?2020-2021學年湖北省武漢市江漢區(qū)四校聯盟九年級（下）月考數學試卷（3月份）
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）若實數a的相反數是﹣2，則a等于（　?。?br /> A．2 B．﹣2 C． D．0
2．（3分）若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＜ B．x＜2 C．x≥ D．x≤
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　?。?br /> A．走過一個紅綠燈路口時，前方正好是紅燈
B．買一張電影票，座位號是5的倍數
C．擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上
D．從一個只有紅球的盒子里摸出一個球是紅球
4．（3分）下列微信表情圖標屬于軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
5．（3分）如圖所示物體的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
6．（3分）某班從甲、乙、丙、丁四位選手中隨機選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
7．（3分）若點A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，）都在反比例函數y＝（k＜0）的圖象上，則x1，x2，x3的大小關系是（　?。?br /> A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2
8．（3分）小元步行從家去火車站，走到6分鐘時，以同樣的速度回家取物品，然后從家乘出租車趕往火車站，結果比預計步行時間提前了3分鐘．小元離家路程S（米）與時間t（分鐘）之間的函數圖象如圖，那么從家到火車站路程是（　?。?br />
A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米
9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，過點D的切線交AC于點E，連接OE．若cos∠ABC＝，則tan∠AEO的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
10．（3分）如圖，將一枚跳棋放在七邊形ABCDEFG的頂點A處，按順時針方向移動這枚跳棋2021次．移動規(guī)則是：第k次移動k個頂點（如第一次移動1個頂點，跳棋停留在B處，第二次移動2個頂點，跳棋停留在D處），按這樣的規(guī)則，在這2021次移動中，跳棋不可能停留的頂點是（　?。?br />
A．C，E，F B．E，F C．C，E D．沒有
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）化簡二次根式的結果是　 ?。?br /> 12．（3分）在某學校開展的藝術作品征集活動中，五個班上交的作品數量（單位：件）分別為：42，50，45，46，50，則這組數據的中位數是　 　．
13．（3分）計算﹣的結果是　 ?。?br /> 14．（3分）在?ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，連接BD，若BD＝4，則線段CD的長為　 ?。?br /> 15．（3分）函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點（2，0），頂點坐標為（﹣1，n），其中8＜n＜9．下列四個結論：
①abc＞0；②a＝＝﹣；③當﹣2≤x≤3時，≤y≤﹣；④方程ax2+bx+c+4b＝1沒有實數根．其中正確結論的序號是 　 ?。?br /> 16．（3分）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，AE為折痕，AB＝4．設FC的長為t，用含有t的式子表示△AFE的面積是　 ?。?br />
三、解答題（共8小題，共72分）
17．（8分）計算：[a2?a4﹣（3a3）2]?a3．
18．（8分）如圖，ABCD是正方形，E是BC邊上一點，連接AE，作DF⊥AE，BG⊥AE，垂足分別為F，G．
求證：DF﹣BG＝FG．

19．（8分）麥當勞公司為擴大規(guī)模，占領市場，決定最新推出4種套餐，下面是該公司市場調研人員來到某校就A，B，C，D四種套餐在學生心中的喜愛程度進行的調查，詢問了一部分同學，結果統(tǒng)計如圖，請你結合圖中信息解答下列問題．
（1）該公司一共詢問了多少名同學？
（2）通過計算把條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）已知該校有2000人，估計全校最喜愛B種套餐的人數是多少？

20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（0，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1），僅用無刻度的直尺在給定的12×8的網格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）．

（1）將線段AC繞點A逆時針旋轉90°，畫出對應的線段AD；
（2）在x軸的正半軸上畫點E，使∠ADE＝135°；
（3）過點E畫線段EF，使EF∥BC，且EF＝BC．
21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，D為弧BC的中點．BC與AD相交于E，連接CD．
（1）求證：CD2＝DE?DA；
（2）若tan∠BCD＝，求sin∠CDA的值．

