1.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.以下列各組數(shù)據(jù)為邊長(zhǎng)作三角形，其中能組成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，6，8C．8，24，25D．6，12，13
3.甲、乙、丙、丁四人各進(jìn)行10次射擊測(cè)試，他們的平均成績(jī)相同，方差分別是S甲2=1，S乙2=1.1，S丙2=0.6，S丁2=0.9，則射擊成績(jī)最穩(wěn)定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4.下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A． B. C. D.
5.估計(jì)的值應(yīng)在（ ）
A．2和3之間B．3和4之間C．4和5之間D．5和6之間
6.2020年受新型冠狀肺炎病毒的影響，某地開展了“閱讀戰(zhàn)‘疫’，讀書強(qiáng)國(guó)”師生閱讀活動(dòng)，某班為了解學(xué)生平均每天的閱讀時(shí)間，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：則本次調(diào)查中，該班平均每天閱讀時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A．2，1B．1，1.5C．1，2D．1，1
7.如圖，每個(gè)圖形都由同樣大小的“●”按照一定的規(guī)律組成，其中第1個(gè)圖形有個(gè)“●”，第2個(gè)圖形有2個(gè)“●”，第3個(gè)圖形有5個(gè)“●”，…，則第6個(gè)圖形中“●”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．23B．24C．25D．26
8.如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是（ ）
A．16B．18C．20D．24
9.已知一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)是6cm和8cm，則下列線段長(zhǎng)度可以是它的邊長(zhǎng)的是（ ）
A．10cmB．9cmC．8cmD．5cm
10.如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為（ ）
A．-1B．C．-1D．
11.在△ABC中，若AB=AC=15，BC=24，若P是△ABC所在的平面內(nèi)的點(diǎn)，且PB=PC=20，則AP的長(zhǎng)為（ ）
A．7B．5C．7或25D．5或14
12.如果關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，那么符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空題（每題4分，共24分）
13.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____.
14.=_________.
15.在一次業(yè)余歌手大獎(jiǎng)賽中，小紅根據(jù)10名選手在決賽中的成績(jī)制作了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則這10名選手大獎(jiǎng)賽中的平均成績(jī)是_____.
16.在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為40，則平行四邊形ABCD的面積為____.
17.有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是_____厘米（π取3）．
18.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B'處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則△B'FC的面積為____.
三、解答題（共8小題，第19--25題，每小題10分，第26題8分，共78分）
19.（1）
（2）
20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
21.如圖，?ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線相交于F．
求證：DC=DF．
22.5月5日18時(shí)，我國(guó)載人空間站研制的長(zhǎng)征五號(hào)B運(yùn)載火箭在海南文昌首飛成功，正式拉開我國(guó)載人航天工程“第三步”任務(wù)的序幕．為了解重慶一中初三學(xué)生對(duì)我國(guó)航天事業(yè)的關(guān)注程度，隨機(jī)抽取了男、女各m名學(xué)生進(jìn)行問卷測(cè)試，問卷共30道選擇題，現(xiàn)將得分情況統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（數(shù)據(jù)分組為A組：x＜18，B組：18≤x＜22，C組：22≤x＜26，D組：26≤x≤30，x表示問卷測(cè)試的分?jǐn)?shù)），其中男生得分處于C組的有14人，
男生C組得分情況分別為：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25
男生、女生得分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)（單位：分）如表所示：
（1）直接寫出m，n的值，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）通過以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為成績(jī)更好的是男生還是女生？說明理由（一條理由即可）；
（3）已知初三年級(jí)總?cè)藬?shù)為2000人，請(qǐng)估計(jì)參加問卷測(cè)試，成績(jī)處于C組的人數(shù)．
23.如圖，在?ABCD中，AP、BP分別是∠DAB和∠CBA的角平分線，已知AD=5．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)AP，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．
①請(qǐng)?jiān)诖鹁砩涎a(bǔ)全圖形；
②若BP=6，求△ABQ的周長(zhǎng)．
24.如圖，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：△ADC≌△BDF；
（2）線段BF與AE有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（3）若CD=，求AD的長(zhǎng)．
25.由（a-b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式：a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)．
例如：已知x＞0，求式子x+的最小值．
解：令a=x，b=，則由a+b＞2，得x+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，即x=2時(shí)，式子有最小值，最小值為4．
請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問題：
（1）當(dāng)x＞0，式子x+的最小值為____；當(dāng)x＜0，則當(dāng)x=_____時(shí)，式子4x+取到最大值；
（2）用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻（墻長(zhǎng)20米），問這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？
26.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在邊AB上，DE⊥CD，且DE=CD，CE交邊AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）若AC=6，CD=7，求線段AD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，求證：△CBE是直角三角形；
（3）如圖3，若CD≠CF，直接寫出線段AC，CD，BE之間的數(shù)量關(guān)系．
2020-2021學(xué)年重慶市渝北區(qū)松樹橋中學(xué)八年級(jí)（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷 （教師版）
一、選擇題（每題4分，共48分）
1.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2.以下列各組數(shù)據(jù)為邊長(zhǎng)作三角形，其中能組成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，6，8C．8，24，25D．6，12，13
【答案】A
3.甲、乙、丙、丁四人各進(jìn)行10次射擊測(cè)試，他們的平均成績(jī)相同，方差分別是S甲2=1，S乙2=1.1，S丙2=0.6，S丁2=0.9，則射擊成績(jī)最穩(wěn)定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
4.下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A． B. C. D.
