5.1 多邊形和平行四邊形-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)+練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第五章四邊形
5.1多邊形和平行四邊形
一、課標(biāo)解讀
1.了解多邊形的定義，多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、對(duì)角、對(duì)角線等概念；探索并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.
2.理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.
3.探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理及其判定定理.
4.了解兩條平行線之間距離的意義，能度量?jī)蓷l平行線之間的距離.
二、知識(shí)點(diǎn)回顧
知識(shí)點(diǎn)1. 多邊形：
1.多邊形的性質(zhì)
內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和為 (n≥3)．
外角和定理:任意多邊形的外角和為．
對(duì)角線:
從n(n＞3)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以作條對(duì)角線，故n(n＞3)邊形共有條對(duì)角線．
2.正多邊形的定義和性質(zhì)
定義：各邊相等，各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形．
性質(zhì)：每個(gè)內(nèi)角相等，都等于，每個(gè)外角相等，都等于，有n條對(duì)稱軸.
知識(shí)點(diǎn)2. 平行四邊形的概念
概念:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形是特殊的四邊形，四邊形不具有穩(wěn)定性.
知識(shí)點(diǎn)3 . 平行四邊形的性質(zhì)：
如圖，?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O.

文字描述
幾何語(yǔ)言表述
邊
兩組對(duì)邊分別平行且相等.
AD∥BC，且AD＝BC；
AB∥CD，且AB＝CD.
角
對(duì)角分別相等.
∠BAD＝∠BCD，∠ADC＝∠ABC.
鄰角互補(bǔ).
∠BAD＋∠ABC＝，∠BAD＋∠ADC＝.
對(duì)角線
對(duì)角線互相平分.
OA＝OC，OD＝OB.
對(duì)稱性
是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)(或點(diǎn)O)，任意一條經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心的直線均平分平行四邊形的面積．
面積
S?ABCD＝2S△ABC＝4S△AOB＝ah.(a表示平行四邊形一邊的邊長(zhǎng)，h表示該邊上的高)
知識(shí)點(diǎn)4 .平行四邊形的判定

文字描述
幾何語(yǔ)言表述
邊
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)．
∵AB∥CD，AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
∵AB＝CD，AD=CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
∵AB∥CD，AB＝CD或AD∥BC，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
角
兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．
∵∠BAD＝∠BCD，∠ADC＝∠ABC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
對(duì)角線
對(duì)角線互相的四邊形是平行四邊形．
∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形.
三、熱點(diǎn)訓(xùn)練
熱點(diǎn)1：多邊形的內(nèi)角和與外角和
一練基礎(chǔ)
1．（2021·廣東·汕頭市潮南實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為，則這個(gè)多邊形是（?????）
A．七邊形 B．六邊形 C．五邊形 D．四邊形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，先求出這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)，再用360°除以一個(gè)外角的度數(shù)即可得到邊數(shù)．
【詳解】
解：∵多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于120°，
∴多邊形的每一個(gè)外角都等于180°-120°=60°，
∴邊數(shù)n=360°÷60°=6．
故選B.．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，求出每一個(gè)外角的度數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.即先求出這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)，再用360°除即可得到邊數(shù)．
2．（2021·浙江·東陽(yáng)市橫店鎮(zhèn)第二初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）下列多邊形中，內(nèi)角和與外角和相等的是（???????）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）?180°與多邊形的外角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】
解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得
（n-2）?180°=360°，
解得n=4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，熟記公式與定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·上?！ぐ四昙?jí)期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1800°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為______．
【答案】十二
【解析】
【分析】
首先設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，然后根據(jù)題意得：（n-2）×180=1800，解此方程即可求得答案．
【詳解】
解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，
根據(jù)題意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴這個(gè)多邊形是十二邊形．
故答案為：十二．
【點(diǎn)睛】
此題考查了多邊形的內(nèi)角和定理．注意多邊形的內(nèi)角和為：（n-2）×180°．
4．（2021·山東蒙陰·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)九邊形個(gè)外角的和為，則它的第個(gè)外角為______度．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的外角和等于，即可求得．
【詳解】
解：．
故它的第個(gè)外角為度．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的外角和定理，多邊形的外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān)，任意多邊形的外角和都是．
5．（2020·湖南湘西·中考真題）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的倍，則它的邊數(shù)是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n?2）?180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
【詳解】
解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，
根據(jù)題意得，（n?2）?180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，需要注意，多邊形的外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān)，任何多邊形的外角和都是360°．
二練鞏固
6．（2021·福建·廈門市第九中學(xué)二模）一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為，則n等于（?????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可．
【詳解】
，
解得．
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，牢記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）如圖，的值是（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及三角形的外角定理即可求解．
【詳解】
解：如圖，、與分別相交于點(diǎn)、，

在四邊形中，，
，，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的外角與內(nèi)角、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記多邊形的內(nèi)角和公式及三角形的外角定理．
8．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（???????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．
【詳解】
解：連接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故選D．

【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．
9．（2021·河北·石家莊市第四十中學(xué)二模）如圖，五邊形ABCDE中，，，、、分別是、、的外角，則等于（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
延長(zhǎng)AB與CD，根據(jù)平角定義可求∠4與∠5，再根據(jù)多邊形外角和可求解．
【詳解】
解：延長(zhǎng)AB和DC，得∠4與∠5，
∴∠4=180°-∠B，
∠5=180°-∠C，
∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，
根據(jù)多邊形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°．
故選：B．

【點(diǎn)睛】
本題考查了五邊形的角度問(wèn)題，平角定義，多邊形外角和，掌握平角定義，多邊形外角和是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校二模）如圖，在四邊形ABCD中，的角平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)P，且，則___________．

