?2021年福建省廈門市中考數(shù)學(xué)二模試卷
一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分）
1．實數(shù)的相反數(shù)是2，則等于　　
A． B． C． D．
2．下列立體圖形中，俯視圖是正方形的是　　
A． B． C． D．
3．流感病毒的直徑大約為0.0000009米，它的直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為　　
A． B． C． D．
4．下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
5．下列說法中，正確的是　　
A．為檢測我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，應(yīng)該采用普查的方式
B．若兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測試的平均分相同，則方差較大的同學(xué)數(shù)學(xué)成績更穩(wěn)定
C．拋擲一個正方體骰子，朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是
D．“打開電視，正在播放廣告”是必然事件
6．如圖，數(shù)軸上、兩點所表示的數(shù)分別是和2，點是線段的中點，則點所表示的數(shù)是　　

A． B． C． D．
7．如圖，正方形與正方形是位似圖形，為位似中心，兩個正方形的面積之比為，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為　　

A．， B．， C．， D．
8．中國古代人民在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)問題，在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個問題，大意為：有若干人乘車，若每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘，問共有多少輛車，多少人，設(shè)共有輛車，人，則可列方程組為　　
A． B．
C． D．
9．如圖，為直徑，，、為圓上兩個動點，為中點，于，當(dāng)、在圓上運動時保持，則的長　　

A．隨、的運動位置而變化，且最大值為4
B．隨、的運動位置而變化，且最小值為2
C．隨、的運動位置長度保持不變，等于2
D．隨、的運動位置而變化，沒有最值
10．平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線上有三個不同的點，，，，，，如果，那么和的關(guān)系是　　
A． B． C． D．
二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）
11．計算：　?。?br /> 12．某十字路口的交通信號燈，紅燈亮50秒，綠燈亮40秒，黃燈亮10秒．當(dāng)你抬頭看信號燈時，是紅燈的概率為 　?。?br /> 13．一副三角板如圖方式擺放，點在直線上，且，則　　度．

14．如圖，在正方形的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，若、兩點的坐標(biāo)分別是，，則點的坐標(biāo)為　?。?br />
15．如圖，是正八邊形的外接圓，的半徑是1，則下列四個結(jié)論中正確的是 　?。?br /> ①的長為；②；③為等邊三角形；④．

16．如圖，已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象，點，點與點均在反比例函數(shù)的圖象上，點在直線上，四邊形是平行四邊形，則點的坐標(biāo)為　　．

三、解答題（本大題有9小題，共86分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程．）
17．（8分）解不等式組并寫出它的整數(shù)解．
18．（8分）如圖，、分別為正方形的邊、中點．求證：．

19．（8分）先化簡，再求值，其中．
20．（8分）已知：．
（1）求作：菱形，使菱形的頂點落在邊上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的前提下，若，，，求菱形的周長．

21．（8分）如圖，在的邊上取一點，以為圓心，為半徑畫，與邊相切于點，連接，平分．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑．

22．（10分）為響應(yīng)綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源租賃汽車”．每次租車收費的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①里程計費：1元公里；②時間計費：0.1元分．已知陳先生的家離上班公司20公里，每天上、下班租用該款汽車各一次．一次路上開車所用的時間記為（分，現(xiàn)統(tǒng)計了50次路上開車所用時間，在各時間段內(nèi)頻數(shù)分布情況如表所示：
時間（分




次數(shù)
10
28
8
4
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，一次路上開車所用的時間視為用車時間，范圍為．
（1）估計陳先生一次租用新能源租賃汽車所用的時間不低于35分鐘的概率；
（2）若公司每月發(fā)放1000元的交通補助費用，請估計是否足夠讓陳先生一個月上下班租用新能源租賃汽車（每月按22天計算），并說明理由．（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）
23．（10分）市計劃對本市215萬人接種新冠疫苗，在前期完成5萬人接種后，又花了100天時間接種了剩下的210萬人．在這100天中，該市的接種時間和接種人數(shù)的關(guān)系如圖所示，已知這100天中該市前天每天接種人數(shù)是天后每天接種人數(shù)的2倍．
（1）求的值；
（2）這100天中，市的接種人數(shù)（萬人）與接種天數(shù)（天的關(guān)系為，求第幾天接種完成后，，兩市接種人數(shù)恰好相同？

24．（12分）如圖，、均為等邊三角形，，．將繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接、．
（1）在圖①中證明；
（2）如圖②，當(dāng)時，連接，求的面積；
（3）在的旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出的面積的取值范圍．

25．已知拋物線與軸只有一個公共點且經(jīng)過點．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）直線與拋物線相交于，兩點點在點的左側(cè)），與對稱軸相交于點，且，分布在對稱軸的兩側(cè)．若點到拋物線對稱軸的距離為，且．
①試探求與的數(shù)量關(guān)系；
②求線段的最大值，以及當(dāng)取得最大值時對應(yīng)的值．

