?第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列
第一節(jié) 　排列、組合
本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：　1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理；　2.排列、組合問題.
突破點(diǎn)(一)　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理　


1．分類加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．
2．分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．
3．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的比較
名稱
分類加法計(jì)數(shù)原理
分步乘法計(jì)數(shù)原理
相同點(diǎn)
都是解決完成一件事的不同方法的種數(shù)問題
不同點(diǎn)
運(yùn)用加法運(yùn)算
運(yùn)用乘法運(yùn)算
分類完成一件事，并且每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立完成這件事情，要注意“類”與“類”之間的獨(dú)立性和并列性．分類計(jì)數(shù)原理可利用“并聯(lián)”電路來理解
分步完成一件事，并且只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事情，要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性．分步計(jì)數(shù)原理可利用“串聯(lián)”電路來理解

1．判斷題
(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．(　　)
(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．(　　)
(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．填空題
(1)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)是________．
解析：從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6(種)．
答案：6
(2)從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有________個(gè)．
解析：∵a＋bi為虛數(shù)，∴b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×6＝36個(gè)虛數(shù)．
答案：36
(3)書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第3層放有6本不同的體育書．從第1,2,3層分別各取1本書，則不同的取法種數(shù)為________．
解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3層分別各取1本書不同的取法種數(shù)為4×5×6＝120.
答案：120




分類加法計(jì)數(shù)原理
能用分類加法計(jì)數(shù)原理解決的問題具有以下特點(diǎn)：
(1)完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類．
(2)用每一類中的每一種方法都可以完成這件事．
(3)把各類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
[例1]　(1)三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(　　)
A．4種 B．6種
C．10種 D．16種
(2)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為(　　)
A．14 B．13
C．12 D．10
[解析]　(1)分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件的有3種方法(如圖)，

同理，甲先踢給丙時(shí)，滿足條件有3種方法．
由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3＋3＝ 6種傳遞方式．
(2)①當(dāng)a＝0時(shí)，有x＝－，b＝－1,0,1,2，有4種可能；
②當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，
(ⅰ)當(dāng)a＝－1時(shí)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；
(ⅱ)當(dāng)a＝1時(shí)，b＝－1,0,1，有3種可能；
(ⅲ)當(dāng)a＝2時(shí)，b＝－1,0，有2種可能．
∴有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.
[答案]　(1)B　(2)B
[易錯(cuò)提醒]
(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．
(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．　　


分步乘法計(jì)數(shù)原理
能用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問題具有以下特點(diǎn)：
(1)完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可．
(2)完成每一步有若干種方法．
(3)把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
[例2]　(1)從－2,0,1,8這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(gè)(用數(shù)字作答)．

(2)如圖，某電子器件由3個(gè)電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，那么焊接點(diǎn)脫落的可能情況共有________種．
[解析]　(1)一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3×3×2＝18個(gè)二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同理可知共有3×2＝6個(gè)偶函數(shù)．
(2)因?yàn)槊總€(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個(gè)焊接點(diǎn)脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能情況．
[答案]　(1)18　6　(2)63



[易錯(cuò)提醒]
(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．
(2)謹(jǐn)記分步必須滿足的兩個(gè)條件：一是各步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．　　

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合問題
在解決實(shí)際問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而可能是同時(shí)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，即分類時(shí)，每類的方法可能要運(yùn)用分步完成，而分步時(shí)，每步的方法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求解．分類的關(guān)鍵在于做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步．
[例3]　(1)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　)
A．144個(gè) B．120個(gè)
C．96個(gè) D．72個(gè)
(2)如圖矩形的對(duì)角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法．
[解析]　(1)由題意可知，符合條件的五位數(shù)的萬位數(shù)字是4或5.當(dāng)萬位數(shù)字為4時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2中任選一個(gè)，共有2×4×3×2＝48個(gè)偶數(shù)；當(dāng)萬位數(shù)字為5時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2,4中任選一個(gè)，共有3×4×3×2＝72個(gè)偶數(shù)．故符合條件的偶數(shù)共有48＋72＝120(個(gè))．
(2)區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時(shí)區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法，所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260種涂色方法．
[答案]　(1)B　(2)260
[方法技巧]
使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)的基本思想
對(duì)需用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決的綜合問題要“先分類，再分步”，即先分為若干個(gè)“既不重復(fù)也不遺漏”的類，再對(duì)每類中的計(jì)數(shù)問題分成若干個(gè)“完整的步驟”，求出每個(gè)步驟的方法數(shù)，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算各類中的方法數(shù)，最后再按照分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)．　　