【答案】
【解析】
【分析】
先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．
【詳解】
解：的角平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)，
，
在四邊形中，，
，
由三角形的外角性質(zhì)得：，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了四邊形的內(nèi)角和、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．
11．（2021·浙江甌?！と＃┤鐖D，在五邊形ABCDE中，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，BE，CE分別是∠ABC，∠BCD的角平分線．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）當(dāng)∠A＝80°，∠ABC＝140°時(shí)，求∠AED的度數(shù)．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）100°
【解析】
【分析】
（1）由角平分線的定義得出∠ABE=∠CBE，∠BCE=∠DCE，可證明△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠A=∠D=80°，根據(jù)五邊形的內(nèi)角和可求出答案．
【詳解】
解：（1）證明：∵BE，CE分別是∠ABC，∠BCD的角平分線．
∴∠ABE=∠CBE，∠BCE=∠DCE，
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠ABE=∠DCE，∠EBC=∠ECB，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A=∠D=80°，
∵∠ABC=140°，
∴∠ABC=∠BCD=140°，
∵五邊形ABCDE的內(nèi)角和是540°，
∴∠AED=540°-∠A-∠D-∠ABC-∠BCD=540°-80°-80°-140°-140°=100°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，五邊形的內(nèi)角和，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三練拔高
12．（2021·上海徐匯·二模）如果剪掉四邊形的一個(gè)角，那么所得多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)不可能是（　?。?br /> A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】B
【解析】
【分析】
分四邊形剪去一個(gè)角，邊數(shù)減少1，不變，增加1，三種情況討論求出所得多邊形的內(nèi)角和，即可得解．
【詳解】
解：剪去一個(gè)角，若邊數(shù)減少1，則內(nèi)角和＝（3﹣2）×180°＝180°，
若邊數(shù)不變，則內(nèi)角和＝（4﹣2）×180°＝360°，
若邊數(shù)增加1，則內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
所以，所得多邊形內(nèi)角和的度數(shù)可能是180°，360°，540°，不可能是270°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，要注意剪去一個(gè)角有三種情況．
13．（2021·福建省福州第十九中學(xué)三模）在凸n邊形中，小于108°的角最多可以有（　?。?br /> A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】
內(nèi)角小于108度，其外角大于72度，外角和總共是360度，所以最多有4個(gè)，若有5個(gè)的時(shí)候外角和超過(guò)360度．
【詳解】
解：設(shè)小于108°的角最多可以有x個(gè)，即外角大于72度的有x個(gè)，
則72x＜360，解得x＜5，
即小于108°的角最多有4個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，熟記多邊形的外角和為360°是解題關(guān)鍵．
14．（2021·廣東鹽田·一模）如圖，如圖1將矩形ABCD剪2刀得3個(gè)角，其和為360°；如圖2，剪3刀得4個(gè)角，其和為540°；如圖 3，剪4刀得5個(gè)角，其和為720°……按上述剪法剪n刀得（n＋1）個(gè)角，其和為________．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得．
【詳解】
四邊形是矩形，
，
設(shè)剪刀得個(gè)角的和為，則所得多邊形的角的個(gè)數(shù)為個(gè)，
由多邊形的內(nèi)角和公式得：，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
15．（2021·浙江舟山·一模）發(fā)現(xiàn)：如圖1，在有一個(gè)“凹角”邊形 …中（為大于3的整數(shù)），．
驗(yàn)證：
（1）如圖2，在有一個(gè)“凹角”的四邊形中，證明：．
（2）如圖3，有一個(gè)“凹角”的六邊形中，證明；．
延伸：
（3）如圖4，在有兩個(gè)連續(xù)“凹角和”的四邊形 ……中（為大于4的整數(shù)），．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）6．
【解析】
【分析】
（1）如圖2，延長(zhǎng)交于，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖3，延長(zhǎng)交于，則，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）如圖4，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和得到，于是得到結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖2，延長(zhǎng)交于，

則，，
；
（2）如圖3，延長(zhǎng)交于，

則，
，，
；
（3）如圖4，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，

則，
，
而，
．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角和等知識(shí)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
熱點(diǎn)2：與正多邊形相關(guān)的計(jì)算
一練基礎(chǔ)
1．（2021·黑龍江杜爾伯特·九年級(jí)期末）如圖，，，，，相互外離，它們的半徑都是2，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出五個(gè)扇形的圓心角之和，利用扇形面積公式求解即可．
【詳解】

故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形內(nèi)角和，扇形面積公式，理解題意是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·遼寧·東北育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，小明用一些完全相同的△ABC紙片拼接圖案，已知用六個(gè)△ABC紙片按照?qǐng)D1所示的方法拼接可得外輪廓是正六邊形圖案，若用n個(gè)△ABC紙片按圖2所示的方法拼接，那么可以得到外輪廓的圖案是（　?。?br />
A．正十二邊形 B．正十邊形 C．正九邊形 D．正八邊形
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據(jù)正六邊形計(jì)算一個(gè)內(nèi)角為120度，可知△ABC各角的度數(shù)，從而知圖2中正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)與外角的度數(shù)，從而可得結(jié)論．
【詳解】
解：∵正六邊形每一個(gè)內(nèi)角為120°，
∴∠ACB=120°-80°=40°，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
∴圖2中正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為60°+80°=140°，
所以正多邊形的邊數(shù)為，
∴可以得到外輪廓的圖案是正九邊形．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查正多邊形，解決本題的關(guān)鍵是掌握正多邊形內(nèi)角和與外角和公式．
3．（2021·云南五華·一模）如圖，小明從點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)8米，又向左轉(zhuǎn)，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，走過(guò)的總路程為（???????）

A．48米 B．80米 C．96米 D．無(wú)限長(zhǎng)
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，小明走過(guò)的路程是正多邊形，先用除以求出邊數(shù)，然后再乘以8米即可．
【詳解】
小明每次都是沿直線前景8米后向左轉(zhuǎn)60度，
他走過(guò)的圖形是正多邊形，
邊數(shù)，
他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，一共走了（米）．
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的邊數(shù)的求法，根據(jù)題意判斷出小明走過(guò)的圖形是正多邊形是解題關(guān)鍵．
4．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，正方形的邊在正五邊形的邊上，則__________．

