1.下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．等腰三角形B．平行四邊形C．等邊三角形D．直角三角形．
3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，將BC延長至點(diǎn)E，若∠A=100°，則∠1等于（ ）
A．110°B．35°C．80°D．55°
4.下列分式中，是最簡分式的是（ ）
A. B. C. D.
5.如圖，在平行四邊形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF與GH相交于點(diǎn)O，那么圖中的平行四邊形一共有（ ）
A．4個(gè)B．5個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)
6.平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，若AC=4，AB=6．BD=m，那么m的取值范圍是（ ）
A．4＜m＜8B．4＜m＜10C．6＜m＜14D．8＜m＜16
7.下列各組條件中，不能判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．兩組對邊分別平行的四邊形
B．兩組對角分別相等的四邊形
C．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形
D．兩條對角線互相平分的四邊形
8.某生產(chǎn)小組計(jì)劃生產(chǎn)5000個(gè)口罩，由于采用新技術(shù)，實(shí)際每小時(shí)生產(chǎn)口罩的數(shù)量是原計(jì)劃的2倍，因此提前5小時(shí)完成任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)生產(chǎn)口罩x個(gè)，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ）
9.如圖，等邊△ABC的邊長為6cm，射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=（ ）s時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
A．1或2B．2或3C．2或4D．2或6
10.小明早8點(diǎn)從家騎自行車出發(fā)，沿一條直路去公園鍛煉，小明出發(fā)的同時(shí)，他的爸爸鍛煉結(jié)束從公園沿同一條道路勻速步行回家：小明在公園鍛煉了一會(huì)后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分鐘到家．設(shè)兩人離家的距離s（m）與小明離開家的時(shí)間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列說法：①公園與家的距離為1200米；②爸爸的速度為48m/min；③小明到家的時(shí)間為8：22；④小明在返回途中離家240米處與爸爸相遇．其中，正確的說法有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
11.若數(shù)a關(guān)于x的不等式組恰有三個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程＝?2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．2B．3C．4D．5
12.如圖，BD為平行四邊形ABCD的對角線，∠DBC=45°，DE⊥BC于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，DE、BF相交于點(diǎn)H，直線BF交線段AD的延長線于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①CE=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；⑤BH2+BG2=AG2．其中正確的結(jié)論有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。
13.若分式?有意義，則x的取值范圍為_____.
14.已知，則的值為_____.
15.如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且BC≠CD，過O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，若平行四邊形ABCD的周長為48cm，則△CDE的周長為____
cm．
16.已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和點(diǎn)G分別是邊AD和CD上的點(diǎn)，∠D=56°，∠DGE=80°，將△DEG沿EG翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，EF交BC于點(diǎn)H，則∠EHC=_____.
17.如圖，平行四邊形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)B、C在第二象限，點(diǎn)A（-6，0）、點(diǎn)B（-8，4）、點(diǎn)C（-2，4），將直線y=2x+b平移使它平分?OABC的面積，則b的值為_______.
18.若關(guān)于x的分式方程無解，則a的值是_______.
19.如圖，一次函數(shù)y=2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），若點(diǎn)D在直線y=2x+4上，點(diǎn)E在x軸上，若以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_______.
