?重慶市渝中區(qū)求精中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期12月月考
數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）
1. 拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對稱軸是（　?。?br /> A. 直線x＝a B. 直線x＝2a C. 直線x＝1 D. 直線x＝﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】將函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，即可得到拋物線的對稱軸．
【詳解】解：，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
2. 下列關(guān)于防范“新冠肺炎”的標(biāo)志中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A. 戴口罩講衛(wèi)生 B. 勤洗手勤通風(fēng)
C. 有癥狀早就醫(yī) D. 少出門少聚集
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關(guān)鍵是掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
3. 若關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一個實(shí)數(shù)根為0，則m等于（　?。?br /> A. 1 B. ±1 C. ﹣1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】把x＝0代入方程得到關(guān)于m的方程，再解關(guān)于m的方程，然后利用一元二次方程的定義確定m的值．
【詳解】把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝1，
而m+1≠0，即m≠﹣1．
所以m＝1．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的概念、一元二次方程的定義，注意的是：千萬不要忽略一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為零．
4. 如圖，在△ABC中，∠BAC＝130°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，連接AD．當(dāng)點(diǎn)A，D，E在同一條直線上時(shí)，則∠BAD的大小是（　?。?br />
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)得出，，根據(jù)點(diǎn)A，D，E在同一條直線上利用鄰補(bǔ)角關(guān)系求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．
【詳解】證明：∵繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴∠ADC=∠DAC，
∵點(diǎn)A，D，E同一條直線上，
∴，
∴∠DAC=50°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
5. 如圖，在⊙O中，∠C=20°，∠B=35°，則∠A等于（ ）

A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【答案】B
【解析】
【分析】由題意∠AOB＝2∠C，則∠AOB＝，根據(jù)∠A+∠AOB＝∠B+∠C，即可解答.
【詳解】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C=20°
∴∠AOB＝，
由題意∠A+∠AOB＝∠B+∠C，
∴
∴ ，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理．
6. 如圖是－張長12cm，寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒．則剪去的正方形的邊長為（ ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù),列出三組等式解出即可．
【詳解】設(shè)底面長為a,寬為b,正方形邊長為x,
由題意得:
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
∴正方形邊長為2cm，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,關(guān)鍵在于正確的設(shè)多個未知數(shù),利用代數(shù)表示列出方程．
7. 在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，正六邊形的邊長為2，則這個正六邊形的中心角和邊心距分別是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正六邊形的性質(zhì)得∠COD＝60°，再證△OCD是等邊三角形，得BC＝CD＝OC＝2，再由垂徑定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OG即可．
【詳解】解：在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，∠COD＝360°÷6＝60°，

∵OC＝OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝1，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8. 下列事件屬于確定事件的為（ ）
A. 氧化物中一定含有氧元素 B. 弦相等，則所對的圓周角也相等
C. 戴了口罩一定不會感染新冠肺炎 D. 物體不受任何力的時(shí)候保持靜止?fàn)顟B(tài)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)確定事件的概念，可知需找出必然事件或不可能事件即可.
【詳解】A、氧化物是含有兩種元素其中一種是氧元素的化合物，必然事件；
B、在同圓或等圓中，弦相等所對的圓周角相等或互補(bǔ)，不確定事件；
C、戴了口罩一定不會感染新冠肺炎，不確定事件；
D、物體不受任何力的時(shí)候保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速運(yùn)動，不確定事件.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查事件的劃分，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件，確定事件中，必然出現(xiàn)的事情稱為必然事件；不可能出現(xiàn)的事情稱為不可能事件.
9. 如圖，函數(shù)和（a是常數(shù)，且）在同一個平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷a的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實(shí)際是否相符，判斷各選項(xiàng)即可．
【詳解】解：A、由一次函數(shù)的圖像可得，過一、二、三象限，，無解，不符合題意；
B、由一次函數(shù)的圖像可得：過二、三、四象限，，無解，不符合題意；
C、由一次函數(shù)的圖像可得：過一、二、四象限，，，此時(shí)，二次函數(shù)的圖像開口向下，符合題意；
D、由一次函數(shù)的圖像可得：過二、三、四象限，，無解，不符合題意；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記一次函數(shù)和二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．
10. 一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都隨機(jī)選擇一條路徑，并且選擇每條路徑的可能性相等，則它獲得食物的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)的選擇一條路徑，觀察圖可得：它有6種路徑，且獲得食物的有2種路徑，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【詳解】解：∵一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)的選擇一條路徑，
∴它有6種路徑，
∵獲得食物的有2種路徑，
∴獲得食物的概率是：
故選A．
【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
11. 如圖1，矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在此過程中A、B、C、D對應(yīng)點(diǎn)依次為A、E、F、G，連接DE，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為x，，y與x的函數(shù)圖象如圖2，當(dāng)時(shí)，y的值為（ ）