1.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為(　　)
A．504 B．210
C．336 D．120
解析：選A　分三步，先插一個(gè)新節(jié)目，有7種方法，再插第二個(gè)新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個(gè)節(jié)目，有9種方法．故共有7×8×9＝504種不同的插法．
2.某電話局的電話號(hào)碼為139××××××××，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)為(　　)
A．20 B．25
C．32 D．60
解析：選C　依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合題意的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)為25＝32.
3.從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：選D　先考慮遞增數(shù)列，以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.
以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8.
以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9.
同理可得到4個(gè)遞減數(shù)列，
∴所求的數(shù)列的個(gè)數(shù)為2(2＋1＋1)＝8.
4.在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”．比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有________個(gè)．
解析：十位數(shù)的數(shù)為1時(shí)，有213,214,312,314,412,413，共6個(gè)，十位上的數(shù)為2時(shí)，有324,423，共2個(gè)，所以共有6＋2＝8(個(gè))．
答案：8
5.如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有________種．
解析：按區(qū)域1與3是否同色分類．
①區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3，有4種方法，
再涂區(qū)域2,4,5(還有3種顏色)，有3×2×1＝6種方法．
所以區(qū)域1與3涂同色時(shí)，共有4×6＝24種方法．
②區(qū)域1與3不同色：先涂區(qū)域1與3，有4×3＝12種方法，
第二步，涂區(qū)域2有2種涂色方法，
第三步，涂區(qū)域4只有一種方法，
第四步，涂區(qū)域5有3種方法．
所以這時(shí)共有12×2×1×3＝72種方法．
故由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法的種數(shù)為24＋72＝96.
答案：96
突破點(diǎn)(二)　排列、組合問題　


1．排列與排列數(shù)
排列
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列
排列數(shù)
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作A
2.組合與組合數(shù)
組合
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合
組合數(shù)
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作C
3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

排列數(shù)
組合數(shù)
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝＝
性質(zhì)
A＝n??；0?。?
C＝1；C＝C_；C＋C＝C
備注
n，m∈N*且m≤n




4．排列與組合的區(qū)別
排列
組合
排列與順序有關(guān)
組合與順序無關(guān)
兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列的元素及其排列順序完全相同
兩個(gè)組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)組合的元素完全相同


1．判斷題
(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(　　)
(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(　　)
(3)若組合式C＝C，則x＝m成立．(　　)
(4)(n＋1)?。璶?。絥·n！.(　　)
(5)A＝nA.(　　)
(6)kC＝nC.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
2．填空題
(1)A、B、C、D、E五人并排站成一排，不同的排法共有________種．
答案：120
(2)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了畢業(yè)留言________條．
解析：由題意，得畢業(yè)留言共A＝1 560(條)．
答案：1 560
(3)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙兩人所選的課程中恰有1門相同的選法有________種．
解析：依題意得知，滿足題意的選法共有C·C·C＝24(種)．
答案：24
(4)方程3A＝2A＋6A的解為________．
解析：由排列數(shù)公式可知3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
∵x≥3且x∈N*，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，解得x＝5或x＝(舍去)，∴x＝5.
答案：5
(5)已知－＝，則m＝________.
解析：由已知得m的取值范圍為，原等式可化為－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.
答案：2




排列問題
[例1]　(1)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．192種 B．216種
C．240種 D．288種
(2)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．
[解析]　(1)第一類：甲在最左端，有A＝120種排法；
第二類：乙在最左端，有4A＝96種排法，
所以共有120＋96＝216種排法．
(2)記其余兩種產(chǎn)品為D，E，由于A，B相鄰，則視為一個(gè)元素，先與D，E排列，有AA種方法．再將C插入，僅有3個(gè)空位可選，共有AAC＝2×6×3＝36種不同的擺法．
[答案]　(1)B　(2)36

[方法技巧]　　求解排列問題的六種主要方法
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算
優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中
定序問題除法處理
對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
間接法
正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法






組合問題
組合問題的常見題型及解題思路
常見題型
一般有選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題等
解題思路
(1)分清問題是否為組合問題；
(2)對(duì)較復(fù)雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”，一般是先整體分類，然后局部分步，將復(fù)雜問題通過兩個(gè)計(jì)數(shù)原理化歸為簡(jiǎn)單問題
[例2]　(1)某學(xué)校為了迎接市春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，從5名男生和4名女生組成的田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為(　　)
A．85 B．86
C．91 D．90
(2)設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為(　　)
A．130 B．120
C．90 D．60
(3)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答)．
[解析]　(1)法一(直接法)：由題意，可分三類考慮：第1類，男生甲入選，女生乙不入選的方法種數(shù)為：CC＋CC＋C＝31；
第2類，男生甲不入選，女生乙入選的方法種數(shù)為：CC＋CC＋C＝34；
第3類，男生甲入選，女生乙入選的方法種數(shù)為：C＋CC＋C＝21.
所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為31＋34＋21＝86.
法二(間接法)：從5名男生和4名女生中任意選出4人，男、女生都有的選法有C－C－C＝120種；男、女生都有，且男生甲與女生乙都沒有入選的方法有C－C＝34種．所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為120－34＝86.
(2)易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三種情況討論．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此時(shí)，從x1，x2，x3，x4，x5中任取一個(gè)讓其等于1或－1，其余等于0，于是有CC＝10種情況；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此時(shí)，從x1，x2，x3，x4，x5中任取兩個(gè)讓其都等于1或都等于－1或一個(gè)等于1、另一個(gè)等于－1，其余等于0，于是有2C＋CC＝40種情況；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此時(shí)，從x1，x2，x3，x4，x5中任取三個(gè)讓其都等于1或都等于－1或兩個(gè)等于1、另一個(gè)等于－1或兩個(gè)等于－1、另一個(gè)等于1，其余等于0，于是有2C＋CC＋CC＝80種情況．
所以滿足條件的元素個(gè)數(shù)為10＋40＋80＝130.
(3)從8人中選出4人，且至少有1名女學(xué)生的選法種數(shù)為C－C＝55.
從4人中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人的選法為A＝12種．
故總共有55×12＝660種選法．
[答案]　(1)B　(2)A　(3)660
[方法技巧]
有限制條件的組合問題的解法
組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型．“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取．
(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型．考慮逆向思維，用間接法處理．　　