20.某精品手工陶器作坊生產(chǎn)A、B兩種包裝的茶具，A種包裝的茶具一個(gè)茶壺配6個(gè)茶杯，B種包裝的茶具一個(gè)茶壺配4個(gè)茶杯．每套A種包裝的茶具的利潤為150元，每套B種包裝的茶具的利潤為130元．所有工人分為甲、乙、丙三個(gè)小組，有兩個(gè)生產(chǎn)方案：方案一：甲、乙兩組負(fù)責(zé)制作茶壺，丙組負(fù)責(zé)制作茶杯，那么一小時(shí)所制作的茶壺和茶杯恰好可以組成x套A種包裝的茶具和若干套B種包裝的茶具；方案二：甲組負(fù)責(zé)制作茶壺，乙、丙兩組負(fù)責(zé)制作茶杯，那么一小時(shí)所制作的茶壺和茶杯恰好可以組成（x+3）套A種包裝的茶具和若干套B種包裝的茶具．已知一名工人每小時(shí)可以制作m個(gè)茶壺或n個(gè)茶杯（m、n均為正整數(shù)），那么這兩種方案中總利潤較高的一種每小時(shí)的總利潤比另一種每小時(shí)的總利潤多____元．
三、解答題（本大題共7小題，每小題10分，共70分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟
21.分式的化簡：
22.解分式方程：
23.如圖，平行四邊形ABCD，E、F是直線DB上兩點(diǎn)，且DF=BE．求證：四邊形AECF是平行四邊形．
24.先化簡，再求值：（）÷，其中a是不等式組的整數(shù)解．
25.我國地大物博，物產(chǎn)豐富，福建莆田枇杷和廣東徐聞菠蘿就是我國馳名中外的水果名品，恰逢三月新上市，一水果店主購進(jìn)一批莆田枇杷用去2000元，同時(shí)購進(jìn)一批徐聞菠蘿用去2800元，因徐聞菠蘿比莆田枇杷每箱多15元，使得徐聞菠蘿比莆田枇杷的箱數(shù)少20%．
（1）莆田枇杷和徐聞菠蘿每箱的單價(jià)各是多少錢？
（2）四月份因進(jìn)價(jià)變化，水果店主也調(diào)整了相應(yīng)的進(jìn)貨量，據(jù)統(tǒng)計(jì)：莆田枇杷每箱單價(jià)上漲6元，徐聞菠蘿每箱單價(jià)下降m%，購進(jìn)莆田枇杷的箱數(shù)下降m箱，購進(jìn)徐聞菠蘿的箱數(shù)上升10%，四月份的總進(jìn)價(jià)比三月份的總進(jìn)價(jià)增加的資金數(shù)不超過466元，求m的最小值．
26.介紹一個(gè)“能被13整除的數(shù)的特征”的數(shù)學(xué)小知識(shí)：一個(gè)多位數(shù)m（數(shù)位大于等于4）的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差記為F（m），F(xiàn)（m）如果能被13整除．則這個(gè)多位數(shù)就一定能被13整除．例如數(shù)字160485，這個(gè)數(shù)末三位是485，末三位以前是160，F(xiàn)（m）=485-160=325，325÷13=25．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．
（注：這個(gè)規(guī)律也適用于11和7）
（1）F（16142）=________，16142_______（填能或不能）被13整除．
另請證明這個(gè)“能被13整除的數(shù)的特征”的數(shù)學(xué)原理．
（2）若m，n均為13的倍數(shù)，且m=1020+101a，n=1000b+c+230（0≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，且a、b、c均為整數(shù)）．規(guī)定K（m，n）=，當(dāng)=35時(shí)，求K（m，n）的最大值．
27.在平行四邊形ABCD中，AE⊥CD于E，CF⊥AD于F，H為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CH，CH交AE于G，且AE=CD=4．
（1）如圖1，若∠B=60°，點(diǎn)H與點(diǎn)F重合為一點(diǎn)，求AF的長；
（2）如圖2，當(dāng)FH=FD時(shí)，求證：CG=ED+AG；
（3）如圖3，若∠B=60°，點(diǎn)H是直線AD上任一點(diǎn)．將線段CH繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CH'，求AH'的最小值．
2020-2021學(xué)年重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)八年級(jí)（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（教師版）
一、選擇題（本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分）
1.下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．等腰三角形B．平行四邊形C．等邊三角形D．直角三角形．
【答案】B
3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，將BC延長至點(diǎn)E，若∠A=100°，則∠1等于（ ）
A．110°B．35°C．80°D．55°
【答案】C
4.下列分式中，是最簡分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5.如圖，在平行四邊形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF與GH相交于點(diǎn)O，那么圖中的平行四邊形一共有（ ）
A．4個(gè)B．5個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)
【答案】D
6.平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，若AC=4，AB=6．BD=m，那么m的取值范圍是（ ）
A．4＜m＜8B．4＜m＜10C．6＜m＜14D．8＜m＜16
【答案】D
7.下列各組條件中，不能判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．兩組對邊分別平行的四邊形
B．兩組對角分別相等的四邊形
C．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形
D．兩條對角線互相平分的四邊形
【答案】C
8.某生產(chǎn)小組計(jì)劃生產(chǎn)5000個(gè)口罩，由于采用新技術(shù)，實(shí)際每小時(shí)生產(chǎn)口罩的數(shù)量是原計(jì)劃的2倍，因此提前5小時(shí)完成任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)生產(chǎn)口罩x個(gè)，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ）
【答案】C