2021年福建省廈門市中考數(shù)學(xué)二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分）
1．實數(shù)的相反數(shù)是2，則等于　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案．
【解答】解：實數(shù)的相反數(shù)是2，則．
故選：．
2．下列立體圖形中，俯視圖是正方形的是　　
A． B． C． D．
【分析】俯視圖是從物體上面看，所得到的圖形．
【解答】解：、圓柱的俯視圖是圓，故此選項錯誤；
、正方體的俯視圖是正方形，故此選項正確；
、三棱錐的俯視圖是三角形，故此選項錯誤；
、圓錐的俯視圖是帶圓心的圓，故此選項錯誤；
故選：．
3．流感病毒的直徑大約為0.0000009米，它的直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為　　
A． B． C． D．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值時，是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：．
故選：．
4．下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】先根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計算，再判斷即可．
【解答】解：．，故本選項符合題意；
．，故本選項不符合題意；
．，故本選項不符合題意；
．，故本選項不符合題意；
故選：．
5．下列說法中，正確的是　　
A．為檢測我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，應(yīng)該采用普查的方式
B．若兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測試的平均分相同，則方差較大的同學(xué)數(shù)學(xué)成績更穩(wěn)定
C．拋擲一個正方體骰子，朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是
D．“打開電視，正在播放廣告”是必然事件
【分析】根據(jù)調(diào)查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調(diào)查的必要性結(jié)合起來，具體問題具體分析，再根據(jù)隨機事件定義和概率公式分別分析即可．
【解答】解：、為檢測我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，此調(diào)查具有破壞性，應(yīng)該采用抽查的方式，此選項錯誤；
、若兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測試的平均分相同，則方差較小的同學(xué)數(shù)學(xué)成績更穩(wěn)定，此選項錯誤；
、拋擲一個正方體骰子，朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是，此選項正確；
、“打開電視，正在播放廣告”是隨機事件，此選項錯誤；
故選：．
6．如圖，數(shù)軸上、兩點所表示的數(shù)分別是和2，點是線段的中點，則點所表示的數(shù)是　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)、兩點所表示的數(shù)分別為和2，利用中點公式求出線段的中點所表示的數(shù)即可．
【解答】解：數(shù)軸上，兩點所表示的數(shù)分別是和2，
線段的中點所表示的數(shù)．
即點所表示的數(shù)是．
故選：．
7．如圖，正方形與正方形是位似圖形，為位似中心，兩個正方形的面積之比為，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為　　

A．， B．， C．， D．
【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到兩個正方形的相似比為，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點的坐標(biāo)，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．
【解答】解：正方形與正方形是位似圖形，
正方形正方形，
兩個正方形的面積之比為，
兩個正方形的相似比為，
點的坐標(biāo)為，四邊形為正方形，
點的坐標(biāo)為，
正方形與正方形是位似圖形，為位似中心，
點的坐標(biāo)為，，
故選：．
8．中國古代人民在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)問題，在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個問題，大意為：有若干人乘車，若每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘，問共有多少輛車，多少人，設(shè)共有輛車，人，則可列方程組為　　
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意可得：
，
故選：．
9．如圖，為直徑，，、為圓上兩個動點，為中點，于，當(dāng)、在圓上運動時保持，則的長　　

A．隨、的運動位置而變化，且最大值為4
B．隨、的運動位置而變化，且最小值為2
C．隨、的運動位置長度保持不變，等于2
D．隨、的運動位置而變化，沒有最值
【分析】連接、、，由垂徑定理可知，，然后由，可證明、、、四點共圓，從而可得到，于是可證明為等邊三角形，從而得到．
【解答】解；連接：、、．

是的中點，
，．
又，
．
、、、四點共圓．
．
．
又，
為等邊三角形．
．
故選：．
10．平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線上有三個不同的點，，，，，，如果，那么和的關(guān)系是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意設(shè)在拋物線上的兩點和，縱坐標(biāo)相同，則關(guān)于對稱軸對稱，即可求得，則，代入解析式，即可求得．
【解答】解：，
對稱軸為直線，
如圖，在拋物線上的兩點和，關(guān)于直線對稱，則點在反直線上，
，
，
，
，
，
，
故選：．

二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）
11．計算：　3?。?br /> 【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪即可得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案為：3．
12．某十字路口的交通信號燈，紅燈亮50秒，綠燈亮40秒，黃燈亮10秒．當(dāng)你抬頭看信號燈時，是紅燈的概率為 　　．
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：某十字路口的交通信號燈，紅燈亮50秒，綠燈亮40秒，黃燈亮10秒，
當(dāng)你抬頭看信號燈時，是紅燈的概率為，
故答案為：．
13．一副三角板如圖方式擺放，點在直線上，且，則　75　度．

