第2講 函數(shù)小題一、單選題 1．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先證明，再證明，即得解.【詳解】，，因為，所以.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握指數(shù)對數(shù)函數(shù)的運算和性質(zhì)，從而達到比較大小的目的.2．（2021·廣東汕頭市·高三一模）若，則（    ）A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)指對數(shù)的關(guān)系得，代入目標(biāo)式求值即可.【詳解】由題意知：，即.故選：B.3．（2021·廣東廣州市·高三一模）2020年11月10日，我國“奮斗者”號載人深潛器在馬里亞納海溝成功坐底，下潛深度達到驚人的，創(chuàng)造了我國載人深潛的新記錄.當(dāng)“奮斗者”號下潛至某一深度時，處于其正上方海面處的科考船用聲吶裝置向“奮斗者”號發(fā)射聲波.已知聲波在海水中傳播的平均速度約為，若從發(fā)出至回收到聲波所用時間為，則“奮斗者”號的實際下潛深度約為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】可得聲波從海面?zhèn)鞯?/span>“奮斗者”號的時間為3s，即可求出實際下潛深度.【詳解】可得聲波從海面?zhèn)鞯?/span>“奮斗者”號的時間為，則“奮斗者”號的實際下潛深度約為.故選：B.4．（2021·廣東湛江市·高三一模）已知a=3.20.1，b=log25，c=log32，則（    ）A．b>a>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>b>c【答案】A【分析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)得單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】所以故選：A5．（2021·廣東韶關(guān)市·高三一模）人的心臟跳動時，血壓在增加或減少.血壓的最大值?最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓(單位：)，為時間(單位：)，則下列說法正確的是（    ）A．收縮壓和舒張壓均高于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值 B．收縮壓和舒張壓均低于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值C．收縮壓高于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值 D．收縮壓低于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓高于標(biāo)準(zhǔn)值【答案】C【分析】根據(jù)已知函數(shù)式求得收縮壓和舒張壓，與標(biāo)準(zhǔn)值比較可得．【詳解】由三角函數(shù)知識，函數(shù)的最大值(即收縮壓)為126，函數(shù)的最小值(即舒張壓)為76，比較得：收縮壓高與標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值，故選：C.6．（2021·廣東揭陽市·高三一模）在新冠肺炎疫情期間，某學(xué)校定期對教室進行藥熏消毒.教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（單位：毫克）隨時間（單位：小時）的變化情況如圖所示.在藥物釋放的過程中，與成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）.據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.2毫克以下時，學(xué)生方可進入教室.那么，從藥物釋放開始到學(xué)生能回到教室，至少在（    ）（參考數(shù)值）A．42分鐘后 B．48分鐘后C．50分鐘后 D．60分鐘后【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出時的函數(shù)解析式，即求出的值，再解不等式求得答案.【詳解】把點代入中，，解得.所以當(dāng)時，因為當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.2毫克以下時，學(xué)生方可進入教室所以，解得.至少需要經(jīng)過分鐘后，學(xué)生才能回到教室.故選：B.7．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用定義確定函數(shù)為偶函數(shù)，再利用單調(diào)性證明在上為增函數(shù)，所以不等式化簡為，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù).又當(dāng)時, 是增函數(shù)，任取，且， ，，所以在上是增函數(shù)，即在上是增函數(shù).所以不等式對任意恒成立，轉(zhuǎn)化為，即，從而轉(zhuǎn)化為和在上恒成立①若在上恒成立，則，解得；②若在上恒成立，，則，解得；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點睛】方法點睛：本題考查了解抽象不等式，要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為的模型；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組）來求解，但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.8．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，排除B、C選項；再由函數(shù)的奇偶性，排除D選項，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，可排除B、C選項； 又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以排除D選項.故選：A.9．（2021·江蘇常州市·高三一模）若則滿足的x的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】按或0，，和四種情況，分別化簡解出不等式，可得x的取值范圍．【詳解】①當(dāng)或0時，成立；②當(dāng)時，，可有，解得；③當(dāng)且時，若，則，解得若，則，解得所以則原不等式的解為，故選：B10．（2021·浙江高三專題練習(xí)）函數(shù)在其定義域上的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)時的符號可得正確的選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，它關(guān)于原點對稱.又，故為奇函數(shù)，故排除AB選項，又當(dāng)時，，故選：D.11．（2021·遼寧沈陽市·高三一模）技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)公式:.它表示:在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比較大時，公式中真數(shù)中的可以忽略不計.假設(shè)目前信噪比為若不改變帶寬，而將最大信息傳播速度提升那么信噪比要擴大到原來的約（    ）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，兩式聯(lián)立，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由條件可知，設(shè)將最大信息傳播速度提升那么信噪比要擴大到原來的倍，則，所以，即，所以，解得，故答案為：D12．（2021·全國高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義判斷各選項中函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)法判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，由，解得，所以，函數(shù)的定義域為，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，A選項不滿足條件；對于B選項，由，可得，即函數(shù)的定義域為.，該函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B選項滿足條件；對于C選項，由，解得，所以，函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，該函數(shù)在上為增函數(shù)，C選項不滿足條件；對于D選項，函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，該函數(shù)在上為增函數(shù)，D選項不滿足條件.