9.如圖，等邊△ABC的邊長為6cm，射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=（ ）s時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
A．1或2B．2或3C．2或4D．2或6
【答案】D
10.小明早8點(diǎn)從家騎自行車出發(fā)，沿一條直路去公園鍛煉，小明出發(fā)的同時(shí)，他的爸爸鍛煉結(jié)束從公園沿同一條道路勻速步行回家：小明在公園鍛煉了一會(huì)后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分鐘到家．設(shè)兩人離家的距離s（m）與小明離開家的時(shí)間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列說法：①公園與家的距離為1200米；②爸爸的速度為48m/min；③小明到家的時(shí)間為8：22；④小明在返回途中離家240米處與爸爸相遇．其中，正確的說法有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
解：由圖象可得，
公園與家的距離為1200米，故①正確；
爸爸的速度為：1200÷（12+10+3）=48（m/min），故②正確；
∵10+12+10=22（min），
∴小明到家的時(shí)間為8：22，故③正確；
小明的速度為：1200÷10=120（m/min），
設(shè)小明在返回途中離家a米處與爸爸相遇，
，
解得，a=240，
即小明在返回途中離家240米處與爸爸相遇，故④正確；
故選：D．
11.若數(shù)a關(guān)于x的不等式組恰有三個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程＝?2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
12.如圖，BD為平行四邊形ABCD的對角線，∠DBC=45°，DE⊥BC于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，DE、BF相交于點(diǎn)H，直線BF交線段AD的延長線于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①CE=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；⑤BH2+BG2=AG2．其中正確的結(jié)論有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD，
∴∠FHD+∠FDH=90°，
∵∠C+∠FDH=90°，
∴∠C=∠FHD，
∵∠C=∠A，∠FHD=∠BHE，
∴∠A=∠BHE，故②正確；
在△BEH和△DEC中，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴EH=EC，
∵H不是DE的中點(diǎn)，
∴BE=DE≠2EC，故①錯(cuò)誤；
∵AB=CD，BH=CD，
∴AB=BH，故③正確；
∵∠BHD=90°+∠HBE，∠BDG=90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，故④錯(cuò)誤；
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴BF⊥AB，
∴∠ABG=90°，
∴AB2+BG2=AG2，
∵AB=BH，
∴BH2+BG2=AG2，故⑤正確．
∴其中正確的結(jié)論有②③⑤，共3個(gè)．
故選：C．
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。
13.若分式?有意義，則x的取值范圍為_____.
【答案】x≠3
14.已知，則的值為_____.
【答案】
15.如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且BC≠CD，過O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，若平行四邊形ABCD的周長為48cm，則△CDE的周長為____
cm．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵平行四邊形ABCD的周長為48cm，
∴AD+CD=24（cm），
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周長為：CD+CE+DE=CD+DE+AE=AD+CD=24（cm）．
故答案為：24．
16.已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和點(diǎn)G分別是邊AD和CD上的點(diǎn)，∠D=56°，∠DGE=80°，將△DEG沿EG翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，EF交BC于點(diǎn)H，則∠EHC=_____.
解：在△DEG中，由三角形的內(nèi)角和定理得，
∠DEG=180°-∠D-∠DGE=180°-56°-80°=44°，
由折疊得，∠DEG=∠GEF=44°，
∴∠AEF=180°-∠DEG-∠GEF=180°-44°-44°=92°，
又∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠EHC=∠AEF=92°，
故答案為：92．
17.如圖，平行四邊形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)B、C在第二象限，點(diǎn)A（-6，0）、點(diǎn)B（-8，4）、點(diǎn)C（-2，4），將直線y=2x+b平移使它平分?OABC的面積，則b的值為_______.
解：連接AC、BO，交于點(diǎn)D，當(dāng)y=2x+b經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，該直線可將?OABC的面積平分；
∵四邊形AOCB是平行四邊形，
∴BD=OD，
∵B（-8，4），
∴D（-4，2），
把D（-4，2）代入y=2x+b得，2=2×（-4）+b，
∴b=10，
故答案為10．
18.若關(guān)于x的分式方程無解，則a的值是_______.
解：方程兩邊都乘以（x+1）（x-1）得：a-2（x-1）=x+1，
解得：x=，
∵分式方程無解，
∴（x+1）（x-1）=0，
∴x=±1，
當(dāng)x=1時(shí)，=1，解得a=2，
當(dāng)x=-1時(shí)，=-1，解得a=-4，
∴a的值為2或-4．
故答案為：2或-4．
19.如圖，一次函數(shù)y=2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），若點(diǎn)D在直線y=2x+4上，點(diǎn)E在x軸上，若以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_______.
