，；時(shí)，；（3）證明見詳解.【解析】【分析】（1）先根據(jù)新定義得到對(duì)應(yīng)關(guān)系式，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式解得公比即可；（2）先根據(jù)新定義得到對(duì)應(yīng)關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)得到，再利用等差數(shù)列性質(zhì)求絕對(duì)值之和解得d，根據(jù)求通項(xiàng)公式即可；（3）先利用新定義計(jì)算數(shù)列中所有非負(fù)項(xiàng)之和和所有負(fù)數(shù)項(xiàng)之和，再求的最大值和最小值，即證結(jié)論.【詳解】解：（1）依題意，等比數(shù)列為4階“期待數(shù)列”，故數(shù)列滿足①，②.易見，若公比q為1，則①式即，不符合題意，故，故①式即，即，故，所以的公比為-1；（2）依題意，等差數(shù)列是階“期待數(shù)列”，設(shè)等差數(shù)列公差為d，則數(shù)列滿足①；②.故①式即，即，即.若時(shí)，有，，則②式即，故，即，得，所以；若時(shí)，有，，則②式即，故，即，得，所以.綜上，時(shí)，；時(shí)，；（3）設(shè)階“期待數(shù)列”的所有非負(fù)項(xiàng)之和為A，所有負(fù)數(shù)項(xiàng)之和為B，依題意數(shù)列滿足①；②.即，則解得，當(dāng)所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)一起構(gòu)成時(shí)，最大為，即；當(dāng)所有負(fù)數(shù)項(xiàng)一起構(gòu)成時(shí)，最小為，即.故，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是理解并利用新定義解出每一問的關(guān)系式，再結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列相關(guān)公式即突破難點(diǎn). 

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