22．（10分）為解決學生課桌桌面亂堆亂放現象，班主任王老師計劃從文具店購進A，B兩種不同型號的書掛袋給學生使用，每名學生1只（班級共40名學生）．已知：購買3只A種書掛袋、2只B種書掛袋需要110元，購買5只A種書掛袋、4只B種書掛袋需要200元．設B種書掛袋為m只．
（1）求文具店A種、B種書掛袋售價各為多少元？
（2）若王老師計劃購買兩種書掛袋的總費用不低于850元且不超過900元，則有幾種購買方案？
（3）已知文具店A，B兩種書掛袋的進貨價分別為16元和18元，目前正在對B種書掛袋進行促銷活動：購買B種書掛袋數量不超過10只時，不優(yōu)惠；購買B種書掛袋數量超過10只時，每超過1只，購買的所有B種書掛袋單價均降低0.1元（最低不低于成本），問：王老師的班級選擇A，B兩種書掛袋各幾只時，文具店獲利最大？最大利潤是多少元？
23．（10分）已知E，F分別是四邊形ABCD的BC，CD邊上的點，且∠AEF＝90°．

（1）如圖1，若四邊形是正方形，E是BC的中點，求證：；
（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，
①如圖2，若，∠AFE＝∠D，求cos∠EAF的值；
②如圖3，若AB＝BC，cos∠AFE＝，請直接寫出＝　 ?。?br /> 24．（12分）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；
（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點M，交x軸于點N（2，0）．點D是拋物線上A，M之間的一動點，且點D不與A，M重合，連接DB交MN于點E．連接AD并延長交MN于點F．在點D運動過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．


2020-2021學年湖北省武漢市江漢區(qū)四校聯盟九年級（下）月考數學試卷（3月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）若實數a的相反數是﹣2，則a等于（　?。?br /> A．2 B．﹣2 C． D．0
【解答】解：∵2的相反數是﹣2，
∴a＝2．
故選：A．
2．（3分）若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＜ B．x＜2 C．x≥ D．x≤
【解答】解：由題意得，1﹣2x≥0，
解得x≤．
故選：D．
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　?。?br /> A．走過一個紅綠燈路口時，前方正好是紅燈
B．買一張電影票，座位號是5的倍數
C．擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上
D．從一個只有紅球的盒子里摸出一個球是紅球
【解答】解：A、走過一個紅綠燈路口時，前方正好是紅燈，是隨機事件；
B、買一張電影票，座位號是5的倍數，是隨機事件；
C、擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上，是隨機事件；
D、從一個只有紅球的盒子里摸出一個球是紅球，是必然事件；
故選：D．
4．（3分）下列微信表情圖標屬于軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，本選項不合題意；
B、不是軸對稱圖形，本選項不合題意；
C、是軸對稱圖形，本選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，本選項不合題意．
故選：C．
5．（3分）如圖所示物體的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【解答】解：從上面看，是一行3個全等的矩形，
故選：C．
6．（3分）某班從甲、乙、丙、丁四位選手中隨機選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意畫圖如下：

共有12種等可能數，其中恰好選中甲、乙兩位選手的有2種，
則恰好選中甲、乙兩位選手的概率是＝；
故選：C．
7．（3分）若點A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，）都在反比例函數y＝（k＜0）的圖象上，則x1，x2，x3的大小關系是（　?。?br /> A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函數的圖象在二、四象限，且在每個象限內，y隨x的增大而增大，
∵點A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，）都在反比例函數y＝（k＜0）的圖象上，﹣5＜0＜2＜，
∴x2＜x3＜x1，
故選：B．
8．（3分）小元步行從家去火車站，走到6分鐘時，以同樣的速度回家取物品，然后從家乘出租車趕往火車站，結果比預計步行時間提前了3分鐘．小元離家路程S（米）與時間t（分鐘）之間的函數圖象如圖，那么從家到火車站路程是（　?。?br />
A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米
【解答】解：步行的速度為：480÷6＝80米/分鐘，
∵小元步行從家去火車站，走到6分鐘時，以同樣的速度回家取物品，
∴小元回到家時的時間為6×2＝12（分鐘）
則返回時函數圖象的點坐標是（12，0）
設后來乘出租車中S與t的函數解析式為S＝kt+b（k≠0），
把（12，0）和（16，1280）代入得，
，
解得，
所以S＝320t﹣3840；
設步行到達的時間為t，則實際到達的時間為t﹣3，
由題意得，80t＝320（t﹣3）﹣3840，
解得t＝20．
所以家到火車站的距離為80×20＝1600m．
故選：C．
9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，過點D的切線交AC于點E，連接OE．若cos∠ABC＝，則tan∠AEO的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：連接OD，AD，
∵AB為直徑．
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB，
設CD＝CD＝3x，
∵cos∠ABC＝＝，
∴AB＝AC＝5x，
∴DO＝AO＝AB＝，
∵cos∠ABC＝cos∠ACB＝＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴DE＝＝，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴DO∥AC，
∴∠AOE＝∠DOE，
∵DE是⊙O的切線，
∴DE⊥DO，
∴tan∠AEO＝tan∠DOE＝＝，
故選：C．