分組分配問題
分組分配問題是排列、組合問題的綜合運(yùn)用，解決這類問題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配．關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分三種，無論分成幾組，都應(yīng)注意只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．
[例3]　(1)教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．
(2)某科室派出4名調(diào)研員到3個(gè)學(xué)校，調(diào)研該校高三復(fù)習(xí)備考近況，要求每個(gè)學(xué)校至少一名，則不同的分配方案種數(shù)為________．
(3)若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．
[解析]　(1)先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A＝6種方法，故將6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有·A＝90種不同的分派方法．
(2)分兩步完成：第一步，將4名調(diào)研員按2,1,1分成三組，其分法有種；第二步，將分好的三組分配到3個(gè)學(xué)校，其分法有A種，所以滿足條件的分配方案有·A＝36種．
(3)將6名教師分組，分三步完成：
第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種分法；
第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種分法；
第3步，余下的3名教師作為一組，有C種分法．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CCC＝60種分法．
再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A＝6種分法，
故共有60×6＝360種不同的分法．
[答案]　(1)90　(2)36　(3)360
[方法技巧]　　分組分配問題的三種類型及求解策略
類型
求解策略
整體均分
解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)
部分均分
解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)
不等分組
只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)


　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行．則安排這6項(xiàng)工程的不同方法種數(shù)為(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
解析：選B　因?yàn)楣こ瘫瓿珊罅⒓催M(jìn)行工程丁，若不考慮與其他工程的順序，則安排這6項(xiàng)工程的不同方法數(shù)為A，對(duì)于甲、乙、丙、丁所處位置的任意排列有且只有一種情況符合要求，因此，符合條件的安排方法種數(shù)為＝5×4＝20.
2.世界華商大會(huì)的某分會(huì)場(chǎng)有A，B，C三個(gè)展臺(tái)，將甲、乙、丙、丁共4名“雙語”志愿者分配到這三個(gè)展臺(tái)，每個(gè)展臺(tái)至少1人，其中甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)的不同分法的種數(shù)為(　　)
A．12 B．10
C．8 D．6
解析：選D　∵甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)，∴可以把甲與乙捆在一起，看成一個(gè)人，然后將3個(gè)人分到3個(gè)展臺(tái)上進(jìn)行全排列，即有A種，∴甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)的不同分法的種數(shù)為A＝6.



3.某局安排3名副局長(zhǎng)帶5名職工去3地調(diào)研，每地至少去1名副局長(zhǎng)和1名職工，則不同的安排方法總數(shù)為(　　)
A．1 800 B．900
C．300 D．1 440
解析：選B　分三步：第一步，將5名職工分成3組，每組至少1人，則有種不同的分組方法；第二步，將這3組職工分到3地有A種不同的方法；第三步，將3名副局長(zhǎng)分到3地有A種不同的方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的安排方案共有·AA＝900(種)，故選B.
4.用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)
解析：(1)有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有CCA＝960個(gè)．
(2)沒有偶數(shù)的四位數(shù)有A＝120個(gè)．故這樣的四位數(shù)一共有960＋120＝1 080個(gè)．
答案：1 080
5.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________．
解析：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法有CC＝264種．第二類，不含有紅色卡片，不同的取法有C－3C＝220－12＝208種．由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為264＋208＝472.
答案：472
[全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律]
1．安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　)
A．12種 B．18種
C．24種 D．36種
解析：選D　第一步：將4項(xiàng)工作分成3組，共有C種分法．
第二步：將3組工作分配給3名志愿者，共有A種分配方法，故共有C·A＝36種安排方法．
2．如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　)

A．24 B．18
C．12 D．9
解析：選B　分兩步：第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B.
3．定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　)
A．18個(gè) B．16個(gè)
C．14個(gè) D．12個(gè)
解析：選C　當(dāng)m＝4時(shí)，數(shù)列{an}共有8項(xiàng)，其中4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1，要滿足對(duì)任意k≤8，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，則必有a1＝0，a8＝1，a2可為0，也可為1.(1)當(dāng)a2＝0時(shí)，分以下3種情況：①若a3＝0，則a4，a5，a6，a7中任意一個(gè)為0均可，則有C＝4種情況；②若a3＝1，a4＝0，則a5，a6，a7中任意一個(gè)為0均可，有C＝3種情況；③若a3＝1，a4＝1，則a5必為0，a6，a7中任意一個(gè)為0均可，有C＝2種情況；(2)當(dāng)a2＝1時(shí)，必有a3＝0，分以下2種情況：①若a4＝0，則a5，a6，a7中任一個(gè)為0均可，有C＝3種情況；②若a4＝1，則a5必為0，a6，a7中任一個(gè)為0均可，有C＝2種情況．綜上所述，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14(個(gè))，故選C.
4．有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組．則不同的選法共有(　　)
A．60種 B．70種
C．75種 D．150種
解析：選C　從6名男醫(yī)生中選出2名有C種選法，從5名女醫(yī)生中選出1名有C種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選法共有C·C＝75(種)．故選C.
[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]

