2020屆北京市懷柔區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷及答案一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．3．函數(shù)的最小正周期為（       ）A． B． C． D．4．函數(shù)f(x)=|log2x|的圖象是（ ）A． B．C． D．5．在等差數(shù)列中，若，則（       ）A．6 B．10 C．7 D．56．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于原點對稱，則圓C的方程為（       ）A．x2＋y2＝1 B．x2＋(y＋1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋y2＝17．已知，則“”是“”的（       ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（       ）A． B． C． D．9．已知，則下列不等式成立的是A． B． C． D．10．“割圓術(shù)”是我國古代計算圓周率的一種方法.在公元年左右，由魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明.其原理就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進而求.當(dāng)時劉微就是利用這種方法，把的近似值計算到和之間，這是當(dāng)時世界上對圓周率的計算最精確的數(shù)據(jù).這種方法的可貴之處就是利用已知的、可求的來逼近未知的、要求的，用有限的來逼近無窮的.為此，劉微把它概括為“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這種方法極其重要，對后世產(chǎn)生了巨大影響，在歐洲，這種方法后來就演變?yōu)楝F(xiàn)在的微積分.根據(jù)“割圓術(shù)”，若用正二十四邊形來估算圓周率，則的近似值是（       ）（精確到）（參考數(shù)據(jù)）A． B．C． D．二、填空題11．的展開式中的系數(shù)是___________.12．在中，，，為的中點，則___________.13．某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：如果顧客選購物品的總金額不超過600元，則不享受任何折扣優(yōu)惠；如果顧客選購物品的總金額超過600元，則超過600元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，折扣優(yōu)惠按下表累計計算.某人在此商場購物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元，則他實際所付金額為____元．14．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題15．已知在中，，，同時還可能滿足以下某些條件：①；②；③；④.（1）直接寫出所有可能滿足的條件序號；（2）在（1）的條件下，求及的值.16．如圖，已知四棱錐的底面ABCD為正方形，平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。?/span>17．某校高一、高二年級的全體學(xué)生都參加了體質(zhì)健康測試，測試成績滿分為分，規(guī)定測試成績在之間為“體質(zhì)優(yōu)秀”，在之間為“體質(zhì)良好”，在之間為“體質(zhì)合格”，在之間為“體質(zhì)不合格”.現(xiàn)從這兩個年級中各隨機抽取名學(xué)生，測試成績?nèi)缦拢?/span>學(xué)生編號1234567高一年級60858065909175高二年級7985917560 其中是正整數(shù).（1）若該校高一年級有學(xué)生，試估計高一年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)；（2）若從高一年級抽取的名學(xué)生中隨機抽取人，記為抽取的人中為“體質(zhì)良好”的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)兩個年級被抽取學(xué)生的測試成績的平均數(shù)相等，當(dāng)高二年級被抽取學(xué)生的測試成績的方差最小時，寫出的值.（只需寫出結(jié)論）18．已知函數(shù).（1）求在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，證明：；（3）判斷曲線與是否存在公切線，若存在，說明有幾條，若不存在，說明理由.19．已知橢圓的短半軸長為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且點在第一象限，軸，垂足為，連接并延長交橢圓于點，證明：是直角三角形．20．已知數(shù)列，且.若是一個非零常數(shù)列，則稱是一階等差數(shù)列，若是一個非零常數(shù)列，則稱是二階等差數(shù)列.（1）已知，試寫出二階等差數(shù)列的前五項；（2）在（1）的條件下，證明：；（3）若的首項，且滿足，判斷是否為二階等差數(shù)列.四、雙空題21．已知拋物線的焦點與雙曲線的右頂點重合，則拋物線的焦點坐標為__________；準線方程為___________.