A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖2中的坐標(biāo)可得矩形ABCD的對角線長為，，利用勾股定理可求出，，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作，解直角三角形即可求解．
【詳解】解：由圖2可知當(dāng)未旋轉(zhuǎn)時(shí)，，即矩形ABCD的對角線長為，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，AE落在AD上，此時(shí)，
∴，解得，，
當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作，
，
∵旋轉(zhuǎn)角為30°，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查從函數(shù)圖象獲取信息、解直角三角形，能夠從圖2中得到矩形ABCD的對角線長為，是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于和，且，與軸的交點(diǎn)在上方，有以下結(jié)論：①； ②；③；④；⑤；其中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】由圖象可知a＜0，對稱軸為，故，與y軸的交點(diǎn)在正半軸，故c>0，故，①正確；
有圖象可知，得，即，②錯誤；
由，得，故④錯誤；
設(shè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可知，，
∴，即，，∴，③正確；
對于，，
則，
∵a＜0,故開口向下，不可能恒大于0，⑤錯誤；
綜上所述，①③正確，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．
二.填空題（每題4分，共24分）
13. 若關(guān)于x的一元二次方程（m - 1）x2 + 3x + 2 = 0總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 _________ ．
【答案】且
【解析】
【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根和一元二次方程的定義，得到根的判別式的值大于0和，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式和一元二次方程的定義：△=b2-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．以及一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
14. 在一個不透明的盒子中裝有紅、白兩種除顏色外完全相同的球，其中有a個白球和15個紅球，若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則a的值約為______．
【答案】35
【解析】
【分析】根據(jù)題意易得摸到紅球概率為0.3，然后可得盒子中白球與紅球的總數(shù)為50個，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】解：由題意得：摸到紅球的概率為0.3，則有，
盒子中球的總數(shù)為：15÷0.3=50（個）；
∴a=50-15=35（個）；
故答案為35．
【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率與概率，熟練掌握用頻率估計(jì)概率是解題的關(guān)鍵．
15. 一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖所示），橋高為8米，拱高6米，跨度20米．相鄰兩支柱間的距離均為5米，則支柱MN的高度為 _____米．


【答案】3.5
【解析】
【分析】如圖所示，建立坐標(biāo)系，然后求出拋物線解析式，然后求出N點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，
由題意得A點(diǎn)坐標(biāo)（-10，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），N點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，
設(shè)拋物線解析式為，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴支柱MN的高度=8-4.5=3.5米，
故答案為：3.5．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意正確建立坐標(biāo)系求解．
16. 如圖，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，則此扇形的面積為_____．

【答案】
【解析】
【分析】如圖，連接 證明為圓的直徑，再利用勾股定理求解 再利用扇形面積公式計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：如圖，連接

為圓的直徑，




故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
17. 將拋物線y=x2+4x+3繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，再分別向下、向右平移3個單位，此時(shí)該拋物線的解析式為 _____．
【答案】y=-（x-5）2-2
【解析】
【分析】先求出拋物線的頂點(diǎn)式解析式，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)求得平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；最后根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的大小和形狀利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可．
【詳解】解：y=x2+4x+3=（x+2）2-1．此時(shí)，該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，-1）．
將該拋物線繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1）．再分別向下、向右平移3個單位后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2+3，1-3）即（5，-2）．
所以此時(shí)拋物線的解析式為：y=-（x-5）2-2．
故答案是：y=-（x-5）2-2．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，此類題目，利用頂點(diǎn)的變化求解更簡便．
18. 如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得，直線DA、BE相交于點(diǎn)F．取BC的中點(diǎn)G，連接GF，則GF長的最大值為____________cm．

【答案】4
【解析】
【分析】設(shè)，可得，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得，取的中點(diǎn)，連接、，則，，繼而可得，即可得到答案．
【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接、，如圖：