【答案】18
【解析】
【分析】
由正方形的性質(zhì)及正五邊形的內(nèi)角可直接進(jìn)行求解．
【詳解】
解：∵四邊形是正方形，五邊形是正五邊形，
∴，
∴；
故答案為18．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·福建·泉州五中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，則等于______度．

【答案】
【解析】
【分析】
由正六邊形的性質(zhì)得出∠BAF＝∠CBA＝120°，AF=BA=BC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠AFB＝∠BAC＝30°，求出∠GAF =90°，即可求出∠CGF的度數(shù)．
【詳解】
解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BAF＝∠CBA=120°，AF=BA=BC，
∴∠AFB＝∠BAC＝30°，
∴∠OAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°，
∴∠CGF＝90°+∠AFB＝120°．
故答案為：120．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，明確正六邊形的每條邊相等，每個(gè)角相等是解答此題的關(guān)鍵．
二練鞏固
6．（2021·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出正六邊形的內(nèi)角和外角，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】
解：∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角等于120°，每個(gè)外角等于60°，
∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=101°-60°=41°
∵光線是平行的，
∴=∠ABD=，
故選A

【點(diǎn)睛】
本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì)，掌握三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)正多邊形內(nèi)角和等于540°，則這個(gè)正多邊形的每一外角等于____°．
【答案】72
【解析】
【分析】
先求出正多邊形的邊數(shù)，從而可得其每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可得．
【詳解】
解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，
由題意得：，
解得，
則這個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，
所以這個(gè)正多邊形的每一外角等于，
故答案為：72．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的內(nèi)角與外角，熟記公式是解題關(guān)鍵．
8．（2021·河北·石家莊市第四十二中學(xué)一模）如圖，由一個(gè)正六邊形和一個(gè)正五邊形組成的圖形中∠1的度數(shù)是_____．

【答案】84°
【解析】
【分析】
利用正多邊形的外角公式可得∠3，∠4，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，求出∠2，即可求出∠1解決問(wèn)題．
【詳解】
解：如圖，

由題意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，
則∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°
故答案為84°．
【點(diǎn)睛】
本題考查多邊形內(nèi)角與外角，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．
9．（2021·河北興隆·二模）如圖，正五邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，則__________．

【答案】
【解析】
【分析】
如下圖，由五邊形內(nèi)角和公式及正多邊形的性質(zhì)得到正五邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，求解∠2，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與五邊形的內(nèi)角和公式得到答案．
【詳解】
解：如圖所示：

∵正五邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，
又∵α=18°，
∴∠2=108°-18°=90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：對(duì)應(yīng)角相等，
∴∠M=∠MNH=108°，
在正五邊形中，∠E=108°，
∴∠1=540°-3×108°-90°=126°，
故答案為：126°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形內(nèi)角，熟記正多邊形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正六邊形中，以為對(duì)角線作正方形，、與分別交于、．

（1）______°；
（2）若，求的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1，可以直接利用（1）的結(jié)論．）
【答案】（1）15；（2）1.1
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正六邊形和正方形的內(nèi)角及對(duì)角線性質(zhì)求解；
（2）作AD中點(diǎn)O，連接BO，連接PO交BC于H，則由題意可以得到OP、OH，從而得到PH、MH，最后得到 MN的值．
【詳解】
解：（1）∵AD是正六邊形ABCDEF和正方形APDQ的對(duì)角線，
∴，∠ PAD=45°，
∴∠BAM=∠BAD-∠PAD=60°-45°=15°，
故答案為15；
（2）如圖，作中點(diǎn)，連接，

在正六邊形中，，，
、平分、，，
∴，
∴，是等邊三角形，
∴，，
∴
連接交于，
在正方形中，，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴ ．
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形和正六邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形和正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)、正弦函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．　
三練拔高
11．（2021·河北路南·三模）如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，分別以其對(duì)角線、為邊作正方形，則兩個(gè)陰影部分的面積差的值為（）

A．0 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)正多邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可；
【詳解】
∵六邊形是正六邊形，
∴則AD是其對(duì)稱軸，則EF∥AD∥BC，E、C關(guān)于AD對(duì)稱，則，
∵四邊形ADPQ、四邊形CEHG是正方形，
∴，
∴四邊形MCND是矩形，
∴，
連接OB、OC，

∴，
∴，
∴，
∵正六邊形內(nèi)角和為，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，結(jié)合正多邊形的內(nèi)角和求解是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·江蘇南京·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正六邊形的面積是，則對(duì)角線的長(zhǎng)是 __．

【答案】8
【解析】
【分析】
連接，先解答正六邊形的邊長(zhǎng)為4，再解得，繼而解得，最后根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)解題．
【詳解】
解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，
正六邊形的面積是，
，
解得
連接，

在正六邊形中，，，
，
，
，
，
，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】
本題考查正六邊形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
13．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某同學(xué)以一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑，向外畫了三段圓弧，設(shè)計(jì)了如圖所示的圖案．則圖案外圍輪廓的周長(zhǎng)為__________．

【答案】
【解析】
【分析】
由正六邊形的邊長(zhǎng)相等可得每個(gè)內(nèi)角為120度，進(jìn)而可知圖案外圍輪廓的周長(zhǎng)為三個(gè)半徑為1、圓心角為240度的弧長(zhǎng)之和．
【詳解】
解：如圖：由題意可知：
∵正六邊形六個(gè)邊相等都等于1，六個(gè)內(nèi)角相等都等于，
∴圖案外圍輪廓的周長(zhǎng)為三個(gè)半徑為1、圓心角為240度的弧長(zhǎng)之和，
即圖案外圍輪廓的周長(zhǎng)為：．
故填．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正多邊形和弧長(zhǎng)公式，根據(jù)題意得到圖案外圍輪廓的周長(zhǎng)為三個(gè)半徑為1、圓心角為240度的弧長(zhǎng)之和成為解答本題的關(guān)鍵．
14．（2021·山東龍口·一模）黃金分割具有嚴(yán)格的比例性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，這一比值能夠引起人們的美感．如圖，連接正五邊形的各條對(duì)角線圍成一個(gè)新的五邊形．圖中有很多頂角為的等腰三角形，我們把這種三角形稱為“黃金三角形”，黃金三角形的底與腰之比為．若，則_____．