10．（3分）如圖，將一枚跳棋放在七邊形ABCDEFG的頂點A處，按順時針方向移動這枚跳棋2021次．移動規(guī)則是：第k次移動k個頂點（如第一次移動1個頂點，跳棋停留在B處，第二次移動2個頂點，跳棋停留在D處），按這樣的規(guī)則，在這2021次移動中，跳棋不可能停留的頂點是（　?。?br />
A．C，E，F B．E，F C．C，E D．沒有
【解答】解：把棋子跳過的字母排成如下一列：
BCDEFGABCDEFGABCDEFGABCDEFGA......，
顯然它的循環(huán)周期是7，
棋子第n次跳到的位置是，
當n＝1，2，3，4，5，6，7時，
棋子跳到的位置依次是1，3，6，10，15，21，28，
對應的字母依次是B，D，G，D，B，A，A，
當n＞7時，設n＝m+7k，其中k，m都是正整數，且m＜7，
，
∵和都是整數，
∴也是整數，
∴當n＞7時，后面的位置都和n＜7的情況重復，
∴不經過的位置有C，E，F．
故選：A．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）化簡二次根式的結果是　3?。?br /> 【解答】解：＝＝3．
故答案為：3．
12．（3分）在某學校開展的藝術作品征集活動中，五個班上交的作品數量（單位：件）分別為：42，50，45，46，50，則這組數據的中位數是　46?。?br /> 【解答】解：將這五個數據從小到大排列得，42，45，46，50，50，處在中間位置的一個數是46，因此中位數是46，
故答案為：46．
13．（3分）計算﹣的結果是　?。?br /> 【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝．
故答案為：．
14．（3分）在?ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，連接BD，若BD＝4，則線段CD的長為　4或8?。?br /> 【解答】解：作DE⊥AB于E，如圖所示：
∵∠A＝30°，
∴DE＝AD＝2，
∴AE＝DE＝6，BE＝＝＝2，
∴AB＝AE﹣BE＝4，或AB＝AE+BE＝8，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB＝4或8；
故答案為：4或8．

15．（3分）函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點（2，0），頂點坐標為（﹣1，n），其中8＜n＜9．下列四個結論：
①abc＞0；②a＝＝﹣；③當﹣2≤x≤3時，≤y≤﹣；④方程ax2+bx+c+4b＝1沒有實數根．其中正確結論的序號是 ?、佗邰堋。?br /> 【解答】根據題意，如圖

①a＜0，對稱軸在y軸的左側，ab同號，b＜0，與y軸交于正半軸c＞0，abc＞0，正確，
②對稱軸x＝﹣＝﹣1，b＝2a，將點（2，0）代入拋物線得4a+2b+c＝0，解得c＝﹣8a，，錯誤，
③當﹣2≤x≤3時，x＝﹣1時有最大值y＝＝b，x＝3時有最小值y＝b+3b﹣4b＝b，正確，
④當x＝﹣1時，y＝﹣9a，8＜﹣9a＜9，﹣1＜a＜﹣，
ax2+bx+c+4b＝1，得ax2+bx+c＝1﹣4b，
將b＝2a，c＝﹣8a代入方程得，
ax2+2ax﹣1＝0，
Δ＝4a2+4a＝4（a+）2﹣1
當x＝﹣1時，y＝﹣9a，8＜﹣9a＜9，﹣1＜a＜﹣，
∴Δ＜0，
∴ax2+bx+c＝1﹣4無實數根．正確．
故答案為①③④
16．（3分）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，AE為折痕，AB＝4．設FC的長為t，用含有t的式子表示△AFE的面積是　?。?br />
【解答】解：設AD＝x，
由折疊可知，AD＝AF＝x，DE＝FE，
∵FC＝t，AB＝4，
∴BF＝x﹣t，CE＝4﹣DE，
在Rt△CEF中，EF2＝CF2+CE2，
∴DE2＝t2+（4﹣DE）2，
∴DE＝，
在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，
∴x2＝42+（x﹣t）2，
∴x＝，
∴S△AEF＝S△ADE＝×AD×DE＝××＝，
故答案為．
三、解答題（共8小題，共72分）
17．（8分）計算：[a2?a4﹣（3a3）2]?a3．
【解答】解：[a2?a4﹣（3a3）2]?a3
＝（a6﹣9a6）?a3
＝（﹣8a6）?a3
＝﹣8a9．
18．（8分）如圖，ABCD是正方形，E是BC邊上一點，連接AE，作DF⊥AE，BG⊥AE，垂足分別為F，G．
求證：DF﹣BG＝FG．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵DF⊥AE，BG⊥AE，
∴∠AFD＝∠AGB＝∠ADF+∠DAF＝90°，
∵∠DAF+∠BAG＝90°，
∴∠ADF＝∠BAG，
在△DAF和△ABG中，
，
∴△DAF≌△ABG（AAS），
∴DF＝AG，AF＝BG，
∴DF﹣BG＝AG﹣AF＝FG．
19．（8分）麥當勞公司為擴大規(guī)模，占領市場，決定最新推出4種套餐，下面是該公司市場調研人員來到某校就A，B，C，D四種套餐在學生心中的喜愛程度進行的調查，詢問了一部分同學，結果統(tǒng)計如圖，請你結合圖中信息解答下列問題．
（1）該公司一共詢問了多少名同學？
（2）通過計算把條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）已知該校有2000人，估計全校最喜愛B種套餐的人數是多少？