參考答案：1．A【解析】【分析】根據(jù)交集的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，所以故選：A【點睛】本題考查交集的概念，屬基礎(chǔ)題.2．C【解析】【詳解】把兩邊同乘以，則有，，故選C.3．B【解析】【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式，可得，然后利用，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以最小正周期為故選：B【點睛】本題考查二倍角的余弦公式以及三角函數(shù)最小正周期的求法，重在識記公式，屬基礎(chǔ)題.4．A【解析】【詳解】試題分析：易知函數(shù)值恒大于等于零，同時在（0，1）上單調(diào)遞減且此時的圖像是對數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于x軸的對稱圖形，在單調(diào)遞增．故選A．考點：已知函數(shù)解析式作圖．5．B【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，代入可得，而要求的值為，代入可得．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：所以，即，，故，故選：B．6．D【解析】【分析】利用對稱性，可得點坐標以及圓的半徑，然后可得結(jié)果.【詳解】由題可知：圓的圓心，半徑為所以圓的方程為：故選：D【點睛】本題考查圓的方程，直觀形象，簡單判斷，對圓的方程關(guān)鍵在于半徑和圓心，屬基礎(chǔ)題.7．C【解析】【分析】根據(jù)向量的垂直關(guān)系，可得，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由，則又，所以若，且，所以，則所以“”是“”的充要條件故選：C【點睛】本題考查向量的垂直的數(shù)量積表示以及計算，同時考查了充分、必要條件，識記概念與計算公式，屬基礎(chǔ)題.8．D【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合，還原出原幾何體的直觀圖，可得該幾何體為一個三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式簡單計算即可.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體的直觀圖為三棱錐，如圖 可知，點到平面的距離為所以故選：D【點睛】本題考查三視圖還原以及幾何體體積，關(guān)鍵在于三視圖的還原，熟悉常見的幾何體的三視圖，比如：圓錐，圓柱，球，三棱錐等，屬中檔題.9．D【解析】【分析】利用作差法逐一分析四個選項，即可得答案.【詳解】選項A：，，所以A錯誤；選項B：，，所以B錯誤；選項C：，，所以C錯誤；選項D：，所以D正確.故選：D.【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，一般利用不等式的性質(zhì)，作差法，作商法，特殊值法進行判斷，屬基礎(chǔ)題.10．C【解析】【分析】假設(shè)圓的半徑為，根據(jù)以圓心為頂點將正二十四邊形分割成全等的24個等腰三角形，頂角為，計算正二十四邊形的面積，然后計算圓的面積，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的半徑為，以圓心為頂點將正二十四邊形分割成全等的24個等腰三角形且頂角為所以正二十四邊形的面積為所以故選：C【點睛】本題考查分割法的使用，考驗計算能力與想象能力，屬基礎(chǔ)題.11．；【解析】【分析】根據(jù)二項式定理的通項公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：的通項公式為，令所以的系數(shù)是故答案為：【點睛】本題考查二項式中指定項的系數(shù)，掌握公式，細心計算，屬基礎(chǔ)題.12．；【解析】【分析】計算，然后將用表示，最后利用數(shù)量積公式可得結(jié)果.【詳解】由，，所以又為的中點，所以所以故答案為：【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，給出已知的線段與相應(yīng)的夾角，通?？梢允褂孟蛄康姆椒ǎ瑢缀螁栴}代數(shù)化，便于計算，屬基礎(chǔ)題.13．1120【解析】【分析】明確折扣金額y元與購物總金額x元之間的解析式，結(jié)合y＝30＞25，代入可得某人在此商場購物總金額, 減去折扣可得答案．【詳解】由題可知：折扣金額y元與購物總金額x元之間的解析式，y∵y＝30＞25∴x＞1100∴0.1（x﹣1100）+25＝30解得，x＝1150，1150﹣30＝1120，故此人購物實際所付金額為1120元．【點睛】本題考查的知識點是分段函數(shù)，正確理解題意，進而得到滿足條件的分段函數(shù)解析式是解答的關(guān)鍵．14．.【解析】【分析】使用等價轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化為在恒成立，然后利用分離參數(shù)的方法，結(jié)合輔助角公式，可得，簡單計算和判斷，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減等價于在恒成立即在恒成立則在恒成立所以，由，所以故，則所以，即故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參，難點在于得到在恒成立，通過等價轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡，同時結(jié)合分離參數(shù)方法的，轉(zhuǎn)化為最值問題，屬中檔題.15．（1）①，③；（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)大邊對大角，可得，然后根據(jù)正弦定理，可得.