【答案】
【解析】
【分析】
由正五邊形得到△DER為“黃金三角形”，利用黃金三角形的定義可得DE的長(zhǎng)，即可得AB的長(zhǎng)．
【詳解】
∵為正五邊形，
∴DE=AE=CD=AB，∠AED=∠EDC=∠EAB==108°，
∴∠DEC=∠DCE=36°，∠AEB=∠ABE=36°，∠EAD=∠EDA=36°，
∴∠MER=108°-36°-36°=36°，
∴∠ERD=2∠EAD=72°，∠DER=2∠DEC=72°，∠EMR=2∠EDA=72°，
∴ER=EM=4，DE=DR，
∴△DER為“黃金三角形”，
∴，即，
解得：DE=，
∴AB=，
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查正多邊形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°（n≥3），理解“黃金三角形”的定義，正確得出正五邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)并是解題關(guān)鍵．
15．（2020·浙江溫嶺·一模）用兩條寬均為2cm的紙條（假設(shè)紙條的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)），折疊穿插，如圖（1）所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖（2）所示的正六邊形ABCDEF，則折出的正六邊形的邊長(zhǎng)為_____cm．

【答案】
【解析】
【分析】
作AM⊥CB于M，則AM＝2，由正六邊形的性質(zhì)得出∠ABC＝120°，由鄰補(bǔ)角求出∠ABM＝60°，由三角函數(shù)求出AB即可．
【詳解】
解：如圖所示：
作AM⊥CB于M，則AM＝2，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABM＝180°﹣120°＝60°，
∵sin∠ABM＝，
∴；
故答案為：．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了銳角三角函數(shù)以及正多邊形內(nèi)角和的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)正多邊形性質(zhì)得到∠ABC＝120°是解題的關(guān)鍵；屬于基礎(chǔ)題．
熱點(diǎn)3：平行四邊形的判定
一練基礎(chǔ)
1．（2020·新疆烏蘇·九年級(jí)階段練習(xí)）下列哪組條件能判別四邊形ABCD是平行四邊形（　　　）

A．ABCD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC
C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形可得答案．
【詳解】
解：A、AB∥CD，AD=BC不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、AB=CD，AD=BC判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)正確；
C、∠A=∠B，∠C=∠D不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、AB=AD，CB=CD不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．
2．（2019·遼寧鐵西·中考模擬）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，且AB∥CD，添加下列哪個(gè)條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（???????）

A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)平行四邊形的判定定理可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．
【詳解】
解：A、若添加AB=CD可根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可判定，故不符合題意；
B、若添加AD∥BC可根據(jù)“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”可判定，故不符合題意；
C、由AB∥CD可得∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，結(jié)合OA=OC可證△ABO≌△CDO（AAS），然后可得OB=OD，進(jìn)而根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可判定，故不符合題意；
D、若添加AD=BC不能判定四邊形是平行四邊形，故符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·云南五華·一模）如圖所示，將繞邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．小穎發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的與構(gòu)成了平行四邊形，她的推理思路如下：
點(diǎn)、分別轉(zhuǎn)到點(diǎn)、處，
而點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)處．
由，
得四邊形是平行四邊形．

為保證小穎的推理更嚴(yán)謹(jǐn)，小明想在方框中“由，”和“得四邊形……”之間作補(bǔ)充．應(yīng)補(bǔ)充的是（???????）

A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可．
【詳解】
解：∵CB＝AD，AB＝CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故應(yīng)補(bǔ)充“AB＝CD”，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的判定，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
4．（2021·安徽·合肥市五十中學(xué)新校二模）已知，凸四邊形，給出下列四個(gè)條件：
①，?????????????②，
③，?????????????④，
能判斷四邊形是平行四邊形的個(gè)數(shù)是（???????）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：①∵AB=CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故①能判斷四邊形ABCD是平行四邊形；
②∵AB=CD，AD∥BC
∴四邊形ABCD是等腰梯形或平行四邊形，故②不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形；
③如圖1，∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故③能判斷四邊形ABCD是平行四邊形；
④如圖2，連接BD，

在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=DB，∠A=∠C，
不能判定△ABD和△CDB全等，
∴不能判定AD=BC，
∴不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形；
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定、全等三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·吉林·三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，CD，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．求證：四邊形ABCE是平行四邊形．

【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
根據(jù)平行線的判定定理得到AB∥EC，推出AB＝EC，進(jìn)而可得結(jié)論．
【詳解】
證明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥EC，
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴AB＝EC，
∴四邊形ABCE是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的判定定理．
6．（2021·福建同安·三模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC ，AC、BD相交于點(diǎn)O，O是AC的中點(diǎn)．
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
證明△AOD≌△COB（AAS），得OD=OB，即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：證明：∵O是AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OD=OB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明△AOD≌△COB是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點(diǎn)，．

（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是________；
（2）添加了條件后，證明四邊形為平行四邊形．
【答案】（1）（答案不唯一，符合題意即可）；（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由題意可知，要使得四邊形為平行四邊形，則使得即可，從而添加適當(dāng)條件即可；
（2）根據(jù)（1）的思路，利用平行四邊形的定義證明即可．
【詳解】
（1）顯然，直接添加，可根據(jù)定義得到結(jié)果，
故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）；
（2）證明：∵，，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．
二練鞏固
8．（2021·河北·中考真題）如圖1，中，，為銳角．要在對(duì)角線上找點(diǎn)，，使四邊形為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（???????）