【分析】直接利用平行線的性質(zhì)結(jié)合三角板的性質(zhì)分析得出答案．
【解答】解：由三角板的特點得出，
，
．
故答案為：75．
14．如圖，在正方形的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，若、兩點的坐標(biāo)分別是，，則點的坐標(biāo)為　?。?br />
【分析】根據(jù)、點坐標(biāo)即可建立平面直角坐標(biāo)．
【解答】解：由，可知原點的位置，
建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

．
故答案為．
15．如圖，是正八邊形的外接圓，的半徑是1，則下列四個結(jié)論中正確的是 ?、?，②，④?。?br /> ①的長為；②；③為等邊三角形；④．

【分析】先求出正八邊形的中心角，得到，即可求出弧的長①正確錯誤；由勾股定理求得可得②正確；由，可得③錯誤；由于，可得，于是得到④正確．
【解答】解：，
，
弧的長為，
①正確；
，，
，
，
即，
②正確；
，
③錯誤；
，
，
，
，
④正確；
故答案為：①②④．
16．如圖，已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象，點，點與點均在反比例函數(shù)的圖象上，點在直線上，四邊形是平行四邊形，則點的坐標(biāo)為　，?。?br />
【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出點坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)假設(shè)出點坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點坐標(biāo)，即可代入反比例函數(shù)解析式得出答案．
【解答】解：反比例函數(shù)過點，
，
反比例函數(shù)解析式為：，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
解得：，
，
點在直線上，
設(shè)點坐標(biāo)為：，
點，，
點向下平移3個單位，再向右平移3個單位，即可得到點，
四邊形是平行四邊形，
點向下平移3個單位，再向右平移3個單位，即可得到點，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
解得：（負(fù)數(shù)不合題意），
故點坐標(biāo)為：，．
三、解答題（本大題有9小題，共86分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程．）
17．（8分）解不等式組并寫出它的整數(shù)解．
【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式組的解集是，
則整數(shù)解為，0，1．
18．（8分）如圖，、分別為正方形的邊、中點．求證：．

【分析】證明、所在的和全等即可．
【解答】證明：正方形，
，，
、分別為邊、中點，
，，
，
在和中，
，
，
．
19．（8分）先化簡，再求值，其中．
【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將的值代入計算即可．
【解答】解：原式

，
當(dāng)時，
原式．
20．（8分）已知：．
（1）求作：菱形，使菱形的頂點落在邊上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的前提下，若，，，求菱形的周長．

【分析】（1）作的垂直平分線交于，然后以點為圓心，為半徑畫弧交的垂直平分線于，則四邊形滿足條件；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，利用勾股定理得到，解方程得到菱形的邊長，從而得到菱形的周長．
【解答】解：（1）如圖，菱形即為所求作；

（2）由（1）得四邊形是菱形，
，
設(shè)，則，
在中，根據(jù)勾股定理得，
，
解得，
，
菱形的周長是20．
21．（8分）如圖，在的邊上取一點，以為圓心，為半徑畫，與邊相切于點，連接，平分．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑．

【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)可得，由“”可證，可得，由切線的判定可得結(jié)論；
（2）由銳角三角函數(shù)可設(shè)，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解．
【解答】（1）證明：過點作于點，

則，
與邊相切于點，
，即，
平分，
，
，，，
，
，
是半徑，
是半徑，
又，
是的切線；
（2）解：在中，，
，
設(shè)，，
，
，
解得，（舍去），
，，
由（1）得，
，
，
，
設(shè)的半徑為，則，
在中，，
，
，
解得．
所以的半徑為．
22．（10分）為響應(yīng)綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源租賃汽車”．每次租車收費的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①里程計費：1元公里；②時間計費：0.1元分．已知陳先生的家離上班公司20公里，每天上、下班租用該款汽車各一次．一次路上開車所用的時間記為（分，現(xiàn)統(tǒng)計了50次路上開車所用時間，在各時間段內(nèi)頻數(shù)分布情況如表所示：
時間（分