[小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)]
對(duì)點(diǎn)練(一)　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一個(gè)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．14
C．15 D．21
解析：選B　當(dāng)x＝2時(shí)，x≠y，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×7＝7個(gè)．當(dāng)x≠2時(shí)，由P?Q，∴x＝y(tǒng)，∴x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法，因此滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是7＋7＝14.
2．設(shè)集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個(gè)數(shù)是(　　)
A．7 B．10
C．25 D．52
解析：選B　因?yàn)榧螦＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2種取法，y有5種取法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得有2×5＝10(個(gè))．
3．某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈(zèng)送方法共有(　　)
A．4種 B．10種
C．18種 D．20種
解析：選B　贈(zèng)送1本畫冊(cè)，3本集郵冊(cè)．需從4人中選取1人贈(zèng)送畫冊(cè)，其余贈(zèng)送集郵冊(cè)，有4種方法．贈(zèng)送2本畫冊(cè)，2本集郵冊(cè)，只需從4人中選出2人贈(zèng)送畫冊(cè)，其余2人贈(zèng)送集郵冊(cè)，有6種方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的贈(zèng)送方法有4＋6＝10(種)．
4．用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)
A．243 B．252
C．261 D．279
解析：選B　0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900個(gè)三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648個(gè)，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900－648＝252.
5．有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為(　　)
A．24 B．14
C．10 D．9
解析：選B　第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4×3＝12種方式；第二類：選2套連衣裙中的一套服裝有2種選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有12＋2＝14種選擇方式．
6.如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為________．
解析：先染頂點(diǎn)S，有5種染法，再染頂點(diǎn)A有4種染法，染頂點(diǎn)B有3種染法，頂點(diǎn)C的染法有兩類：若C與A同色，則頂點(diǎn)D有3種染法；若C與A不同色，則C有2種染法，D有2種染法，所以共有5×4×3×3＋5×4×3×2×2＝420種染色方法．
答案：420


對(duì)點(diǎn)練(二)　排列、組合問題
1．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有(　　)
A．34種 B．48種
C．96種 D．144種
解析：選C　特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個(gè)位置，有C種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個(gè)元素，與其余三個(gè)元素全排列，最后乙、丙可以換位，故共有C·A·A＝96種排法，故選C.
2．將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
解析： 選B　將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么必然是一個(gè)宿舍2名，而另一個(gè)宿舍3名，共有CCA＝20(種)．
3．“住房”“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”成為現(xiàn)今社會(huì)關(guān)注的五個(gè)焦點(diǎn)．小趙想利用國(guó)慶節(jié)假期調(diào)查一下社會(huì)對(duì)這些熱點(diǎn)的關(guān)注度．若小趙準(zhǔn)備按照順序分別調(diào)查其中的4個(gè)熱點(diǎn)，則“住房”作為其中的一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)，但不作為第一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)的種數(shù)為(　　)
A．13 B．24
C．18 D．72
解析：選D　可分三步：第一步，先從“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”這4個(gè)熱點(diǎn)中選出3個(gè)，有C種不同的選法；第二步， 在調(diào)查時(shí)，“住房”安排的順序有A種可能情況；第三步，其余3個(gè)熱點(diǎn)調(diào)查的順序有A種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同調(diào)查順序的種數(shù)為CAA＝72.
4．將甲、乙等5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)
A．18種 B．24種
C．36種 D．72種
解析：選C　1個(gè)路口3人，其余路口各1人的分配方法有CA種.1個(gè)路口1人，2個(gè)路口各2人的分配方法有CA種，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，甲、乙在同一路口的分配方案為CA＋CA＝36(種)．
5．某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有(　　)
A．72種 B．36種
C．24種 D．18種
解析：選B　A(CC＋CC)＝36(種)．
6．7位身高均不等的同學(xué)排成一排照相，要求中間最高，依次往兩端身高逐漸降低，共有________種排法．
解析：先排最中間位置有1種排法，再排左邊3個(gè)位置，由于順序一定，共有C種排法，再排剩下右邊三個(gè)位置，共1種排法，所以排法種數(shù)為C＝20.
答案：20
7．把座位編號(hào)為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．
解析：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開，分為四部分且不存在三連號(hào)．在4個(gè)空位插3個(gè)板子，共有C＝4種情況，再對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，有A＝24種情況，則共有4×24＝96種情況．
答案：96
8．若把英語單調(diào)“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤種數(shù)共有________種．
解析：把g，o，o，d 4個(gè)字母排一行，可分兩步進(jìn)行，第一步：排g和d，共有A種排法；第二步：排兩個(gè)o，共1種排法，所以總的排法種數(shù)為A＝12種．其中正確的有一種，所以錯(cuò)誤的共A－1＝12－1＝11(種)．
答案：11

[大題綜合練——遷移貫通]
1．從4名男同學(xué)中選出2人，6名女同學(xué)中選出3人，并將選出的5人排成一排．
(1)共有多少種不同的排法？
(2)若選出的2名男同學(xué)不相鄰，共有多少種不同的排法？(用數(shù)字表示)
解：(1)從4名男生中選出2人，有C種選法，
從6名女生中選出3人，有C種選法，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知選出5人，再把這5個(gè)人進(jìn)行排列共有CCA＝14 400(種)．
(2)在選出的5個(gè)人中，若2名男生不相鄰，則第一步先排3名女生，第二步再讓男生插空，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有CCAA＝8 640(種)．






2．有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：
(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；
(2)某女生一定擔(dān)任語文科代表；
(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表；
(4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．
解：(1)先選后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先選有CC＋CC種情況，后排有A種情況，則符合條件的選法數(shù)為(CC＋CC)·A＝5 400.
(2)除去該女生后，先選后排，則符合條件的選法數(shù)為C·A＝840.
(3)先選后排，但先安排該男生，則符合條件的選法數(shù)為C·C·A＝3 360.
(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有C種情況，再安排該男生有C種情況，選出的3人全排有A種情況，則符合條件的選法數(shù)為C·C·A＝360.