是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
設(shè)，則，
在四邊形中，
，
在中，，，，
，
中，，
是中位線，
，
而，
當(dāng)、、在一條直線上時(shí)，最大，最大值為，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理、中位線定理，構(gòu)建以為邊的三角形，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出的長度范圍是解題的關(guān)鍵．
三.解答題（19到25題，每題10分，26題8分，共78分）
19. 解下列方程：
（1）x2 + 4x -2 = 0； （2）( x-2)2=3( x-2)．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【詳解】（1）x2 + 4x -2 = 0
x2 + 4x =2


，
∴
（2）( x-2)2=3( x-2)


∴x-2=0或x-5=0，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法：直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選用適合的方法求解是解題的關(guān)鍵．
20. “一方有難，八方支援”．武漢新冠病毒牽動著全國人民的心，我市某醫(yī)院甲、乙、丙三位醫(yī)生和、兩名護(hù)士報(bào)名支援武漢．
（1）若從甲、乙、丙三位醫(yī)生中隨機(jī)選一位醫(yī)生，求恰好選中醫(yī)生甲的概率；
（2）若從甲、乙、丙三位醫(yī)生和、兩名護(hù)士中隨機(jī)選一位醫(yī)生和一名護(hù)士，求恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖求解；
【詳解】（1）P（恰好選中醫(yī)生甲）=；
（2）畫樹狀圖，得


共有6種等可能的結(jié)果，其中選擇醫(yī)生甲和護(hù)士A的有1種
所以選擇醫(yī)生甲和護(hù)士的概率．
【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（5，3），B（0，5）．
（1）畫出△OAB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△OA1B1；
（2）∠OAA1＝　 　；
（3）求旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)A經(jīng)過的路徑有多長．

【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)先得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后順次連接即可；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA1，∠AOA1=90°，則三角形AOA1是等腰直角三角形，由此求解即可；
（3）如圖所示，點(diǎn)A經(jīng)過的路徑即為圓心角是90度，半徑是OA的長的扇形弧長，由此求解即可．
【詳解】解：（1）∵△OAB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△OA1B1，A（5，3），B（0，5）
∴A1（-3，5），B1（-5，0），
如圖所示，即為所求；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA1，∠AOA1=90°，
∴三角形AOA1是等腰直角三角形，
∴∠OAA1=45°，
故答案為：45°；

（3）如圖所示，點(diǎn)A經(jīng)過的路徑即為圓心角是90度，半徑是OA的長的扇形弧長，
∵A（5，3），
∴，
∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)作圖，求弧長，兩點(diǎn)距離公式，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．
22. 如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是AB延長線上的一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E，AC平分∠DAE．
(1)DE與⊙O有何位置關(guān)系？請說明理由．
(2)若AB＝6，CD＝4，求CE的長．

【答案】（1）相切，理由見解析；（2）CE=．
【解析】
【分析】（1）連接OC，利用切線的判定解答即可；
（2）過C作CF⊥OD于F，根據(jù)勾股定理和等面積公式解答即可．
【詳解】（1）相切
理由：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠OAC，
則∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）過C作CF⊥OD于F，

∵AB是⊙O的直徑，
∴CO=AB=3，
∴在△COD中，OC⊥DE，CD=4，
代入OD2=OC2+CD2得OD=5
由等面積求得CF=
∵CF⊥OD，AE⊥DE，AC平分∠EAB，
∴CE=CF=．
【點(diǎn)睛】考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．
23. 函數(shù)的圖象在探索函數(shù)的性質(zhì)中有著非常重要的作用，小林同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探究了函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
（1）下表給出了部分的取值：

…
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…

…
-2
2
4
4
2
1
0
-1
…
由上表可知，_________，__________．
（2）用你喜歡的方法在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：__________________________________________________．

（3）若方程恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解，請直接寫出的取值范圍是：_______________________．
【答案】（1），4；（2）圖見解析，性質(zhì)：①函數(shù)圖與x軸有兩個交點(diǎn)，②當(dāng)x=時(shí)，取得最大值；（3）．
【解析】
【分析】（1）因?yàn)橛袃蓚€常量不知，可代入兩個點(diǎn)，用待定系數(shù)法即可求解；
（2）將所求的函數(shù)去絕對值，化簡為分段函數(shù)，結(jié)合每一部分的特點(diǎn)即可畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合圖象可寫出函數(shù)的性質(zhì)；
（3）把問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個交點(diǎn)問題，結(jié)合圖象分析即可．
【詳解】解：（1）將（1，4），（2，2）分別代入中得
解得，
故答案為：，4；
（2），
函數(shù)圖象，如下圖：