次數(shù)
10
28
8
4
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，一次路上開車所用的時間視為用車時間，范圍為．
（1）估計陳先生一次租用新能源租賃汽車所用的時間不低于35分鐘的概率；
（2）若公司每月發(fā)放1000元的交通補助費用，請估計是否足夠讓陳先生一個月上下班租用新能源租賃汽車（每月按22天計算），并說明理由．（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）
【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以計算出陳先生一次租用新能源租賃汽車所用的時間不低于35分鐘的概率；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以計算出陳先生一個月上下班租用新能源租賃汽車的費用，然后與1000比較大小，即可解答本題．
【解答】解：（1）由題意可得，
，
即陳先生一次租用新能源租賃汽車所用的時間不低于35分鐘的概率是0.8；
（2）公司每月發(fā)放1000元的交通補助費用，不夠讓陳先生一個月上下班租用新能源租賃汽車，
理由：由題意可得，
陳先生一個月的租車費用為：（元，
，
公司每月發(fā)放1000元的交通補助費用，不夠讓陳先生一個月上下班租用新能源租賃汽車．
23．（10分）市計劃對本市215萬人接種新冠疫苗，在前期完成5萬人接種后，又花了100天時間接種了剩下的210萬人．在這100天中，該市的接種時間和接種人數(shù)的關(guān)系如圖所示，已知這100天中該市前天每天接種人數(shù)是天后每天接種人數(shù)的2倍．
（1）求的值；
（2）這100天中，市的接種人數(shù)（萬人）與接種天數(shù)（天的關(guān)系為，求第幾天接種完成后，，兩市接種人數(shù)恰好相同？

【分析】（1）根據(jù)“這100天中該市前天每天接種人數(shù)是天后每天接種人數(shù)的2倍“列出關(guān)于的分式方程，解方程并檢驗即可；
（2）由待定系數(shù)法求得當(dāng)時和時市接種人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合可得關(guān)于的一元二次方程，解方程并根據(jù)的取值范圍作出取舍即可．
【解答】解：（1）依題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的根且符合題意，
的值為40；
（2）設(shè)市接種人數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系式為，
①當(dāng)時，代入，得：，
解得：，
，
當(dāng)，兩市接種人數(shù)恰好相同時，，
解得（舍去），（舍去），
前40天不會出現(xiàn)，兩市接種人數(shù)恰好相同的情況；
②當(dāng)時，代入，代入，
得：，
解得：，
，
當(dāng)，兩市接種人數(shù)恰好相同時，，
解得：（舍去），，
答：第52天接種完成后，，兩市接種人數(shù)恰好相同．
24．（12分）如圖，、均為等邊三角形，，．將繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接、．
（1）在圖①中證明；
（2）如圖②，當(dāng)時，連接，求的面積；
（3）在的旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出的面積的取值范圍．

【分析】（1）先判斷出，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出，進(jìn)而得出，再用含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
（3）過作于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，如圖⑤，當(dāng)與在同一條直線上，且點在的外部時，的面積最大，如圖⑥，當(dāng)與在同一條直線上，且點在的內(nèi)部時，的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：和是等邊三角形，
，，，
，
在和中，，
；

解：（2）如圖②，
連接，同（1）的方法得，，
，
，
，
過點作于，過點作，交的延長線于，則，
在等邊中，，
，，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
在中，，，
，
，
；

（3）過作于，
是等邊三角形，
，
，
如圖③，
當(dāng)與在同一條直線上，且點在的外部時，的面積最大，
，
如圖④，
當(dāng)與在同一條直線上，且點在的內(nèi)部時，的面積最小，
，
綜上所述，的面積的取值范圍為．



25．已知拋物線與軸只有一個公共點且經(jīng)過點．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）直線與拋物線相交于，兩點點在點的左側(cè)），與對稱軸相交于點，且，分布在對稱軸的兩側(cè)．若點到拋物線對稱軸的距離為，且．
①試探求與的數(shù)量關(guān)系；
②求線段的最大值，以及當(dāng)取得最大值時對應(yīng)的值．
【分析】（1）由題意可知拋物線的頂點坐標(biāo)，故設(shè)拋物線的解析式為，將點代入，解得的值，則可得拋物線的函數(shù)解析式；
（2）①設(shè)直線與軸交于點，與軸交于點，過點，分別作軸，軸的垂線，交于點，設(shè)與拋物線的對稱軸交于點，根據(jù)題意畫出圖形，在中，由，可得；由，，可得比例式，將和用和表示出來，再結(jié)合點，在拋物線上及在中，，可求得答案；②在中，利用三角函數(shù)將用表示出來，再根據(jù)隨的變化規(guī)律可得答案．
【解答】解：（1）拋物線與軸只有一個公共點，
為拋物線頂點，
設(shè)拋物線的解析式為，將點代入得，
拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）①設(shè)直線與軸交于點，與軸交于點，過點，分別作軸，軸的垂線，交于點，設(shè)與拋物線的對稱軸交于點，如圖：

令，解得，
，
直線與軸交于點，
，
，
在中，，
，
點到拋物線對稱軸的距離為，
，
，，
，
，，
，．
點，在拋物線上，
，，
，
，
，
則在中，，
，
化簡得；
②，且，
，
在中，



，
令，由于，
，
，
當(dāng)時，隨的增大而減小，
當(dāng)，即時，取得最大值，此時，
當(dāng)時，，則，，
將點坐標(biāo)代入，得．
線段的最大值為6，此時對應(yīng)的值為．


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