3．有編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)盒子和四個(gè)小球，把小球全部放入盒子．
(1)共有多少種放法？
(2)恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？
(3)恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，有多少種放法？
解：(1)∵1號(hào)球可放入任意一個(gè)盒子內(nèi)，有4種放法．同理，2,3,4號(hào)小球也各有4種放法，∴共有44＝256種放法．
(2)恰有一個(gè)空盒，則這4個(gè)盒子中只有3個(gè)盒子內(nèi)有小球，且小球數(shù)只能是1,1,2.
先從4個(gè)小球中任選2個(gè)放在一起，有C種方法，然后與其余2個(gè)小球看成三組，分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子中，有A種放法．
∴由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有CA＝144種不同的放法．
(3)恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，也就是把4個(gè)小球只放入2個(gè)盒子內(nèi)，有兩類放法：
①一個(gè)盒子內(nèi)放1個(gè)球，另一個(gè)盒子內(nèi)放3個(gè)球．
先把小球分為兩組，一組1個(gè)，另一組3個(gè)，有C種分法，
再放到2個(gè)盒子內(nèi)，有A種放法，共有CA種放法；
②把4個(gè)小球平均分成2組，每組2個(gè)，有種分法，放入2個(gè)盒子內(nèi)，有A種放法，共有CA種放法．
∴由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有CA＋CA＝84種不同的放法．



第二節(jié) 二項(xiàng)式定理
本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：　
1.二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用；　2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

突破點(diǎn)(一)　二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用　



1．二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)
展開式
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)式
的通項(xiàng)
Tk＋1＝Can－kbk為展開式的第k＋1項(xiàng)

2．二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)
二項(xiàng)式
系數(shù)
二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
項(xiàng)的
系數(shù)
項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念．如(a＋bx)n的展開式中，第r＋1項(xiàng)的系數(shù)是Can－rbr


1．判斷題
(1)Can－rbr是(a＋b)n的展開式中的第r項(xiàng)．(　　)
(2)在(a＋b)n的展開式中，每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)．(　　)
(3)(a＋b)n展開式中某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同．(　　)
(4)(a＋b)n某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．填空題
(1)已知a>0，6展開式的常數(shù)項(xiàng)為15，則a＝________.
解析：Tr＋1＝C(－1)ra6－rx－3＋，由－3＋＝0，得r＝2，
∴常數(shù)項(xiàng)為T3＝Ca4＝15，且a＞0，可得a＝1.
答案：1
(2)(1－2x)7展開式中x3的系數(shù)為________．
解析：Tr＋1＝C17－r(－2x)r＝C(－2)rxr，令r＝3，
得x3的系數(shù)為C(－2)3＝35×(－8)＝－280.
答案：－280
(3)8的展開式中的有理項(xiàng)共有________項(xiàng)．
解析：∵Tr＋1＝C()8－rr＝rCx，∴r為4的倍數(shù)，故r＝0,4,8，共3項(xiàng)．
答案：3
(4)若(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝________.
解析：(1＋3x)n的展開式中含x5的項(xiàng)為C(3x)5＝C35x5，展開式中含x6的項(xiàng)為C36x6.
由兩項(xiàng)的系數(shù)相等得C·35＝C·36，解得n＝7.
答案：7



形如(a＋b)n的展開式問題
[例1]　(1)5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　)　　　　　　　　
A．80 B．－80
C．40 D．－40
(2)在6的展開式中，若x4的系數(shù)為－3，則a＝________.
(3)二項(xiàng)式n的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為________．
[解析]　(1)∵Tr＋1＝C(x2)5－rr＝(－2)rC·x10－5r，由10－5r＝0，得r＝2，
∴T3＝(－2)2C＝40.
(2)6的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Cx6－rr＝Crx6－2r，
令6－2r＝4，則r＝1，所以x4的系數(shù)為C1＝－3，解得a＝1.
(3)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Cx3n－3rx－2r＝Cx3n－5r，令3n－5r＝0，得n＝(r＝0,1,2，…，n)，故當(dāng)r＝3時(shí)，n有最小值5.
[答案]　(1)C　(2)1　(3)5
[方法技巧]
二項(xiàng)展開式問題的常見類型及解法
(1)求展開式中的特定項(xiàng)或其系數(shù)．可依據(jù)條件寫出第k＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出k值即可．
(2)已知展開式的某項(xiàng)或其系數(shù)求參數(shù)．可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫出第k＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出k值，最后求出其參數(shù)．　　