【答案】B
5.估計(jì)的值應(yīng)在（ ）
A．2和3之間B．3和4之間C．4和5之間D．5和6之間
【答案】B
6.2020年受新型冠狀肺炎病毒的影響，某地開展了“閱讀戰(zhàn)‘疫’，讀書強(qiáng)國(guó)”師生閱讀活動(dòng)，某班為了解學(xué)生平均每天的閱讀時(shí)間，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：則本次調(diào)查中，該班平均每天閱讀時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A．2，1B．1，1.5C．1，2D．1，1
【答案】D
7.如圖，每個(gè)圖形都由同樣大小的“●”按照一定的規(guī)律組成，其中第1個(gè)圖形有個(gè)“●”，第2個(gè)圖形有2個(gè)“●”，第3個(gè)圖形有5個(gè)“●”，…，則第6個(gè)圖形中“●”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．23B．24C．25D．26
【答案】D
8.如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是（ ）
A．16B．18C．20D．24
【答案】C
9.已知一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)是6cm和8cm，則下列線段長(zhǎng)度可以是它的邊長(zhǎng)的是（ ）
A．10cmB．9cmC．8cmD．5cm
【答案】D
10.如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為（ ）
A．-1B．C．-1D．
【答案】A
11.在△ABC中，若AB=AC=15，BC=24，若P是△ABC所在的平面內(nèi)的點(diǎn)，且PB=PC=20，則AP的長(zhǎng)為（ ）
A．7B．5C．7或25D．5或14
解：過A做AD垂直于BC交BC于D，
∵AB=AC，PB=PC，
∴A和P都在BC的中垂線上，且D是BC的中點(diǎn)，
當(dāng)p在A上邊時(shí)PA=16-9=7；
當(dāng)P在BC下邊時(shí)PA=16+9=25．
故選：C．
12.如果關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，那么符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：分式方程去分母得：1-ax+2x-4=-1，即（2-a）x=2，
由分式方程有整數(shù)解，得到2-a≠0，
解得：x=，
不等式組整理得：-3≤x＜，
由不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，得到0＜≤1，
解得：＜a≤2，
由x為整數(shù)，且≠2，得到2-a=±1，-2，
解得：a=1，此時(shí)分式方程無解，
則符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為0，
故選：A．
二、填空題（每題4分，共24分）
13.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____.
答案為：x≥-2且x≠2．
14.=_________.
【答案】
15.在一次業(yè)余歌手大獎(jiǎng)賽中，小紅根據(jù)10名選手在決賽中的成績(jī)制作了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則這10名選手大獎(jiǎng)賽中的平均成績(jī)是_____.
【答案】8.4．
16.在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為40，則平行四邊形ABCD的面積為____.
答案為48．
17.有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是_____厘米（π取3）．
解：展開圓柱的半個(gè)側(cè)面是矩形，
矩形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)的一半，即3π=9，矩形的寬是圓柱的高12．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，
知最短路程是矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)，即=15厘米．
18.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B'處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則△B'FC的面積為____.
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴BA=10，
∵將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處，
∴∠AEC=∠CED，∠ACE=∠DCE，
∵∠AED=180°，
∴∠CED=90°，即CE⊥AB，
∵S△ABC=AB×EC=AC×BC，
∴EC=，
在Rt△ACE中，AE=，
∴BE=10-，
∵將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處，
∴△BCF≌△B'CF，BF=B'F，∠BCF=∠B'CF，
∴S△BCF=S△B'CF，
∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90°
∴∠ECF=45°且CE⊥AB
∴∠EFC=∠ECF=45°
∴CE=EF=，
∴BF=，
∴S△BCF=，
∴S△BCF=S△B'CF=.