解：一次函數(shù)y=2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），B（0，4）．
當(dāng)四邊形BCED為平行四邊形時(shí)，
設(shè)直線CE的解析式為y=2x+b（k≠0），
將C（2，3）代入得3=4+b，解得：b=-1，
∴直線CE的解析式為y=2x-1．
令y=0，則求得x=，
∴E（，0）；
當(dāng)四邊形BCD'E'為平行四邊形時(shí)，
設(shè)E（m，0），則D（2+m，-1），
把D（2+m，-1）代入y=2x+4得，-1=4+2m+4，
解得m=-，
∴E（-，0），
綜上所述：當(dāng)以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（-，0），
故答案為（，0）或（-，0）．
20.某精品手工陶器作坊生產(chǎn)A、B兩種包裝的茶具，A種包裝的茶具一個(gè)茶壺配6個(gè)茶杯，B種包裝的茶具一個(gè)茶壺配4個(gè)茶杯．每套A種包裝的茶具的利潤為150元，每套B種包裝的茶具的利潤為130元．所有工人分為甲、乙、丙三個(gè)小組，有兩個(gè)生產(chǎn)方案：方案一：甲、乙兩組負(fù)責(zé)制作茶壺，丙組負(fù)責(zé)制作茶杯，那么一小時(shí)所制作的茶壺和茶杯恰好可以組成x套A種包裝的茶具和若干套B種包裝的茶具；方案二：甲組負(fù)責(zé)制作茶壺，乙、丙兩組負(fù)責(zé)制作茶杯，那么一小時(shí)所制作的茶壺和茶杯恰好可以組成（x+3）套A種包裝的茶具和若干套B種包裝的茶具．已知一名工人每小時(shí)可以制作m個(gè)茶壺或n個(gè)茶杯（m、n均為正整數(shù)），那么這兩種方案中總利潤較高的一種每小時(shí)的總利潤比另一種每小時(shí)的總利潤多____元．
解：設(shè)甲、乙、丙三個(gè)小組的人數(shù)分別為a，b，c人．
利用1個(gè)茶壺配6個(gè)茶杯配套，可得：
②-①得：
18-4mb-12=nb，
即（4m+n）b=6，
因?yàn)閙，n均為正整數(shù)，
所以4m+n=6，則m=1，n=2，
∴b=1．
利潤為：
|150x+130（ma+mb-x）-150（x+3）-130[ma-（x+3）]|
=|130mb-450+390|
=|130mb-60|
=70（元），
故答案為：70．
三、解答題（本大題共7小題，每小題10分，共70分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟
21.分式的化簡：
22.解分式方程：
23.如圖，平行四邊形ABCD，E、F是直線DB上兩點(diǎn)，且DF=BE．求證：四邊形AECF是平行四邊形．
證明：連接AC交BD于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DF=BE，
∴OD+DF=OB+BE，
即OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
24.先化簡，再求值：（）÷，其中a是不等式組的整數(shù)解．
25.我國地大物博，物產(chǎn)豐富，福建莆田枇杷和廣東徐聞菠蘿就是我國馳名中外的水果名品，恰逢三月新上市，一水果店主購進(jìn)一批莆田枇杷用去2000元，同時(shí)購進(jìn)一批徐聞菠蘿用去2800元，因徐聞菠蘿比莆田枇杷每箱多15元，使得徐聞菠蘿比莆田枇杷的箱數(shù)少20%．
（1）莆田枇杷和徐聞菠蘿每箱的單價(jià)各是多少錢？
（2）四月份因進(jìn)價(jià)變化，水果店主也調(diào)整了相應(yīng)的進(jìn)貨量，據(jù)統(tǒng)計(jì)：莆田枇杷每箱單價(jià)上漲6元，徐聞菠蘿每箱單價(jià)下降m%，購進(jìn)莆田枇杷的箱數(shù)下降m箱，購進(jìn)徐聞菠蘿的箱數(shù)上升10%，四月份的總進(jìn)價(jià)比三月份的總進(jìn)價(jià)增加的資金數(shù)不超過466元，求m的最小值．
解：（1）設(shè)莆田枇杷每箱的單價(jià)為x元，則徐聞菠蘿每箱的單價(jià)為（x+15）元，
由題意得：×（1-20%）=，
解得：x=20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解，
20+15=35（元），
答：莆田枇杷和徐聞菠蘿每箱的單價(jià)分別是20元、35元；
（2）由題意得：（20+6）（-m）+35×（1-m%）××（1+10%）≤2000+2800+466，
解得：m≥10，
∴m的最小值為10．