形如(a＋b)m(c＋d)n的展開式問題

[例2]　(1)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則ɑ＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)在(2x＋1)(x－1)5的展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)
[解析]　(1)展開式中含x2的系數(shù)為C＋aC＝5，解得a＝－1.
(2)由題易得二項(xiàng)式的展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為C(－1)2＋2C(－1)3＝－10.
[答案]　(1)D　(2)－10
[方法技巧]
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路
(1)若n，m中一個(gè)比較小，可考慮把它展開得到多個(gè)，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．
(2)觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項(xiàng)公式，綜合考慮．　　


形如(a＋b＋c)n的展開式問題

[例3]　(1)(x2＋x＋y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
(2)(2018·太原模擬)5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是________．
[解析]　(1)(x2＋x＋y)5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，
令r＝2，則T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展開式的通項(xiàng)為C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，
令6－k＝5，則k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為CC＝30，故選C.
(2)由5＝5，則其通項(xiàng)公式為(－1)5－rCr(0≤r≤5)，其中r的通項(xiàng)公式為2r－tCxr－2t(0≤t≤r)．令r－2t＝0，得或或
所以5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(－1)5C＋(－1)3C×2C＋(－1)1C×22C＝－161.
[答案]　(1)C　(2)－161

[方法技巧]　求形如(a＋b＋c)n展開式中特定項(xiàng)的步驟


1.6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：選D　Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，令12－3r＝0得r＝4，
所以常數(shù)項(xiàng)為4C＝.
2.設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為(　　)
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
解析：選A　Tr＋1＝Cx6－rir，由6－r＝4得r＝2.故T3＝Cx4i2＝－15x4.故選A.
3.在10的展開式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)為(　　)
A．10 B．30
C．45 D．120
解析：選C　因?yàn)?0＝10＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…＋C10，所以x2項(xiàng)只能在(1＋x)10的展開式中，所以含x2的項(xiàng)為Cx2，系數(shù)為C＝45.
4.(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是(　　)
A．56 B．84
C．112 D．168
解析：選D　(1＋x)8的展開式中x2的系數(shù)為C，(1＋y)4的展開式中y2的系數(shù)為C，所以x2y2的系數(shù)為CC＝168.
5.(x＋2)2(1－x)5中x7的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之差的絕對(duì)值為(　　)
A．5 B．3
C．2 D．0
解析：選A　常數(shù)項(xiàng)為C×22×C＝4，x7的系數(shù)為C×C(－1)5＝－1，因此x7的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之差的絕對(duì)值為5.
6.在4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________．
解析：易知4的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C(－1)4－r·r，又r的展開式的通項(xiàng)Rm＋1＝C(－x－1)mxr－m＝C(－1)mxr－2m，∴Tr＋1＝C(－1)4－r·C(－1)mxr－2m，令r－2m＝0，得r＝2m，∵0≤r≤4，∴0≤m≤2，∴當(dāng)m＝0,1,2時(shí)，r＝0,2,4，故常數(shù)項(xiàng)為T1＋T3＋T5＝C(－1)4＋C(－1)2·C(－1)1＋C(－1)0·C(－1)2＝－5.
答案：－5
突破點(diǎn)(二)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用　


二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性：當(dāng)0≤k≤n時(shí)，C＝.
(2)二項(xiàng)式系數(shù)的最值：二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cn；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為.
(3)二項(xiàng)式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.



1．判斷題
(1)在二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)．(　　)
(2)在(1－x)9的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)和第6項(xiàng)．(　　)
(3)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．填空題
(1)若m的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是________．
解析：由題意可知2m＝128，∴m＝7，
∴展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C(3x)7－r·r＝C37－r(－1)rx7－，
令7－r＝－3，解得r＝6，∴的系數(shù)為C37－6(－1)6＝21.
答案：21
(2)若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
解析：令x＝0，得－1＝a0；令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1.
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2.
答案：2



二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的問題
賦值法在求各項(xiàng)系數(shù)和中的應(yīng)用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可．
(2)對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)．
①奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，
②偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.



[例1]　(1)已知(1＋x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為(　　)
A．212 B．211
C．210 D．29
(2)若(1－3x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a1＋a2＋a3＋a4＝________.
[解析]　(1)∵(1＋x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
∴C＝C，解得n＝10.從而C＋C＋C＋…＋C＝210，
∴奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C＋C＋…＋C＝29.
(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－3)4＝16.
又令x＝0，得a0＝(1－0)4＝1.因此a1＋a2＋a3＋a4＝15.
[答案]　(1)D　(2)15
[易錯(cuò)提醒]
(1)利用賦值法求解時(shí)，注意各項(xiàng)的系數(shù)是指某一項(xiàng)的字母前面的數(shù)值(包括符號(hào))；
(2)在求各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值的和時(shí)，首先要判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，然后將絕對(duì)值去掉，再進(jìn)行賦值．　　