性質(zhì)：①函數(shù)圖與x軸有兩個交點(diǎn)，②當(dāng)x=時(shí)，取得最大值；
（3）如上圖，恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解，可以看成與的圖象有兩個交點(diǎn)，
讓向下移動，相切時(shí)，
有且僅有一個解，
，
再向下移動時(shí)，二者有兩個交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與圖中函數(shù)圖象x＞2那部分重合，有無數(shù)個交點(diǎn)，不符合題意，
繼續(xù)向下移動是，即，二者只有一個交點(diǎn)，不符合題意，
綜上所述，若方程恰有兩個不同實(shí)數(shù)解，
【點(diǎn)睛】本題是一道設(shè)計(jì)精巧的數(shù)形結(jié)合題，學(xué)生如果通過描點(diǎn)畫出圖象，即能作出解答．但本題得分率很低，其原因是一部分學(xué)生無從下手，一部分學(xué)生習(xí)慣性地由對應(yīng)點(diǎn)求出解析式后也無法作答．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想之一，解決函數(shù)問題更是如此，同學(xué)們要引起重視．
24. 每年的2月到6月是魚類的產(chǎn)卵期的繁殖期，為了對魚類的繁殖，生長進(jìn)行保護(hù)，每年的3月1日至6月三十日是長江魚類的禁漁期，2021年初，由于禁漁期內(nèi)禁止一切野生魚的捕撈，導(dǎo)致重慶人工養(yǎng)殖的草魚價(jià)格出現(xiàn)了較大波動．
（1）從2021年3月1日至4月30日，重慶某人工養(yǎng)殖的草魚價(jià)格不斷走高，3月1日該草魚的價(jià)格為10元/千克，4月30日的價(jià)格比3月1日的價(jià)格上漲50%，某市民在今年3月1日和4月30日分別購買了相同質(zhì)量的該草魚，且4月30日所花費(fèi)的錢至少比3月1日多20元，則該市民4月30日購買了該草魚至少多少千克？
（2）為穩(wěn)定該草魚的價(jià)格，某農(nóng)貿(mào)市場從外地調(diào)運(yùn)此種草魚以平衡市場價(jià)格，5月1日外地調(diào)運(yùn)的草魚投運(yùn)市場，并在4月30日價(jià)格的基礎(chǔ)上下調(diào)a%出售，某魚店按規(guī)定價(jià)出售一批外運(yùn)草魚，該魚店在非外運(yùn)草魚的價(jià)格仍在4月30日價(jià)格的情況下，該天的兩種草魚總銷量比4月30日增加了2a%，且外運(yùn)草魚的銷量占總銷量的，兩種草魚銷售的總金額比4月30日提高了a%，求a的值．
【答案】（1）該市民4月30日購買了該草魚至少4千克；（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)該市民4月30日購買了該草魚千克，根據(jù)4月30日所花費(fèi)的錢至少比3月1日多20元，列一元一次不等式，解不等式即可解決問題；
（2）根據(jù)題意，4月30日的草魚價(jià)格為元/千克，，則5月1日，外運(yùn)草魚的價(jià)格為元/千克，，非外運(yùn)草魚的價(jià)格仍為元/千克，設(shè)4月30日的銷售量為千克，則4月30日的銷售額為，則5月1日的銷售量為千克，外運(yùn)草魚的銷售量為，則非外運(yùn)草魚的銷售量為，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程求解即可
【詳解】（1）解：設(shè)該市民4月30日購買了該草魚千克，根據(jù)題意得：

解得
答：該市民4月30日購買了該草魚至少4千克
（2）根據(jù)題意，4月30日的草魚價(jià)格為元/千克，，則5月1日，外運(yùn)草魚的價(jià)格為元/千克，，非外運(yùn)草魚的價(jià)格仍為元/千克，
設(shè)4月30日的銷售量為千克，則4月30日的銷售額為，
則5月1日的銷售量為千克，外運(yùn)草魚的銷售量為，則非外運(yùn)草魚的銷售量為，根據(jù)題意有，