26.介紹一個(gè)“能被13整除的數(shù)的特征”的數(shù)學(xué)小知識(shí)：一個(gè)多位數(shù)m（數(shù)位大于等于4）的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差記為F（m），F(xiàn)（m）如果能被13整除．則這個(gè)多位數(shù)就一定能被13整除．例如數(shù)字160485，這個(gè)數(shù)末三位是485，末三位以前是160，F(xiàn)（m）=485-160=325，325÷13=25．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．
（注：這個(gè)規(guī)律也適用于11和7）
（1）F（16142）=________，16142_______（填能或不能）被13整除．
另請證明這個(gè)“能被13整除的數(shù)的特征”的數(shù)學(xué)原理．
（2）若m，n均為13的倍數(shù)，且m=1020+101a，n=1000b+c+230（0≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，且a、b、c均為整數(shù)）．規(guī)定K（m，n）=，當(dāng)=35時(shí)，求K（m，n）的最大值．
解：（1）數(shù)字16142，這個(gè)數(shù)末三位是142，末三位以前是16，
F（16142）=142-16=126，126÷13=9??????9．
即126不能被13整除，
那么16142不能被13整除，
故答案為126，不能；
證明：由題意，設(shè)p=（y為三位數(shù)），y-x=13k，（x，y，k是正整數(shù)），
∴p==1000x+y=1000x+13k+x=1001x+13k=13（77x+k），
∵x，k是正整數(shù)，
∴13（77x+k）能被13整除，即p能被13整除；
（2）∵m=1020+101a，0≤a≤9，
∴這個(gè)數(shù)末三位是，末三位以前是1，
F（m）=100a+20+a-1=101a+19，
∴=，
∵m是13的倍數(shù)，且0≤a≤9，
∴10a+6=13或26或39或52或65或78或91，
∴a=或a=2或a=或a=或a=或a=或a=，
∵a為正整數(shù)，
∴a=2，
∴=15+2=17，
∵+=35，
∴=18
∵n=1000b+c+230，1≤b≤9，0≤c≤9，
∴這個(gè)數(shù)末三位是，末三位以前是b，
F（n）=230+c-b，
∴==18
∴c-b=4，
∴①當(dāng)c=5，b=1時(shí)，K（m，n）=，
②當(dāng)c=6，b=2時(shí)，K（m，n）=，
③當(dāng)c=7，b=3時(shí)，K（m，n）=，
27.在平行四邊形ABCD中，AE⊥CD于E，CF⊥AD于F，H為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CH，CH交AE于G，且AE=CD=4．
（1）如圖1，若∠B=60°，點(diǎn)H與點(diǎn)F重合為一點(diǎn)，求AF的長；
（2）如圖2，當(dāng)FH=FD時(shí)，求證：CG=ED+AG；
（3）如圖3，若∠B=60°，點(diǎn)H是直線AD上任一點(diǎn)．將線段CH繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CH'，求AH'的最小值．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥CD于E，CF⊥AD于F，
∴∠DAE=∠DCF=90°-60°=30°，
（2）證明：延長GA到K，使得AK=ED，連接CK、BK，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠CHD=∠HCB，
∵AE⊥CD，
∴∠BAK=∠AEC=90°，
∵AE=CD，
∴AE=AB，
在△AED和△BAK中，
∴△AED≌△BAK（SAS），
∴BK=AD=BC，∠BKA=∠D，
∴∠BKC=∠BCK，
∵CF⊥AD，F(xiàn)H=FD，
∴CH=CD，
∴∠CHD=∠D，
∴∠BKA=∠D=∠CHD=∠HCB，
∴∠BKA-∠BKC=∠HCB-∠BCK，
即：∠GKC=∠GCK，
∴CG=KG，
∴CG=AK+AG=ED+AG；
（3）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CH=CH′，
在DA上截取DM=DC，連接CM、MH′，MH′交AE于L，如圖3所示：
∵∠B=∠D=60°，
∴△CDM是等邊三角形，
∴∠DCM=∠HCH′=60°，CD=CM，
∴∠DCH=∠MCH′，
在△DCH和△MCH′中，
∴△DCH≌△MCH′（SAS），
∴∠CMH′=∠D=60°，
∴∠CMH′=∠DCM，
∴MH′∥CD，
∵AE⊥CD，
∴MH′⊥AE，
當(dāng)AH′⊥MH′時(shí)，AH′最小，
此時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)L重合，AL長就是AH′的最小值，

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