二項(xiàng)式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題
求解二項(xiàng)式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題的一般步驟
第一步，要弄清所求問題是“展開式系數(shù)最大”、“二項(xiàng)式系數(shù)最大”兩者中的哪一個(gè)．
第二步，若是求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)求解．若是求展開式系數(shù)的最大值，有兩個(gè)思路，如下：思路一：由于二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是關(guān)于正整數(shù)n的式子，可以看作關(guān)于n的數(shù)列，通過判斷數(shù)列單調(diào)性的方法從而判斷系數(shù)的增減性，并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的最值．
思路二：由于展開式系數(shù)是離散型變量，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求最大值只需解不等式組即可求得答案．
[例2]　(1)在(1＋x)n(x∈N*)的二項(xiàng)展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
(2)在5的展開式中x3的系數(shù)等于－5，則該展開式各項(xiàng)的系數(shù)中最大值為(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析]　(1)二項(xiàng)式中僅x5項(xiàng)系數(shù)最大，其最大值必為Cn，即得＝5，解得n＝10.
(2)由Tr＋1＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，r＝0,1，2，…，5，由5－2r＝3，解得r＝1，所以(－a)C＝－5a＝－5，解得a＝1，所以Tr＋1＝(－1)rCx5－2r，r＝0,1,2，…，5，當(dāng)r＝0時(shí)，(－1)rC＝1；當(dāng)r＝2時(shí)，(－1)2C＝10；當(dāng)r＝4時(shí)，(－1)4C＝5.所以該展開式各項(xiàng)的系數(shù)中最大值為10.故選B.
[答案]　(1)C　(2)B


1.已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，則a2＋a3＋…＋a9＋a10的值為(　　)
A．－20 B．0
C．1 D．20
解析：選D　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.
2.(x＋2y)7的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是________．
解析：(x＋2y)7的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝2rCx7－ryr.
由可得≤r≤.∵r＝0,1，…，7，∴r＝5.∴(x＋2y)7的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T6＝25Cx2y5＝672x2y5.
答案：672x2y5
3.(x－2y)6的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．
解析：二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4＝Cx3(－2y)3＝－160x3y3，故填－160.
答案：－160
4.(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a＝________.
解析：設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，
得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
答案：3
[全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
解析：選C　(1＋x)6展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為1×C＋1×C＝30.
2．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
解析：選C　當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取x時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含x2y3的項(xiàng)，即C(2x)2(－y)3，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取y時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含x3y2的項(xiàng)，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系數(shù)為C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.
3．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：選B　根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知：(x＋y)2m的二項(xiàng)式系數(shù)最大有一項(xiàng)，C＝a，(x＋y)2m＋1的二項(xiàng)式系數(shù)最大有兩項(xiàng)，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，將各選項(xiàng)中m的取值逐個(gè)代入驗(yàn)證，知m＝6滿足等式，所以選B.
4．(2x＋)5的展開式中，x3的系數(shù)是________．(用數(shù)字填寫答案)
解析：(2x＋)5展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·x5－.令5－＝3，得r＝4.
故x3的系數(shù)為25－4·C＝2C＝10.
答案：10
5．(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝________.(用數(shù)字填寫答案)
解析：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Cx10－rar，當(dāng)10－r＝7時(shí)，r＝3，所以T4＝Ca3x7，則Ca3＝15，故a＝.
答案：

[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]
[小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)]
對(duì)點(diǎn)練(一)　二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用
1．二項(xiàng)式10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(　　)
A．180 B．90
C．45 D．360
解析：選A　10的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C·()10－kk＝2kCx5－k，令5－k＝0，得k＝2，故常數(shù)項(xiàng)為22C＝180.
2．已知5的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a＝(　　)
A. B．－
C．6 D．－6
解析：選D　Tr＋1＝C()5－r·r＝C(－a)rx，由＝，解得r＝1.由C(－a)＝30，得a＝－6.故選D.
3．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為(　　)
A．30 B．20
C．15 D．10
解析：選C　(1＋x)6的展開式的第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝Cxr，則x(1＋x)6的展開式中含x3的項(xiàng)為Cx3＝15x3，所以系數(shù)為15.
4．(x2－x＋1)10展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為(　　)
A．－210 B．210
C．30 D．－30
解析：選A　(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為：－CC＋C(－C)＝－210，故選A.
5．已知(1＋3x)n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則n＝________.
解析：(1＋3x)n的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C3rxr，∴含有x2項(xiàng)的系數(shù)為C32＝54，∴n＝4.
答案：4
6．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是________．
解析：展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
答案：－121
7．(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案)
解析：x2y7＝x·(xy7)，其系數(shù)為C，x2y7＝y(tǒng)·(x2y6)，其系數(shù)為－C，
∴x2y7的系數(shù)為C－C＝8－28＝－20.
答案：－20