解得（舍），

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系，找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，于點(diǎn)M，軸交于點(diǎn)N．求線段的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)E為x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上一動點(diǎn)，是否存在以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2），P（，）；（3）（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）
【解析】
【分析】（1）將A、B坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求解；
（2）證明∠PNM=45°，得到PM=PN，求出PN，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到PN的最大值即可得到結(jié)果；
（3）畫出圖形，分情況討論，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，得到方程，解之可得點(diǎn)E坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）將A，B代入中，
得，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3），
∵B（3，0），
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵PN∥y軸，
∴∠PNM=45°，
∵PM⊥BC，
∴PM=PN，則當(dāng)PN最大時(shí)，PM最大，
設(shè)BC的解析式為y=mx+n，
則，解得：，
∴BC的解析式為y=x-3，
設(shè)P（x，），N（x，x-3），
則PN==，
當(dāng)x=時(shí)，PN最大，則PM=PN==，
此時(shí)P（，）；
（3）∵△CEQ是以CQ為斜邊的等腰直角三角形，
設(shè)Q（x，），
如圖，過E作x軸的垂線，再分別過C和Q作y軸的垂線，分別交于M，N，
∵∠CEQ=90°，即∠QEN+∠CEM=90°，∠QEN+∠EQN=90°，
∴∠CEM=∠EQN，又∠M=∠N=90°，EQ=EC，
∴△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
則，
即，
解得：x=-2或x=3（舍），
∴OE=CM=2+3=5，即E（-5，0）；

如圖，過E作x軸的垂線，再分別過C和Q作y軸的垂線，分別交于M，N，
同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
∴，
解得：x=或（舍），
∴OE=CM=，即E（，0）；

如圖，點(diǎn)E和點(diǎn)O重合，點(diǎn)Q和點(diǎn)B重合，
此時(shí)E（0，0）；

如圖，過E作x軸的垂線，再分別過C和Q作y軸的垂線，分別交于M，N，
同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
∴，
解得：x=（舍）或，
則OE=CM=，即E（，0）；

綜上：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
26. 將銳角為45°的直角三角板MPN的一個銳角頂點(diǎn)P與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，正方形ABCD固定不動，然后將三角板繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∠MPN的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其所在直線相交于點(diǎn)E、F，連接EF．
（1）在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC相交時(shí)，如圖1所示，請直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系；
（2）在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長線相交時(shí)，如圖2所示，請直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系；
（3）若正方形的邊長為4，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠MPN的一邊恰好經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)時(shí)，試求線段EF的長．


【答案】（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）線段EF的長為或．
【解析】
【分析】（1）延長FD至G，使DG=BE，連接AG，先證△ABE≌△ADG，再證△GAF≌△EAF即可；
（2）在DC上截取DH=BE，連接AH，先證△ADH≌△ABE，再證△HAF≌EAF即可；
（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．
【詳解】解：（1）結(jié)論：EF=BE+DF．
理由：延長FD至G，使DG=BE，連接AG，如圖①，

∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（AAS），
∴EF=GF，
∴GF=DF+DG=DF+BE，
即：EF=DF+BE；
（2）結(jié)論：EF=DF-BE．
理由：在DC上截取DH=BE，連接AH，如圖②，

∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，
∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，
∴∠DAH+∠BAF=45°，
∴∠HAF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△HAF≌EAF（SAS），
∴HF=EF，
∵DF=DH+HF，
∴EF=DF-BE；
（3）①當(dāng)MA經(jīng)過BC的中點(diǎn)E時(shí)，同（1）作輔助線，如圖：

設(shè)FD=x，由（1）的結(jié)論得FG=EF=2+x，F(xiàn)C=4-x．
在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，
∴x=，
∴EF=x+2=．
②當(dāng)NA經(jīng)過BC的中點(diǎn)G時(shí)，同（2）作輔助線，

設(shè)BE=x，由（2）的結(jié)論得EC=4+x，EF=FH，
∵K為BC邊的中點(diǎn)，
∴CK=BC=2，
同理可證△ABK≌FCK（SAS），
∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，
∴x=，
∴EF=8-=．
綜上，線段EF的長為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．




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