三、解答題（共8小題，第19--25題，每小題10分，第26題8分，共78分）
19.（1）
（2）
20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
21.如圖，?ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線相交于F．
求證：DC=DF．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=DC，
∴∠F=∠EBA，
∵E是AD邊的中點(diǎn)，
∴DE=AE，
在△DEF和△AEB中，
∵，
∴△DEF≌△AEB（AAS），
∴DF=AB，
∴DC=DF．
22.5月5日18時(shí)，我國(guó)載人空間站研制的長(zhǎng)征五號(hào)B運(yùn)載火箭在海南文昌首飛成功，正式拉開我國(guó)載人航天工程“第三步”任務(wù)的序幕．為了解重慶一中初三學(xué)生對(duì)我國(guó)航天事業(yè)的關(guān)注程度，隨機(jī)抽取了男、女各m名學(xué)生進(jìn)行問卷測(cè)試，問卷共30道選擇題，現(xiàn)將得分情況統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（數(shù)據(jù)分組為A組：x＜18，B組：18≤x＜22，C組：22≤x＜26，D組：26≤x≤30，x表示問卷測(cè)試的分?jǐn)?shù)），其中男生得分處于C組的有14人，
男生C組得分情況分別為：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25
男生、女生得分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)（單位：分）如表所示：
（1）直接寫出m，n的值，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）通過以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為成績(jī)更好的是男生還是女生？說明理由（一條理由即可）；
（3）已知初三年級(jí)總?cè)藬?shù)為2000人，請(qǐng)估計(jì)參加問卷測(cè)試，成績(jī)處于C組的人數(shù)．
解：（1）m=14÷28%=50（人），
50×（2%+24%）=13（人），
∴男生中位數(shù)n==25，
女生C組人數(shù)=50-2-13-20=15（人），
條形圖如圖所示：
（2）男生的成績(jī)比較好，因?yàn)槟猩闹形粩?shù)比女生的中位數(shù)大（也可以根據(jù)眾數(shù)的大小判斷）．
（3）2000×=580（人），
答：估計(jì)成績(jī)處于C組的人數(shù)約為580人．
23.如圖，在?ABCD中，AP、BP分別是∠DAB和∠CBA的角平分線，已知AD=5．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)AP，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．
①請(qǐng)?jiān)诖鹁砩涎a(bǔ)全圖形；
②若BP=6，求△ABQ的周長(zhǎng)．
解：（1）∵在?ABCD中，AD=5，
∴BC=5，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠DPA，
∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP=∠DAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DP=AD=5，
同理可得，CP=BC=5，
∴CD=10，
∴AB=10；
（2）①如圖所示：
②∵AD∥BQ，
∴∠Q=∠DAP，
又∵∠DAP=∠BAP，
∴∠Q=∠BAP，
∴AB=QB=10，
又∵BP平分∠ABQ，
∴BP⊥AQ，AP=QP，
∴Rt△ABP中，AP=,
∴AQ=16，
∴△ABQ的周長(zhǎng)為：16+10+10=36．
24.如圖，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：△ADC≌△BDF；
（2）線段BF與AE有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（3）若CD=，求AD的長(zhǎng)．
證明：（1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
∴△ADC≌△BDF（ASA）；
（2）BF=2AE，
理由如下：∵△ADC≌△BDF，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
（3）∵△ADC≌△BDF，
∴CD=DF=，
又∵∠ADC=90°，
∴CF=CD=2，
∵AE=EC，BE⊥AC，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+．
15.由（a-b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式：a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)．
例如：已知x＞0，求式子x+的最小值．
解：令a=x，b=，則由a+b＞2，得x+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，即x=2時(shí)，式子有最小值，最小值為4．
請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問題：
（1）當(dāng)x＞0，式子x+的最小值為____；當(dāng)x＜0，則當(dāng)x=_____時(shí)，式子4x+取到最大值；
（2）用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻（墻長(zhǎng)20米），問這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？
解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x+≥2=2，x+的最小值為2．
（當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)）
當(dāng)x＜0時(shí)，4x+=-[（-4x）+（-）]≤-2=-2×12=-24，
當(dāng)且僅當(dāng)-4x=-時(shí)，x=-3時(shí)取到等號(hào)，
即當(dāng)x=-3時(shí)，式子4x+3/取得最大值．
故答案為：2；-3；
（2）設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y．則xy=32，欲使x+2y最小，
∵x＞0，y＞0，
x+2y≥2=2=2=2×8=16，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取得等號(hào)，
由，
解得，x=8，y=4，
即長(zhǎng)為8，寬為4時(shí)，所用籬笆最短．
最短籬琶為16米．
26.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在邊AB上，DE⊥CD，且DE=CD，CE交邊AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）若AC=6，CD=7，求線段AD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，求證：△CBE是直角三角形；
（3）如圖3，若CD≠CF，直接寫出線段AC，CD，BE之間的數(shù)量關(guān)系．
【解答】
（1）解；過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，如圖1所示：
∵∠ACB=90°，AC=BC，AC=6，
∴AB=AC=12，
∵CM⊥AB，
∴AM=BM，CM=AB=AM=BM=6，
∴DM=，
∴AD=AM-DM=6-；
（2）證明：過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，過E作EN⊥AB于N，如圖2所示：
則∠CMD=∠DNE=90°，
∴∠MCD+∠MDC=90°，
∵DE⊥CD，
∴∠MDC+∠NDE=90°，
∴∠MCD=∠NDE，
又∵CD=DE，
∴△CDM≌△DEN（AAS），
∴CM=DN，DM=EN，
∴DM+MN=CM，
由（1）得：∠ABC=45°，CM=AB=AM=BM，
∴BM=MN+BN=CM=DM+MN，
∴DM=BN=EN，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴△CBE是直角三角形；
（3）解：AC2+BE2=2CD2，理由如下：
過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，過E作EN⊥AB于N，如圖3所示：
由（2）可知：EN=BN=DM，BE2=EN2+BN2=2EN2=2DM2，
∴DM2=BE2，
在Rt△ACM中，CM=AM，AC2=CM2+AM2，
在Rt△CDM中，CM=AM，CD2=CM2+DM2，
∴CD2=AC2+BE2，
∴AC2+BE2=2CD2．
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