圖2
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
【答案】A
【解析】
【分析】
甲方案：利用對(duì)角線互相平分得證；
乙方案：由，可得,即可得，
再利用對(duì)角線互相平分得證；
丙方案:方法同乙方案．
【詳解】
連接交于點(diǎn)
甲方案：四邊形是平行四邊形

四邊形為平行四邊形．
乙方案：
四邊形是平行四邊形
，，

又

(AAS)

四邊形為平行四邊形．
丙方案:
四邊形是平行四邊形
，，，

又分別平分
，即
（ASA）

四邊形為平行四邊形．
所以甲、乙、丙三種方案都可以．
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，角平分線的概念等知識(shí)，能正確的利用全等三角的證明得到線段相等，結(jié)合平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．
9．（2021·陜西雁塔·模擬預(yù)測(cè)）如圖，B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，連接AD．求證：四邊形ABED是平行四邊形．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
由推出∠B=∠DEF，由推出∠ACB=∠F，再證得BC=EF，推出△ABC≌△DEF，得到AB=DE，即可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等證明四邊形ABED是平行四邊形．
【詳解】
證明：∵
∴∠B=∠DEF，
∵，
∴∠ACB=∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，
∵，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟記全等三角形的判定定理和平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，在中，，，以線段為邊向外作等邊，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）若，求四邊形的面積．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【解析】
【分析】
(1)由直角三角形的性質(zhì)得出，∠ABC=60°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABD=∠BAD=60°，?AB=AD，得出∠ABC=∠BAD，證出，再證出△BCE是等邊三角形，得出∠BEC=60°=∠ABD，得出，即可得出結(jié)論；
(2)由直角三角形的性質(zhì)可求BC，AC的長(zhǎng)，由梯形面積公式可求解．
【詳解】
（1）證明：，，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
，
，
是等邊三角形，
，
，且，
四邊形為平行四邊形；
（2）在中，
，，
，，
，
四邊形為直角梯形，
直角梯形的面積．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵．
11．（2021·江蘇工業(yè)園區(qū)·一模）如圖，在等邊中，點(diǎn)D在邊上，為等邊三角形，且點(diǎn)E與點(diǎn)D在直線的兩側(cè)，點(diǎn)F在上（不與A，B重合）且與，分別相交于點(diǎn)F，G．求證：四邊形是平行四邊形．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
易證△ABD≌△ACE，則有全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)平行線的判定得到BFEC．由于∠AFE＝∠B，則EFBC．故四邊形BCEF為平行四邊形．
【詳解】
證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠B＋∠ACB＋∠ACE＝180°，
∴BFCE．
又∵∠AFE＝∠B，
∴EFBC，
∴四邊形BCEF為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定及平行四邊形的判定，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，但難度不算很大．
12．（2021·黑龍江松北·二模）如圖，在中，，垂直平分，交于點(diǎn)E，連接、，且．

（1）如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有面積是的面積的2倍的三角形和四邊形．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），，，四邊形
【解析】
【分析】
（1）證明EF是△ABC的中位線，可得BC=2EF，由ED=2EF，可得ED=BC，進(jìn)而可以根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證；
（2）根據(jù)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，可得△BEC，△ECD，△AEB的面積相等，都等于△BEG的面積的2倍，四邊形BGEF等于△BEG的面積的2倍．
【詳解】
（1）證明：∵DF垂直平分AB，交AC于點(diǎn)E，
∴∠AFE=90°，EA=EB，AF=FB，
∴∠A=∠ABE，
∵∠ABC=90°，
∴∠AFE=∠ABC，
∴FD∥BC，
∵AF=FB，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF=BC，
∴BC=2EF，
∵ED=2EF，
∴ED=BC，
∵ED∥BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形；
（2）∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，
∴△BEC，△ECD，△AEB的面積相等，都等于△BEG的面積的2倍，
四邊形BGEF等于△BEG的面積的2倍．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)．
13．（2021·廣西來(lái)賓·中考真題）如圖，四邊形中，，，連接．

（1）求證：；
（2）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）在（2）的條件下，已知四邊形的面積為，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）作圖見(jiàn)詳解；（3）CE=4．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，得到∠BAC=∠DCA，結(jié)合，AC=CA，利用“AAS”即可證明；
（2）如圖，延長(zhǎng)AB，任意取一點(diǎn)H，使H和點(diǎn)C在AB兩側(cè)，以C為圓心，CH為半徑畫弧，交AB于F、G，分別以F、G為圓心，以大于FG長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于I，作直線CI，交AB延長(zhǎng)線于E，則CD⊥AB與E；
（3）證明四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形面積公式即可求解．
【詳解】
解：（1）∵，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵，AC=CA，
∴；
（2）如圖，延長(zhǎng)AB，任意取一點(diǎn)H，使H和點(diǎn)C在AB兩側(cè)，以C為圓心，CH為半徑畫弧，交AB于F、G，分別以F、G為圓心，以大于FG長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于I，作直線CI，交AB延長(zhǎng)線于E，則CD⊥AB與E；

（3）∵，
∴AB=CD，
∵，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴,
即5CE=20，
∴CE=4．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟知相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
14．（2021·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線中點(diǎn)，連接，．如果，，且．

（1）求證：四邊形是平行四邊形．
（2）若，則______，_____．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）12，
【解析】
【分析】
（1）要證明四邊形AMCD是平行四邊形，已知AM=DC，只需要證明AM∥DC即可；由條件可知△AMB≌△AMC(SSS)，推理可得∠DCA=∠MAC=45°，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可知AM∥CD，可得結(jié)論；
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得即可得，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)E，由等腰三角形三線合一可得點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，ME是△BCD的中線，則ME=CD，進(jìn)而ME=AE，BC=6ME，最后由勾股定理求出ME=2，從而可得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）證明：如圖，

∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，∠BCD=90°
∴CM是Rt△BCD斜邊BD的中線，
∴CM=BM=MD，
又AB=AC，AM=AM，
∴△AMB≌△AMC(SSS)，
∴∠BAM=∠CAM，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAM=45°
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠DCA=∠DCB-∠ACB=45°，
∴∠DCA=∠MAC，
∴AM∥CD，
又∵AM=DC，
∴四邊形AMCD為平行四邊形．
（2）由（1）得，，即
∴
延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)E，如圖，

∵AB=AC，∠BAC=90°，∠BAM=∠CAM，
∴AE⊥BC，且點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴
∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴ME是△BCD的中位線，
∴CD=2ME，
又AM=CD，
∴AM=2ME，
∴ME=AE，
∴，
在Rt△BCD中，，即
解得，ME=2
∴，CD=4
∴tan∠DBC=，
故答案為：12，．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了平行四邊形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，求三角函數(shù)值等知識(shí)；求出ME=2是解答此題的關(guān)鍵．
三練拔高
15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，D為AB邊上一點(diǎn)、F為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)AE．

（1）求證：四邊形ADCE為平行四邊形．
（2）若，，，求DC的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先證明，再證明可得AD=CE,最后結(jié)合即可證明；
（2）如圖：作于點(diǎn)H，在Rt△DFH中利用三角函數(shù)可得FH的長(zhǎng)，最后在Rt△CFH中運(yùn)用勾股定理解答即可．
【詳解】
（1）證明：∵，
∴．
∵F為AC的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
．
∴
∵
∴四邊形ADCE為平行四邊形；
（2）作于點(diǎn)H．
∵四邊形ADCE為平行四邊形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，得，
，得．
在中，，，，
∴．
由勾股定理，得．
∴．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了解直角三角形、平行四邊形的判定、全等三角形的判定的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、靈活利用三角函數(shù)解直角三角形成為解答本題是關(guān)鍵．
16．（2021·湖北鄂州·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．

（1）探究四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）連接，分別交、于點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）平行四邊形，見(jiàn)解析；（2）16
【解析】
【分析】
（1）利用平行四邊形的判定定理，兩組對(duì)邊分別平行是平行四邊形即可證明；
（2）根據(jù)，找到邊與邊的等量關(guān)系，再利用三角形相似，建立等式進(jìn)行求解即可．
【詳解】
（1）四邊形為平行四邊形．

理由如下：
∵四邊形為平行四邊形
∴
∵
∴
∵四邊形為平行四邊形
∴
∴
∴
∵
∴四邊形為平行四邊形
（2）設(shè)，∵
∴，
∵四邊形為平行四邊形
∴，，
∵
，
∴
∴
∵
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定定理、相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定理，能進(jìn)行相關(guān)的證明．
17．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）在中，，，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，，以為斜邊在其一側(cè)制作等腰直角三角形．連接．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)時(shí)，
①如圖2，（1）中線段與線段的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②如圖3，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，連接，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）①成立，理由見(jiàn)解析；②平行四邊形，理由見(jiàn)解析；
【解析】
【分析】
（1）如圖1，證明，由平行線分線段成比例可得，由的余弦值可得；
（2）①根據(jù)兩邊成比例，夾角相等，證明，即可得；
②如圖3，過(guò)作，連接, 交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件證明，根據(jù)平行線分線段成比例可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)以及①的結(jié)論可得,
根據(jù)三角形內(nèi)角和以及可得，進(jìn)而可得，即可證明四邊形是平行四邊形．
【詳解】
（1）如圖1，

，，
，
是以為斜邊等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
即；
（2）①仍然成立，理由如下：
如圖2，

，，
，
是以為斜邊等腰直角三角形，
,，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即；
②四邊形是平行四邊形，理由如下：
如圖3，過(guò)作，連接, 交于點(diǎn)，

，，
，
，
，
，
是以為斜邊等腰直角三角形，
，
，，三點(diǎn)共線，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
，
是以為斜邊等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
熱點(diǎn)5：平行四邊形的性質(zhì)
一練基礎(chǔ)
1．在平行四邊形中，，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，則的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到AC的取值范圍，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出OA的取值范圍．
【詳解】
解：∵AB=3cm，BC=5cm，
∴2cm＜AC＜8cm，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=AC，
∴1cm＜OA＜4cm，
故選：A．

【點(diǎn)睛】
本題考查了對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，得到AO是AC的一半是解此題的關(guān)鍵．
2．（2021·河北·石家莊市第四十中學(xué)二模）觀察下圖，判斷哪條線段的長(zhǎng)度不能表示平行四邊形ABCD的高．（???????）

A．BF B．BD C．GH D．DE
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)平行四邊形高的定義，作出判斷即可．
【詳解】
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴線段DE,BF是平行四邊形ABCD的高，
又∵AD∥BC，GH⊥BC，
∴GH=DE，
∴GH也是平行四邊形ABCD的高，
在Rt中，BD為斜邊，
∴BD與AD,CD都不垂直，
∴BD不是平行四邊形ABCD的高，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的高，解題關(guān)鍵是掌握平行四邊形的高的定義，平行四邊形有無(wú)數(shù)條高，過(guò)平行四邊形的一邊上任意一點(diǎn)向?qū)吽诘闹本€作垂線段，該垂線段就是平行四邊形的高．
3．（2021·湖南·臺(tái)州市書生中學(xué)一模）如圖，在中，、為上兩點(diǎn)，．求證：．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，證明△ADE△CBF，即可得結(jié)論．
【詳解】
證明：四邊形平行四邊形，
，，
．
在與中，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．
4．（2021·浙江·溫州繡山中學(xué)三模）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）求證：EO＝FO；
（2）若AE＝EF＝4，求AC的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，∠ABE=∠CDF，然后根據(jù)題意證明即可．
（2）根據(jù)OE=OF=求出OE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理求出AO的長(zhǎng)度，即可根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分求出AC的長(zhǎng)度．
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥ED，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴，
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF．
（2）∵AE＝EF＝4，
∴OE=OF＝，
∴在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等和勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等和勾股定理．
5．（2018·山東歷城·中考模擬）如圖平行四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，并與，分別交于點(diǎn)，，已知，

