2021屆浙江省臺州高三二模數(shù)學試卷及答案一、單選題1．設集合，則（       ）A． B．C． D．2．已知直線，則直線之間的距離為（       ）A． B．C． D．3．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則（       ）A． B．C． D．4．若，則""是""的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（       ）A． B．C． D．6．若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則的取值范圍是（       ）A． B．C． D．7．已知，離散型隨機變量的分布列如下表：032 若，則（       ）A． B．C． D．8．函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）的圖象可能是（ ）A． B．C． D．9．已知平面向量、、，若，，，則在方向上投影的最小值為（       ）A． B．C． D．10．已知，實數(shù)滿足，則（       ）A．當時，存在實數(shù)，使得既有最大值，又有最小值B．當時，對于任意的實數(shù)，有最大值，無最小值C．當時，存在實數(shù)，使得既有最大值，又有最小值D．當時，對于任意的實數(shù)，無最大值，有最小值二、填空題11．已知數(shù)列滿足，則______.12．已知，若，則的最小值為______.13．如圖，平面內(nèi)△，△均為等腰直角三角，，點在△的內(nèi)部（不包括邊界），△，△的面積分別記作，則的取值范圍為______.三、解答題14．已知函數(shù).（?）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（??）若，求的值.15．如圖，四棱錐E-ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AD=CD=AB=1，EC=2，△EAB為正三角形.（Ⅰ）求證：AD⊥EB：（Ⅱ）若在線段EA上有點F，使得點F到平面ABCD的距離為，求直線CE與平面FBD所成角的正弦值.16．已知數(shù)列前項和為，數(shù)列是等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設求證：.17．已知點為橢圓的左焦點，記點到直線的距離為，且.（?）求動點的軌跡方程；（??）過點作橢圓的兩條切線PA，PB，設切點分別為，連接AF，BF.（i）求證：直線PA方程為；（ii）求證：AF⊥FB．18．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在實數(shù)，使得對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.四、雙空題19．已知函數(shù)，則______；若，則實數(shù)______.20．已知多項式，若，則實數(shù)______， ______.21．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為______；若點在雙曲線上，則______.22．若排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節(jié)目單，共有______種不同的排法（用數(shù)字作答），其中恰有兩首歌曲相鄰的概率為______.
參考答案：1．C【解析】【分析】利用交集的定義直接求解即可【詳解】解：因為，所以，故選：C2．A【解析】【分析】由題意結(jié)合平行線的距離公式求解其距離即可.【詳解】由兩平行直線間的距離公式可得其距離為：.故選：A.【點睛】方法點睛：求點到直線的距離時，若給出的直線不是一般式，則應化為一般式；求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式，且x，y的系數(shù)對應相同.3．B【解析】【分析】令，得出,再計算，即可求出答案．【詳解】令，則，∴解得 ，∴ ，故選：B.4．B【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】當，且時，不成立，所以是不充分條件；當時，即，即必有，所以是必要條件.故選：B.5．D【解析】【分析】判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)，從而計算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是如下圖所示三棱錐，故體積為.故選：D6．D【解析】【分析】將零點問題轉(zhuǎn)化為方程問題，再運用數(shù)形結(jié)合的方法解決即可.【詳解】函數(shù)在上有兩個不同的零點等價于方程在上有兩個不同的解，即在上有兩個不同的解.此問題等價于與有兩個不同的交點.由下圖可得.故選：D.7．C【解析】【分析】利用離散型隨機變量的分布列的意義分析得m的值，進而求得n值，最后由期望的意義求解而得.【詳解】由所給表格及離散型隨機變量的分布列的意義知，，否則，與已知矛盾 ，從而，，又，得，所以.故選：C.8．A【解析】【分析】先判斷時，的符號，可排除BC；再取特殊值，可排除D，從而可得出結(jié)果.【詳解】當時，，，，則，故排除BC選項；當時，，，，則，故排除D，選A.故選：A.【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.9．C【解析】【分析】建立平面直角坐標系，將各向量均轉(zhuǎn)化為共起點O的向量，由知向量終點在圓上運動，過終點作向量所在直線的垂線，數(shù)形結(jié)合得到投影最小值.【詳解】不妨設，，，由，可得，又，故點C在以為圓心，為半徑的圓上運動.如圖，由，不妨設在直線上，過點C、M分別作直線OB的垂線，垂足為、，則在方向上投影的最小值即為，即.故選：C.【點睛】向量投影問題的處理通常有兩個角度：一是利用數(shù)量積變形公式求解；二是利用投影的幾何意義，作垂直輔助線，數(shù)形結(jié)合求解.10．D【解析】【分析】觀察選項，實質(zhì)上是研究函數(shù)，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來確定最值即可得到答案.【詳解】因為，則，令，則，①時，，故在是單調(diào)遞增，所以不可能有最大值，因此選項A，B均不正確；②時，設，所以在上單調(diào)遞減，而時，，時，，所以在上有唯一的零點，即有唯一的使成立，所以可知時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減.所以有最小值而無最大值.故選：D.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵，一是要分類討論，二是在時，要二次求導才能確定原函數(shù)的單調(diào)性.11．2020【解析】【分析】先利用判斷出為常數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，即可求出.【詳解】因為，所以，式子兩端除以，整理得：，即為常數(shù)列.因為，所以，所以，所以.故答案為：2020【點睛】數(shù)列求通項公式的方法：①觀察歸納法；②公式法；③由求；④由遞推公式求通項公式.12．2【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，即 ，所以，解得，當且僅當時，取等號，所以的最小值為2.故答案為：2【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.13．【解析】【分析】建立直角坐標系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求范圍.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，設則，，，，，，，，令，，，當時，，單調(diào)減，當時，，單調(diào)增；所以，.