故選：B.【點睛】方法點睛：函數(shù)單調(diào)性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設(shè)元作差變形判斷符號得出結(jié)論；（2）圖象法：如果函數(shù)是以圖象的形式給出或者函數(shù)的圖象易作出，結(jié)合圖象可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）導(dǎo)數(shù)法：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）復(fù)合函數(shù)法：先將函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，再討論這兩個函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)法“同增異減”的規(guī)則進行判定.13．（2021·河南高三月考（文））函數(shù)的部分圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過函數(shù)的定義域判斷選項C，通過函數(shù)的奇偶性判斷選項B，當(dāng)時，通過函數(shù)的正負判斷選項A，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以的定義域為，則，故排除C；而，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B；當(dāng)時，，，所以排除A．故選：D．14．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））溶液酸堿度是通過計算的，的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，人體血液的氫離子的濃度通常在之間，如果發(fā)生波動，就是病理現(xiàn)象，那么，正常人體血液的值的范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】按題設(shè)所給公式求相應(yīng)的值即可.【詳解】依題意，，因此，正常人體血液的值的范圍是．故選:D．15．（2020·江西九江市·九江七中高三期中（文））函數(shù)的圖象大致為（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B項；又因為，排除C項；又因為，排除D項，即可得到答案.【詳解】由題意知，函數(shù)，滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以B選項錯誤；又因為，所以C選項錯誤；又因為，所以D選項錯誤，故選：A.【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.16．（2021·全國高三專題練習(xí)）區(qū)塊鏈作為一種革新的技術(shù)，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，若密碼的長度設(shè)定為256比特，則密碼一共有種可能；因此，為了破解密碼，最壞情況需要進行次運算.現(xiàn)在有一臺機器，每秒能進行次運算，假設(shè)機器一直正常運轉(zhuǎn)，那么在最壞情況下這臺機器破譯密碼所需時間大約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】B【分析】根據(jù)題目意思得到，根據(jù)對數(shù)運算求出 .【詳解】解：設(shè)這臺機器破譯所需時間大約為秒，則，兩邊同時取底數(shù)為10的對數(shù)得，所以，所以所以，所以.故選：B.【點睛】對數(shù)運算的一般思路:（1）拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并；（2）合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算. 二、多選題17．（2021·全國高一單元測試）若10a＝4，10b＝25，則（    ）A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＜lg6【答案】AC【分析】由指對互化求出，進而利用對數(shù)的運算法則求出a+b和b﹣a的值，可判斷ACD，且ab＝2lg2×2lg5＝4lg2?lg5＞4lg2?lg4，可判斷C．【詳解】∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg4，b＝lg25，∴a+b＝lg4+lg25＝lg100＝2，b﹣a＝lg25﹣lg4＝lg＞lg6，ab＝2lg2×2lg5＝4lg2?lg5＞4lg2?lg4=8lg22．故選：AC．18．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)在上為增函數(shù) D．函數(shù)的值域為【答案】AD【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義及判定方法，可判定A正確，B錯誤；求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定C不正確，D正確.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，又由，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以A正確，B錯誤；由函數(shù)，可得，當(dāng)時，，可得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時，，可得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以函數(shù)的值域為，所以C不正確，D正確.故選：AD.  三、填空題19．（2021·廣東深圳市·高三一模）岡珀茨模型是由岡珀茨（Gompertz）提出，可作為動物種群數(shù)量變化的模型，并用于描述種群的消亡規(guī)律.已知某珍稀物種t年后的種群數(shù)量y近似滿足岡珀茨模型：（當(dāng)時，表示2020年初的種群數(shù)量），若年后，該物種的種群數(shù)量將不足2020年初種群數(shù)量的一半，則m的最小值為_________.【答案】6【分析】依題意得通過計算化簡得，則問題可解．【詳解】令由題意知，，所以 得， 則 所以，解得，所以m的最小值為6故答案為：6【點睛】本題通過實際問題考查指對數(shù)不等式，關(guān)鍵要掌握指對數(shù)不等式求解法則．20．（2021·浙江高三專題練習(xí)）已知y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，且對任意的x∈R，f(x+2)=f(-x)恒成立，當(dāng)時，f(x)=2x，則f(2021)=_____________.【答案】【分析】由已知條件推出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期和奇偶性求值即可．【詳解】y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則又，可得，即的周期為故答案為：21．（2021·湖南衡陽市·高三一模）使得“”成立的一個充分條件是___________.【答案】（答案不唯一，）.【分析】由于，故不等式等價于，解得，故只需寫出的子集即可.【詳解】由于，故等價于，解得：，使得“”成立的一個充分條件只需為集合的子集即可，故答案可以為：故答案為：【點睛】本題考查充分條件，指數(shù)不等式，考查運算求解能力，是中檔題.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知解指數(shù)不等式，進而需求不等式解集的子集即可.22．（2021·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，.若，則a的取值范圍為______.【答案】【分析】先由函數(shù)是奇函數(shù)求出，然后討論的符號求出，再解不等式得出答案.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)時，，則所以當(dāng)時，即，當(dāng)時，，則，由，則，即，解得或 由時，得.當(dāng)時，即，則，由，則，即，解得由，則此時無解.當(dāng),，即，則，則不成立.綜上所述：a的取值范圍為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用奇函數(shù)求函數(shù)解析式和解不等式，解答本題的關(guān)鍵是先利用奇函數(shù)求出，在根據(jù)的符號分別求出，在解不等式，屬于中檔題.  

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