（1）求的長(zhǎng)；
（2）如果兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和是，求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）8；（2）18
【解析】
【分析】
（1）由已知條件證明，可得，進(jìn)而可知，即可求得；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)即（1）的結(jié)論即可求得的周長(zhǎng)．
【詳解】
解：（1）四邊形是平行四邊形，
，，
，
在和中
，
，
，
；
（2）四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
的周長(zhǎng)．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，證明是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·廣西桂林·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．

（1）求證：∠1＝∠2；
（2）求證：△DOF≌△BOE．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論；
（2）由（1）可知∠1=∠2，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得OD=OB，利用AAS即可證明△DOF≌△BOE．
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//CD，
∴∠1＝∠2．
（2）∵點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，
∴OD=OB，
在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．
7．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）如圖，平行四邊形中．
（1）求作：的垂直平分線，交于點(diǎn)．交延長(zhǎng)線于點(diǎn)（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，直線交于，連接，當(dāng)時(shí)，求證：．

【答案】（1）圖見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）利用基本作圖，作AB的垂直平分線即可；
（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A＝∠C＝22.5°，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，MN⊥AB，則∠EBA＝∠A＝22.5°，接著判斷△DEB為等腰直角三角形得到DE＝DB，然后證明△NDE≌△ABD，從而得到結(jié)論．
【詳解】
（1）解：如圖，MN為所作；

（2）證明：如圖，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A＝∠C＝22.5°，
∵M(jìn)N垂直平分AB，
∴EA＝EB，MN⊥AB，
∴∠EBA＝∠A＝22.5°，
∴∠DEB＝∠A＋∠EBA＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴△DEB為等腰直角三角形，∠DEDN＝90°，
∴DE＝DB，
∵∠N＋∠NED＝90°，∠A＋∠MEA＝90°，
而∠NED＝∠AEM，
∴∠N＝∠A，
在△NDE和△ABD中，
，
∴△NDE≌△ADB（AAS），
∴NE＝AB．
【點(diǎn)睛】
本題考查了作圖?基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作已知線段的垂直平分線）．也考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．
二練鞏固
8．（2019·浙江衢州·中考模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)，將沿AE折疊至處，與CE交于點(diǎn)F，若，，則的度數(shù)為（???????）

A．40° B．36° C．50° D．45°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四邊形的性質(zhì)得出，由折疊的性質(zhì)得，，由三角形的外角性質(zhì)求出，由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出的大?。?br /> 【詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，
，
由折疊的性質(zhì)得：，，
，
，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出和是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
9．（2021·江蘇建湖·一模）如圖，在平行四邊形中，平分，交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，，則長(zhǎng)為（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，由角平分線可得，所以，所以，同理可得，則根據(jù)即可求解．
【詳解】
∵四邊形是平行四邊形，
∴AD∥BC，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是依據(jù)數(shù)學(xué)模型“角平分線＋平行線等腰三角形”轉(zhuǎn)化線段．
10．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在平行四邊形中，，．連接AC，過(guò)點(diǎn)B作，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，交BC于點(diǎn)F．若，則四邊形ABEC的面積為（???????）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先證明四邊形ABEC為矩形，再求出AC，即可求出四邊形ABEC的面積．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，
∵，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∵，
∴，
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴AF=BF，
∴2AF=2BF，
即BC=AE，
∴平行四邊形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴,
∴矩形ABEC的面積為．
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟知相關(guān)定理，證明四邊形ABEC為矩形是解題關(guān)鍵．
11．（2022·黑龍江·雞西市第一中學(xué)校九年級(jí)期末）已知在平行四邊形中，點(diǎn)在直線上，，連接交于點(diǎn)，則的值是________．
【答案】或
【解析】
【分析】
分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，由四邊形ABCD是平行四邊形，可證得△EFD∽△CFB，求出DE：BC＝2：3，即可求得EF：FC的值；
②當(dāng)點(diǎn)E在射線DA上時(shí)，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC＝4：3，即可求得EF：FC的值．
【詳解】
解：∵，
∴分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，如圖1所示

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ADBC，AD＝BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF：FC＝DE：BC，
∵，
∴DE＝2AE＝AD＝BC，
∴DE：BC＝2：3，
∴EF：FC＝2：3；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示：

同①得：△EFD∽△CFB，
∴EF：FC＝DE：BC，
∵，
∴DE＝4AE＝AD＝BC，
∴DE：BC＝4：3，
∴EF：FC＝4：3；
綜上所述：EF：FC的值是或；
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；注意分情況討論．
12．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，連接，若的周長(zhǎng)為28，則的周長(zhǎng)為______．

【答案】14
【解析】
【分析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得，再證明OE為線段BD的垂直平分線，則BE=ED，由的周長(zhǎng)=即可求解．
【詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵平行四邊形的周長(zhǎng)為28，
∴，
∵，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∴的周長(zhǎng)．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及中垂線的性質(zhì)，證明是線段的垂直平分線是解答的關(guān)鍵．
13．（2021·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，E是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，．

（1）求證：；
（2）若的面積為2，求四邊形的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）16
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，證明兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似即可．
（2）首先證明，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方，即可求出的面積，由此即可解決問(wèn)題．
【詳解】
解：（1）四邊形是平行四邊形
，

（2）解：四邊形是平行四邊形，
，平行且等于，
，，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟悉相似三角形的性質(zhì)和判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
14．（2021·黑龍江訥河·九年級(jí)期中）如圖，中，，，，P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），且交AB于E，且交AD于F，則陰影部分的面積為（???????）

