第13講 數(shù)列解答題 2022高考新題好題匯編

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第13講 數(shù)列解答題一、解答題1．（2021·山東高三專題練習(xí)）在①；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并加解答.問題：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，___________，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一解答計(jì)分.【答案】條件選擇見解析；前項(xiàng)和為【分析】分別選①②③，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，求得，得到，結(jié)合乘公比錯位相減法，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】若選①，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又由當(dāng)滿足，所以，所以，則，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，若選②，，由，即，可得數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以，則，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，若選③，，由，可得，所以，即，又由，所以，所以，所以，則，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】錯位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的分法：（1）適用條件：若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求解數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）注意事項(xiàng)：①在寫出和的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號要變號；③作差后，作差部分應(yīng)用為的等比數(shù)列求和.2．（2021·廣東汕頭市·高三一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，給出條件：①；②，且．若___________________，請?jiān)谶@兩個(gè)條件中選一個(gè)填入上面的橫線上并解答. （1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】條件選擇見解析：（1），；（2）.【分析】（1）選條件①：方法一：令可得出，令，由得，兩式作差得出，再由滿足可求得的值，據(jù)此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法二：分別求得、、，求得等比數(shù)列的公比，可求得，再由滿足在時(shí)的表達(dá)式可求得的值，據(jù)此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；選條件②：方法一：令，由得出，兩式作差可得出，結(jié)合已知條件可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式，再由得出，可求得的值；方法二：令可得出，令可得出，可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由可求得實(shí)數(shù)的值；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】（1）選條件①，方法一：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，.因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；方法二：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，.滿足，則，解得.所以，；選條件②，方法一：當(dāng)時(shí)，由可得，兩式相減得，即，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，又當(dāng)時(shí)，，解得；方法二：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，等比數(shù)列的公比為，且，.所以，解得；（2）由（1）可知，，即因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.3．（2021·廣東深圳市·高三一模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）將兩邊同時(shí)取倒數(shù)在整理，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）求出，進(jìn)而可得，當(dāng)時(shí)，，再檢驗(yàn)是否滿足，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）由可得，即，所以是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，（2）由（1）可得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以不滿足，所以，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由數(shù)列前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式時(shí)，一般根據(jù)求解，注意檢驗(yàn)是否滿足，不滿足則需要分段.4．（2021·廣東廣州市·高三一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，是的等比中項(xiàng)，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接用等差數(shù)列的基本量解方程即可；（2）先算出，然后運(yùn)用累加法即可獲解.【詳解】（1）是的等比中項(xiàng)解得  （舍去）（2）據(jù)題意兩式相減得所以有以上9個(gè)式子相加得【點(diǎn)睛】本題求和運(yùn)用了數(shù)列中得累加法，如果遞推公式形式為: 或 則可利用累加法.5．（2021·湖南高三三模）已知數(shù)列{an}滿足，a2-a1=1.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若a1=，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用證得結(jié)論成立.（2）利用累加法求得的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）依題意，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）得，所以，所以.即.6．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若()，且的最大值為25.（1）求的值及通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），()；（2） .【分析】（1）由和 的最大值為25，可求得，從而有，再由 可求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，然后利用錯位相減法可求得結(jié)果【詳解】解：（1）由題可得， 所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得 ；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí) 無整數(shù)解.綜上可得：，.①時(shí)，.②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立.綜上可得：所以，()（2）①②兩式相減得：則.則.7．（2021·廣東揭陽市·高三一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可得是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出；（2）可得，再利用錯位相減法可求.【詳解】（1）令得，可得；當(dāng)時(shí)，與相減，可得.所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.故.（2）利用對數(shù)的性質(zhì)可得，①.②兩式相減①—②可得.整理得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.8．（2021·廣東梅州市·高三一模）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析；()；（2）．【分析】（1）通過計(jì)算為定值可得答案；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入，通過裂項(xiàng)相消法可求和．【詳解】（1）∵當(dāng)時(shí)，，                       又∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，              ∴，∴()；                         （2）∵，∴，                 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，                                 ∴，當(dāng)時(shí)符合，∴，                                                ∴，                  ∴．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法：一是定義法，證明為常數(shù))；二是等比中項(xiàng)法，證明.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中的裂項(xiàng)，確定要裂項(xiàng)求和，要更多的關(guān)注分母的變化特點(diǎn)．9．（2021·江蘇常州市·高三一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，公比為q，且，數(shù)列中有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，（1）求q，并寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)按適當(dāng)順序排列后，可以成等差數(shù)列.【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）因?yàn)?