【解答】解：（1）44÷44%＝100（名），
答：該公司一共詢問了100名同學；
（2）B項目人數為100﹣（44+8+28）＝20（名），
補全條形圖如下：

（3）2000×＝400（名），
答：估計全校最喜愛B種套餐的人數是400名．
20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（0，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1），僅用無刻度的直尺在給定的12×8的網格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）．

（1）將線段AC繞點A逆時針旋轉90°，畫出對應的線段AD；
（2）在x軸的正半軸上畫點E，使∠ADE＝135°；
（3）過點E畫線段EF，使EF∥BC，且EF＝BC．
【解答】解：（1）如圖，線段AD即為所求作．
（2）如圖，點E即為所求作．
（3）如圖，線段EF即為所求作．

21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，D為弧BC的中點．BC與AD相交于E，連接CD．
（1）求證：CD2＝DE?DA；
（2）若tan∠BCD＝，求sin∠CDA的值．

【解答】（1）證明：連接AC，如圖，
∵D為弧BC的中點，即＝，
∴∠CAD＝∠BCD，
∵∠EDC＝∠CDA，
∴△DCE∽△DAC，
∴＝，
∴CD2＝DE?DA；
（2）解：連接BD，如圖，
∵＝，
∴∠DCB＝∠DBC，DC＝DB，
∵AB為直徑，
∴∠ACE＝∠ADB＝90°，
在Rt△BDE中，tan∠DBE＝tan∠BCD＝＝，
設DE＝x，則DB＝CD＝2x，
∴BE＝＝x，
∵CD2＝DE?DA，
∴4x2＝x?DA，解得DA＝4x，
∴AE＝AD﹣DE＝3x，
∵∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE∽△BDE，
∴＝，即＝，解得AC＝x，
在Rt△ABD中，AB＝＝2x，
在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，
∵∠CDA＝∠ABC，
∴sin∠CDA＝．