A．5 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行四邊形的性質(zhì)及判定定理可判斷四邊形AEPF為平行四邊形，EF、AP為平行四邊形AEPF的對(duì)角線，設(shè)交點(diǎn)為O，則EF、AP相互平分，從而證得△POF≌△AOE，則陰影部分的面積等于△ABC的面積．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∵PE∥BC，
∴PE∥AD
∵PF∥CD，
∴PF∥AB，
∴四邊形AEPF為平行四邊形．
設(shè)平行四邊形AEPF的對(duì)角線AP、EF相交于O，則AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF
∴△POF≌△AOE，
∴圖中陰影部分的面積等于△ABC的面積，
過(guò)A作AM⊥BC交BC于M，

∵∠B＝60°，AB＝4，
∴BM=2
∴AM＝ =2，
S△ABC5×25，即陰影部分的面積等于5．
故答案選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，勾股定理以及全等三角形及三角形面積的求法，范圍較廣．
三練拔高
15．（2021·吉林·長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)M、N分別在邊AD、BC上，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，且，．

（1）求證：四邊形ENFM是平行四邊形．
（2）若點(diǎn)M是AD中點(diǎn)，，，，則________．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）只需要證明，得到，，從而得到，即可得到，從而得證；
（2）連接MN，由（1）得四邊形ENFM是平行四邊形，根據(jù)∠EMF=90°，即可證明四邊形ENFM是矩形，即可得到MN=EF，在證明四邊形ABNM為平行四邊形，得到
，最后利用勾股定理求解即可.
【詳解】
解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴．
∵，．
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴MF∥EN．
∴四邊形ENFM是平行四邊形．

（2）如圖，連接MN，由（1）得四邊形ENFM是平行四邊形，
∵∠EMF=90°，
∴四邊形ENFM是矩形，
∴MN=EF，
∵四邊形是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，
∴，
∴四邊形ABNM為平行四邊形，
∴，
∴.

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
16．（2021·黑龍江道外·三模）如圖，在中．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，連接、相交于點(diǎn)，連接、相交于點(diǎn)．
（1）如圖1，求證：四邊形為平行四邊形；

（2）如圖2，連接，若是的中點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中以為邊的所有平行四邊形．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）、、、
【解析】
【分析】
（1）由，可得，，由，可得四邊形AFCE為平行四邊形，可得AF∥CE，再證即可；
（2）以為邊的平行四邊形有、、、．由是的中點(diǎn)，證點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，可證四邊形AFCE與四邊形EBFD均為平行四邊形，可證△AME≌△END（ASA），可得AM=EN，可證四邊形AENM為平行四邊形即可；
【詳解】
（1）因?yàn)椋?br /> 所以，，
又因?yàn)椋?br /> 所以四邊形AFCE為平行四邊形，
所以AF∥CE，
因?yàn)锳D-AE=BC-CF，即DE=BF，
因?yàn)镈E∥BF，
所以四邊形為平行四邊形，
所以
所以四邊形為平行四邊形．
（2）以為邊的平行四邊形有、、、．
∵，
∴，，
∵是的中點(diǎn)，
∴AE=DE=，
∵，
∴CF=，
∴點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，
∴AE=DE=BF=CF，
∴四邊形AFCE與四邊形EBFD均為平行四邊形
∴AF∥EC，EB∥DF，
∴∠EAM=∠DEN，∠AEM=∠EDN，
在△AME和△END中

∴△AME≌△END（ASA）
∴AM=EN，
又∵AM∥EN，
∴四邊形AENM為平行四邊形，
∴AE∥MN，且AE=MN，
∴ED∥MN，且ED=MN，
∴四邊形EDNM為平行四邊形，
∴BF∥MN，且BF=MN，
∴四邊形BMNF為平行四邊形，
∴FC∥MN，且FC=MN，
∴四邊形FCNM為平行四邊形，
∴以為邊的平行四邊形有、、、．

【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．
17．（2020·安徽·合肥市五十中學(xué)西校一模）如圖，AM是ABC的中線，D是線段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DE∥AB交AC于點(diǎn)F，CE∥AM，連接AE．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，求證：AB＝ED；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形ABDE的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)H，若BH⊥AC，且BH＝AM．當(dāng)FH＝，DM＝6時(shí)，求DH的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）平行四邊形，見(jiàn)解析；（3）DH＝1+
【解析】
【分析】
（1）由平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可證△ABD≌△EDC，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出四邊形DMGE是平行四邊形，借助（1）的結(jié)論即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出MI∥BH，MI＝BH，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．設(shè)DH＝x，則AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四邊形ABDE是平行四邊形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可；
【詳解】
（1）∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，
∴BD＝DC，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED；
（2）四邊形ABDE是平行四邊形，
理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MG∥DE交CE于G，

∵CE∥AM，
∴四邊形DMGE是平行四邊形，
∴ED＝GM，且ED∥GM，
由（1）知，AB＝GM，
∴AB＝DE，
又∵AB∥DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；
（3）如圖3取線段CH的中點(diǎn)I，連接MI，

∵BM＝MC，
∴MI是△BHC的中位線，
∴MI∥BH，MI＝BH，
∵BH⊥AC，且BH＝AM，
∴MI＝AM，MI⊥AC，
∴∠CAM＝30°．
設(shè)DH＝x，則AH＝x，AD＝2x，
∴AM＝6+2x，
∴BH＝6+2x，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴DF∥AB，
∴，
∴
解得x＝1+或1﹣（負(fù)值舍去），
∴DH＝1+．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是全等三角形的證明，平行四邊形的判定，平行線分線段成比例，一元二次方程的求解，正確理解題意，掌握三角形的判定，平行四邊形的判定和正確的做出圖形，是解題的關(guān)鍵．

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