故答案為：【點睛】關鍵點睛：建系利用行列式求面積轉(zhuǎn)化為函數(shù)求范圍.14．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）先用輔助角公式變形函數(shù)為，再把帶入函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，分離出即可得解；（2）由，即，根據(jù)的范圍求出，帶入即可得解.【詳解】（Ⅰ）令，得，，的單調(diào)增區(qū)間為，；（Ⅱ），即，，，又，所以，得.15．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）取中點，連接，，證得，再由勾股定理，得出，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而得到，即可得證；（Ⅱ）由（Ⅰ）以為原點，，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量和向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）取中點，連接，，因為，，，則四邊形為矩形，又為正三角形，所以，，又由，，可得，所以，又因為，且平面，所以平面，又由平面，所以，又因為，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故平面，，點到平面的距離為，所以，如圖，以為原點，，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標系.則，，，，，由，可得，，，設平面的一個法向量為，由，可得，取，可得，所以，又由，設與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】利用空間向量計算二面角的常用方法：1、法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大?。?/span>2、方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.16．（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先利用，求出的通項公式，再用基本量代換求出的通項公式；（2）先驗證時不等式成立，當時，由，證明，可以得到，即可證明.【詳解】解：（1），，時，，得，，所以是等比數(shù)列，，，等差數(shù)列中，，，所以公差，；（2）當時，，當時，，當時，由，得，所以，當時，；所以對于任意的，.【點睛】（1）數(shù)列求通項公式的方法：①觀察歸納法；②公式法；③由求；④由遞推公式求通項公式；（2）數(shù)列求和常用方法：①公式法； ②倒序相加法；③裂項相消法； ④錯位相減法．17．（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）設出點坐標，利用列方程，化簡求得的軌跡方程.（Ⅱ）（i）將的坐標代入橢圓方程，由此判斷直線經(jīng)過點，聯(lián)立直線與橢圓，計算得，由此確定直線方程為.（ii）求得直線的方程，由此求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關系，計算，由此證得.注意判斷直線斜率不存在的情況也滿足.【詳解】（Ⅰ）設點，由，，化簡得，所以點軌跡方程為；（Ⅱ）（i）點在橢圓上，得，所以直線經(jīng)過點，由消去，得，又得，由，直線與橢圓只有一個公共點，所以直線方程為；（ii）設點，由（i）知直線方程為，同理，直線方程為，得所以直線方程為，當時，由得，，，又，所以；當時，直線方程為，，，，；綜上，.【點睛】要證明兩條直線垂直，可利用向量計算兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零，由此來證得兩條直線垂直.18．(1)增區(qū)間為 ，減區(qū)間為和；(2).【解析】【分析】（1）定義域為，求，結(jié)合分別解不等式和即可得的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由題意知，存在使得即對于任意的恒成立，令且，利用導數(shù)判斷單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理可判斷時不符合題意，因此，再利用導數(shù)證明當時，恒成立即可.(1)定義域為，由可得，當時，令，得，令，可得或，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.(2)，即，即存在，使得，而，故對于任意的恒成立，即，令，即對于任意的恒成立，，設，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，又因為，，所以存在唯一的，使得，當時，，則，是減函數(shù)，所以，不符合題意，所以，下證當時，恒成立，，所以，即在上單調(diào)遞減，，綜上所述：.【點睛】方法點睛：求不等式恒成立問題的方法（1）分離參數(shù)法若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.（2）數(shù)形結(jié)合法結(jié)合函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對稱軸、區(qū)間端點的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置關系（相對于軸）求解.此外，若涉及的不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，可結(jié)合相應一元二次方程根的分布解決問題.（3）主參換位法把變元與參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解，一般情況下條件給出誰的范圍，就看成關于誰的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.19．          0【解析】【分析】由函數(shù)，代入，求得的值，根據(jù)，化簡得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為，即，可得，解得.故答案為：； .20．     2     -4【解析】【分析】令，得到，求得的值，再結(jié)合二項展開式求得展開式中項，即可求解.【詳解】由題意，多項式，令，可得，解得，又由展開式中為，所以.故答案為：； .21．          【解析】【分析】求出的值，利用公式可求得雙曲線的離心率，由已知條件可得出關于、的方程組，進而可求得的值.【詳解】直線的斜率為，雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，可得，因此，雙曲線的離心率為；由已知條件可得，解得.故答案為：；.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.22．     720     【解析】【分析】（1）直接利用排列數(shù)計算即可；（2）相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法，計數(shù)后，利用古典概型求概率.【詳解】排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節(jié)目單，共有種不同的排法；記事件A: 恰有兩首歌曲相鄰,則事件A包含：故.故答案為：720，【點睛】（1）排列組合問題中，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法.（2）古典概型求概率也可以利用計數(shù)原理求出事件個數(shù)，再求概率. 

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