22．（10分）為解決學生課桌桌面亂堆亂放現象，班主任王老師計劃從文具店購進A，B兩種不同型號的書掛袋給學生使用，每名學生1只（班級共40名學生）．已知：購買3只A種書掛袋、2只B種書掛袋需要110元，購買5只A種書掛袋、4只B種書掛袋需要200元．設B種書掛袋為m只．
（1）求文具店A種、B種書掛袋售價各為多少元？
（2）若王老師計劃購買兩種書掛袋的總費用不低于850元且不超過900元，則有幾種購買方案？
（3）已知文具店A，B兩種書掛袋的進貨價分別為16元和18元，目前正在對B種書掛袋進行促銷活動：購買B種書掛袋數量不超過10只時，不優(yōu)惠；購買B種書掛袋數量超過10只時，每超過1只，購買的所有B種書掛袋單價均降低0.1元（最低不低于成本），問：王老師的班級選擇A，B兩種書掛袋各幾只時，文具店獲利最大？最大利潤是多少元？
【解答】解：（1）設文具店A種、B種書掛袋售價各為x元、y元，根據題意得：
，解得，
答：文具店A種、B種書掛袋售價各為20元、25元．
（2）設購買A種書掛袋x只，則購買B種書掛袋（40﹣x）只，由題意得：
，
解得20≤x≤30，
因為x是正整數，所以有11種購買方案．
（3）設B種掛書袋為m只，則A種掛書袋為（40﹣m）只，
根據題意可知：
①當m≤10只時，文具店的利潤為：
（20﹣16）（40﹣m）+（25﹣18）m＝160+3m，
∴當m＝10只時，利潤最大為190元；
②當m＞10只時，文具店的利潤為：
（20﹣16）（40﹣m）+（25﹣18）m﹣m（m﹣10）×0.1
＝﹣0.1m2+4m+160
＝﹣0.1（m﹣20）2+200，
∵a＝﹣0.1＜0，
∴當m＝20只時，文具店的最大利潤為200元，此時A為20只．
∵200＞190，
∴A、B兩種書袋均取20只．
答：當A、B兩種書掛袋都是20只時，文具店獲利最大，最大利潤是200元．
23．（10分）已知E，F分別是四邊形ABCD的BC，CD邊上的點，且∠AEF＝90°．

（1）如圖1，若四邊形是正方形，E是BC的中點，求證：；
（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，
①如圖2，若，∠AFE＝∠D，求cos∠EAF的值；
②如圖3，若AB＝BC，cos∠AFE＝，請直接寫出＝　?。?br /> 【解答】（1）證明：設正方形的邊長為4a．∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠AEB＝∠EFC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵E是BC中點，
∴BE＝CE＝2a，
∵AB＝CD＝4a，
∴，
∴CF＝a，
∴DF＝CD﹣CF＝3a，
∴＝＝；
（2）解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，，E是BC的中點，
∴＝，
∴DF＝BC，
如圖2，在DC的延長線上取一點H，使EH＝EC，

則∠EHC＝∠ECH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠ECH，
∵∠ECH＝∠EHC，
∴∠EHC＝∠D＝∠H，
∴∠AFE＝∠D，
∴∠EFH＝∠FAD，
∴△EFH∽△FAD，
∴＝，
∴＝＝，
設EF＝4k，AF＝5k，
∵∠AEF＝90°，
∴AE＝＝＝3k，
∴cos∠EAF＝＝；

②∵AB＝BC，∠AFE＝，
∴＝，
如圖3中，在AD上取點P使得FP＝DF，

∴∠D＝∠DPF，
∵∠DPF＝180°﹣∠APF，∠D＝180°﹣∠C，
∴∠C＝∠APF，
∴△APF∽△FCE，
∴＝＝＝5，
∴PF＝5CE，
∵BA＝BC，CF＝CD﹣DF，
∴＝，
∴＝，
故答案為．
24．（12分）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；
（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點M，交x軸于點N（2，0）．點D是拋物線上A，M之間的一動點，且點D不與A，M重合，連接DB交MN于點E．連接AD并延長交MN于點F．在點D運動過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

【解答】解：（1）如圖1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵△ABC的面積為2，即，
∴，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
將C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，
∴a＝﹣，
∴該二次函數的解析式為y＝﹣x2+x+1；
（2）分兩種情況：
①當PQ在x軸的上方時，如圖2，設點P的縱坐標為m，當y＝m時，﹣x2+x+1＝m，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴點P的坐標為（1﹣，m），點Q的坐標為（1+，m），
∴點G的坐標為（1﹣，0），點H的坐標為（1+，0），
∵矩形PGHQ為正方形，
∴1+﹣（1﹣）＝m，
解得：m1＝﹣6﹣2（舍），m2＝﹣6+2；
②當PQ在x軸的下方時，m＜0，
同理可得m＝﹣6﹣2；
∴當四邊形PGHQ為正方形時，邊長為6+2或2﹣6；
（3）如圖3，設點D（n，﹣n2+n+1），延長BD交y軸于K，

∵A（﹣1，0），
設AD的解析式為：y＝kx+b，
則，解得：，
∴AD的解析式為：y＝（﹣）x﹣，
當x＝2時，y＝﹣n+2﹣n+1＝﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN＝3﹣n，
同理得直線BD的解析式為：y＝（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK＝n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK＝3EN，
∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，
∴在點D運動過程中，3NE+NF為定值4．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2022/2/21 14:07:10；用戶：校園號；郵箱：gx998@xyh.com；學號：40932698

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