（2）利用正弦定理，可得，然后利用余弦定理，簡單計算可得結(jié)果.【詳解】解：（1）①，③.（2）由，可得解得或（舍）.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，識記公式，熟練使用正弦定理、余弦定理，邊角互化，考驗計算能力，屬中檔題.16．（1）見解析 （2）【解析】【詳解】（1）（2）以A為原點，如圖所示建立直角坐標系，，設(shè)平面FAE法向量為，則，，17．（1）；（2）詳見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算樣本中的優(yōu)秀率，然后用樣本估計整體，簡單計算可得結(jié)果.（2）寫出所有可能取值，并求得相應(yīng)的概率，列出分布列，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式，可得結(jié)果.（3）根據(jù)兩個年級被抽取學(xué)生的測試成績的平均數(shù)相等，可得之間關(guān)系，然后利用方差公式，結(jié)合二次函數(shù)，可得結(jié)果.【詳解】解：（1）高一年級隨機抽取的7名學(xué)生中，“體質(zhì)優(yōu)秀”的有3人，優(yōu)秀率為，將此頻率視為概率，估計高一年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為.（2）高一年級抽取的7名學(xué)生中“體質(zhì)良好”的有2人，非“體質(zhì)良好”的有5人.所以的可能取值為所以所以隨機變量的分布列為： （3）【點睛】本題考查離散性隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，同時考查平均數(shù)與方差，本題主要考驗計算，牢記計算的公式，掌握基本統(tǒng)計量的概念，屬基礎(chǔ)題.18．（1）；（2）證明見解析；（3）存在；存在2條公切線【解析】【分析】（1）計算，根據(jù)曲線在該點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，然后計算，利用點斜式，可得結(jié)果.（2）分別構(gòu)造，通過導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，可得 ，，簡單判斷，可得結(jié)果.（3）分別假設(shè)與的切線，根據(jù)公切線，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)，根據(jù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】解：（1）的定義域又所以在點處的切線方程為：.（2）設(shè)，，↑極大值↓ 設(shè)則在上恒成立綜上（3）曲線與存在公切線，且有2條，理由如下：由（2）知曲線與無公共點，設(shè)分別切曲線與于，則，若，即曲線與有公切線，則令，則曲線與有公切線，當(dāng)且僅當(dāng)有零點，， 當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，所以存在，使得且當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又所以在內(nèi)各存在有一個零點故曲線與存在2條公切線.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，掌握曲線在某點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時比較式子之間大小關(guān)系常用方法：作差法，函數(shù)單調(diào)性等，考驗邏輯推理能力，屬難題.19．（1）（2）見解析【解析】（1）由題得，，解之即得橢圓的方程；（2）設(shè)，，則，，聯(lián)立直線BE的方程和橢圓的方程求出， ，證明，是直角三角形即得證.【詳解】（1）依題意可得，所以，得，所以橢圓的方程是 .                                           （2）設(shè)，，則，，直線的方程為，                                                    與聯(lián)立得 ，                    因為，是方程的兩個解，所以   又因為，所以，代入直線方程得                                                           所以，即是直角三角形.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.20．（1），，，，;（2）證明見解析；（3）不是二階等差數(shù)列【解析】【分析】（1）根據(jù)，以及，簡單計算，可得結(jié)果.（2）根據(jù)，可知，利用，使用迭加法，可得.（3）根據(jù)題意可得，進一步可得，然后可得，簡單判斷，可得結(jié)果.【詳解】解：（1），，，，.（2）又.（3）不是二階等差數(shù)列.理由如下：數(shù)列滿足又，（）由則數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列，顯然非常數(shù)列不是二階等差數(shù)列.【點睛】本題考查數(shù)列中新定義的理解，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)之間的關(guān)系，考查觀察能力，分析能力以及邏輯思維能力，新定義的理解同時考查了閱讀理解能力，屬難題.21．          ；【解析】【分析】計算雙曲線的右頂點坐標，可得拋物線的焦點坐標，進一步可得準線方程.【詳解】由題可知：雙曲線的右頂點坐標為所以可知拋物線的焦點坐標為，準線方程為故答案為：；【點睛】本題主要考查拋物線的方程的應(yīng)用，審清題意，注意細節(jié)，屬基礎(chǔ)題. 

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