/span>，且各項(xiàng)均為整數(shù)，所以連續(xù)四項(xiàng)為，故，不妨取，故；（2）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，，再分n為奇數(shù)時(shí)和n為偶數(shù)時(shí)驗(yàn)證即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，且各項(xiàng)均為整數(shù)，所以連續(xù)四項(xiàng)為，所以公比，取.（2）由題意，，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以對中的任意連續(xù)三項(xiàng)，經(jīng)順序調(diào)整后可以構(gòu)成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，前項(xiàng)和公式，等差中項(xiàng)證明等差數(shù)列等，考查運(yùn)算求解能力，分類討論思想，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況，并結(jié)合等差中項(xiàng)驗(yàn)證.10．（2021·江蘇鹽城市·）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先算，再化成遞推式求解.（2）帶入化簡，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 兩式相減得即所以因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均正，所以所以當(dāng)時(shí)，故數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）因?yàn)?/span>故【點(diǎn)睛】本題第二問考查的核心是裂項(xiàng)求和，使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．11．（2021·遼寧鐵嶺市·高三一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．?dāng)?shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)例．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據(jù)得到是公比為、首項(xiàng)為的等比數(shù)列， 即可求出，再根據(jù)，且，，成等比數(shù)列，得到方程，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用錯位相減法求和即可；【詳解】解：（1）∵，∴時(shí)，兩式相減得，由得，∴數(shù)列是公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又，，，，成等比得，∴，∴公差，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）令，，①②①－②得∴．【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．12．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若，數(shù)列前項(xiàng)和為，求使的最小的正整數(shù)的值.【答案】（1）；（2）8.【分析】（1）根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解； （2）由（2）得，利用錯位相減法求得，再根據(jù)的單調(diào)性，根據(jù)求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，即正項(xiàng)數(shù)列.當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.（2）由（1）知，所以，，兩式相減得：，，.，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，使的最小的正整數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法（1）公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，； ②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；（2）分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．（4）倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．（5）錯位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和用錯位相減法求解.（6）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．13．（2021·河南高三月考（文））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其前n項(xiàng)和為且為的等比中項(xiàng)（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1）；（2）．【分析】法一：（1）將，和都表示成和的形式，代入等比中項(xiàng)，求出，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）代入數(shù)列的通項(xiàng)公式則，裂項(xiàng)相消求即可.法二：（1）利用前項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，代入等比中項(xiàng)可得，化簡，再代入和，計(jì)算可得，從而求得通項(xiàng)公式；（2）同法一.【詳解】解：（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為4的等差數(shù)列，所以．又，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）因?yàn)?/span>，所以．法二：（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為4的等差數(shù)列，且為的等比中項(xiàng)，所以，從而．因?yàn)?/span>，所以，即，解得，所以．（2）第二問解法同上．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題考查裂項(xiàng)相消求和，要注意裂項(xiàng)時(shí)配湊的系數(shù)和消項(xiàng)時(shí)保留的項(xiàng)數(shù).14．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知公比小于1的等比數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為．（1）求；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于公比的方程，求出公比，進(jìn)而可得答案；（2）利用等比數(shù)列的求和公式求出，再利用放縮法結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q．由得解得或（舍去），所以．（2）證明：由（1）得，所以．因?yàn)?/span>在R上為減函數(shù)，且恒成立，所以當(dāng)，即時(shí)，，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和公式，并靈活應(yīng)用，在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.15．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）將兩邊同時(shí)除以，即可證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用乘公比錯位相減求和.【詳解】（1）依題，在兩邊同時(shí)除以，得：，，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得：，可得，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和①，②，①-②得：，所以.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．(4) 裂項(xiàng)相消法：用于通項(xiàng)能變成兩個(gè)式子相減，求和時(shí)能前后相消的數(shù)列求和.16．（2021·湖南岳陽市·高三一模）已知數(shù)列滿足，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式：（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）證明見解析；；（2）證明見解析．【分析】（1）由題意得，推得，即可證明是等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；（2）推得，由不等式的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，即可求證.【詳解】（1）由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，可得，所以，即，也即，由，所以，所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，則，所以；（2），所以，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列為等比數(shù)列的常用方法：（1）定義法；（2）等比中項(xiàng)法；（3）通項(xiàng)法；（4）前n項(xiàng)和法.17．（2021·江蘇高三專題練習(xí)）由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將數(shù)列，的所有項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，放在前面；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)、放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，……，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，根據(jù)題意，得到，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，可得，整理得，即，解得或，因?yàn)?/span>為整數(shù)數(shù)列，所以，又由，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，根據(jù)題意，新數(shù)列，，，，，，，，，……，則.【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.