對(duì)點(diǎn)練(二)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
1．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A．1或3 B．－3
C．1 D．1或－3
解析：選D　令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.
2．若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．－2 B．－3
C．125 D．－131
解析：選C　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2，令x＝0，則a0＝1.又a8＝C(－2)7＝－128，所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.
3．在二項(xiàng)式(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為(　　)
A．－960 B．960
C．1 120 D．1 680
解析：選C　根據(jù)題意，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和也應(yīng)為128，所以在(1－2x)n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，即2n＝256，n＝8，則(1－2x)8的展開式的中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為1 120，故選C.
4．若n的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是(　　)
A．－10 B．10
C．－45 D．45
解析：選D　因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C·(x2)n－r·(－1)rx－＝C(－1)rx2n－，
所以＝，∴n＝10，∴Tr＋1＝C·(－1)r·x20－，令20－＝0，∴r＝8.
∴常數(shù)項(xiàng)為T9＝C(－1)8＝45.
5．在二項(xiàng)式n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開式中x的系數(shù)為________．
解析：因?yàn)槎?xiàng)式展開式中，偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等，所以2n－1＝256，
解得n＝9.所以二項(xiàng)式9的展開式中，通項(xiàng)為Tr＋1＝C(9x)9－r·r＝C99－r·rx9－r.令9－r＝1，解得r＝6，所以展開式中x的系數(shù)為C×93×6＝84.
答案：84
6．在二項(xiàng)式n的展開式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是________．
解析：∵在二項(xiàng)式n的展開式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴n＝8.∵8的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝(－1)rCx8－2r，令8－2r＝2，則r＝3，∴展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是－C＝－56.
答案：－56
7．在(x＋y)n的展開式中，若第7項(xiàng)系數(shù)最大，則n的值可能等于____________．
解析：根據(jù)題意，分三種情況：①若僅T7系數(shù)最大，則共有13項(xiàng)，n＝12；②若T7與T6系數(shù)相等且最大，則共有12項(xiàng)，n＝11；③若T7與T8系數(shù)相等且最大，則共有14項(xiàng)，n＝13.所以n的值可能等于11,12,13.
答案：11,12,13
[大題綜合練——遷移貫通]
1．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)∵(1－2x)7展開式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.

2．已知(1＋m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為112.
(1)求m，n的值；
(2)求展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
(3)求(1＋m)n(1－x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)．
解：(1)由題意可得2n＝256，解得n＝8.Tr＋1＝Cmrx，含x項(xiàng)的系數(shù)為Cm2＝112，
解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分別為2,8.
(2)展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為C＋C＋C＋C＋C＝28－1＝128.
(3)(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8，
所以含x2的系數(shù)為C24－C22＝1 008.
3．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展開式中x的系數(shù)為11.
(1)求x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值；
(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，求f(x)展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和．
解：(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11.
x2的系數(shù)為C＋22C＝＋2n(n－1)
＝＋(11－m)＝2＋.
∵m∈N*，∴m＝5時(shí)，x2的系數(shù)取得最小值22，此時(shí)n＝3.
(2)由(1)知，當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，m＝5，n＝3.
∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.
設(shè)f(x)的展開式為f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為30.

第三節(jié) 隨機(jī)事件的概率
本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：　1.隨機(jī)事件的頻率與概率；2.互斥事件與對(duì)立事件.
突破點(diǎn)(一)　隨機(jī)事件的頻率與概率　


1．事件的分類

2．頻率和概率
(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率．



1．判斷題
(1)“下周六會(huì)下雨”是隨機(jī)事件．(　　)
(2)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　)
(3)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事．(　　)
(4)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．填空題
(1)擲一枚均勻的硬幣兩次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．則P(M)＝________；P(N)＝________.
解析：擲一枚硬幣兩次，有四個(gè)基本事件：正反、正正、反正、反反．
故P(M)＝＝，P(N)＝.
答案：　
(2)在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為，當(dāng)n很大時(shí)，P(A)與的關(guān)系是________．(填“等于”或“約等于”)
解析：因頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值，所以P(A)≈.
答案：約等于
(3)給出下列三個(gè)說法，其中正確的有________個(gè)．
①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；
②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；
③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率．
解析：①錯(cuò)，不一定是10件次品；②錯(cuò)，是頻率而非概率；③錯(cuò)，頻率不等于概率，這是兩個(gè)不同的概念．
答案：0
(4)某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未中靶．假設(shè)此人射擊1次，則其中靶的概率約為________；中10環(huán)的概率約為________．
解析：中靶的頻數(shù)為9，試驗(yàn)次數(shù)為10，所以中靶的頻率為＝0.9，所以此人射擊1次，中靶的概率約為0.9.同理得中10環(huán)的概率約為0.2.
答案：0.9　0.2



隨機(jī)事件的頻率與概率
事件A發(fā)生的頻率是利用頻數(shù)nA除以試驗(yàn)總次數(shù)n所得到的值，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它在A的概率附近擺動(dòng)幅度越來越小，即概率是頻率的穩(wěn)定值，因此在試驗(yàn)次數(shù)足夠的情況下，給出不同事件發(fā)生的次數(shù)，可以利用頻率來估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
[典例]　某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：
賠償金額(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
車輛數(shù)(輛)
500
130
100
150
120
(1)若每輛車的投保金額為2 800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率．
(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率．
[解]　(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計(jì)概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12，
由于投保額為2 800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3 000元和4 000元，
所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機(jī)的有0.1×1 000＝100(位)，而賠付金額為4 000元的車輛中車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(位)，
所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24，
由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24.









1．某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1 000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者進(jìn)行調(diào)查．這1 000名購(gòu)物者2017年網(wǎng)上購(gòu)物金額(單位：萬元)均在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，樣本分組為：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，購(gòu)物金額的頻率分布直方圖如下：

電子商務(wù)公司決定給購(gòu)物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購(gòu)物金額關(guān)系如下：
購(gòu)物金額分組
[0.3,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.8)
[0.8,0.9]
發(fā)放金額
50
100
150
200
(1)求這1 000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)；
(2)以這1 000名購(gòu)物者購(gòu)物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率，求一個(gè)購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率．
解：(1)購(gòu)物者的購(gòu)物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表：
x
0.3≤x

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