一、選擇題
1．同學(xué)聚會(huì)上，某同學(xué)從《愛你一萬年》《十年》《父親》《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演，則《愛你一萬年》未被選取的概率為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
答案 B
解析 分別記《愛你一萬年》《十年》《父親》《單身情歌》為A1，A2，A3，A4，從這四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演的所有可能結(jié)果為A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，共6個(gè)，其中A1未被選取的結(jié)果有3個(gè)，所以所求概率P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).故選B.
2．從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，其中：①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)，上述事件中，是對(duì)立事件的是( )
A．① B．②④ C．③ D．①③
答案 C
解析 從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，有三種情況：一奇一偶，兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)．其中至少有一個(gè)是奇數(shù)包含一奇一偶，兩個(gè)奇數(shù)這兩種情況，它與兩個(gè)都是偶數(shù)是對(duì)立事件，而①②④中的事件可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故選C.
3．從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
答案 D
解析 令選取的a，b組成實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)，則有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,5)＝15種情況，其中b>a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)3種情況，所以b>a的概率為eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).故選D.
4．把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，則向量m與向量n不共線的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(11,12) C.eq \f(1,12) D.eq \f(1,18)
答案 B
解析 若m與n共線，則2a－b＝0.而(a，b)的可能性情況為6×6＝36個(gè)．符合2a＝b的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三個(gè)．故共線的概率是eq \f(3,36)＝eq \f(1,12)，從而不共線的概率是1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12).故選B.
5．一個(gè)袋子里裝有編號(hào)為1,2，…，12的12個(gè)相同大小的小球，其中1到6號(hào)球是紅色球，其余為黑色球．若從中任意摸出一個(gè)球，記錄它的顏色和號(hào)碼后再放回袋子里，然后再摸出一個(gè)球，記錄它的顏色和號(hào)碼，則兩次摸出的球都是紅球，且至少有一個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率是( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(3,16) C.eq \f(1,4) D.eq \f(7,16)
答案 B
解析 據(jù)題意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144種取法，其中兩次取到紅球且至少有一次號(hào)碼是偶數(shù)的情況共有6×6－3×3＝27種可能，故其概率為eq \f(27,144)＝eq \f(3,16).故選B.
6．現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻且表面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的正方體骰子，將這枚骰子先后拋擲兩次，這兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于點(diǎn)數(shù)之積的概率為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(11,36)
答案 D
解析 將這枚骰子先后拋擲兩次的基本事件總數(shù)為6×6＝36(個(gè))，這兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于點(diǎn)數(shù)之積包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11個(gè)．
∴這兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于點(diǎn)數(shù)之積的概率P＝eq \f(11,36).故選D.
7．從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，則取出的3個(gè)數(shù)可作為三角形的三邊邊長的概率是( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
答案 A
解析 從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)的基本事件有Ceq \\al(3,5)＝10個(gè)，取出的3個(gè)數(shù)可作為三角形的三邊邊長的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共3個(gè)，故所求概率P＝eq \f(3,10).故選A.
8．有5張卡片，上面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5.從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，那么取出的2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(7,10) D.eq \f(3,10)
答案 C
解析 從5張卡片中隨機(jī)抽取2張共有Ceq \\al(2,5)＝10種等可能情況；2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的為1奇1偶和2偶，共有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,2)＝7種等可能情況，故所求概率為P＝eq \f(7,10).故選C.
9．某食品廠為了促銷，制作了3種不同的精美卡片，每袋食品中隨機(jī)裝入一張卡片，集齊3種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購買該食品4袋，能獲獎(jiǎng)的概率為( )
A.eq \f(4,27) B.eq \f(8,27) C.eq \f(4,9) D.eq \f(8,9)
答案 C
解析 因?yàn)?種不同的精美卡片隨機(jī)放進(jìn)4袋食品中，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有34＝81種不同放法，4袋食品中共有3種不同的卡片的放法有3×Ceq \\al(2,4)×Aeq \\al(2,2)＝36種，根據(jù)等可能事件的概率公式得能獲獎(jiǎng)的概率為eq \f(36,81)＝eq \f(4,9)，故選C.
10．從集合A＝{－2，－1,2}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a，從集合B＝{－1,1,3}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b，則直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率為( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(4,9) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 (a，b)所有可能的結(jié)果為Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)＝9種．
由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，當(dāng)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,b≥0))時(shí)，直線不經(jīng)過第四象限，符合條件的(a，b)的結(jié)果為(2,1)，(2,3)，共2種，∴直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率P＝eq \f(2,9)，故選A.
二、填空題
11．從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為________．
答案 eq \f(3,5)
解析 如圖，從A，B，C，D，O這5個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)，共有Ceq \\al(2,5)＝10種取法，滿足兩點(diǎn)間的距離不小于正方形邊長的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6種，因此所求概率P＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
12．中國乒乓球隊(duì)中的甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為eq \f(3,7)，乙奪得冠軍的概率為eq \f(1,4)，那么中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________．
答案 eq \f(19,28)
解析 由于事件“中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，即中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq \f(3,7)＋eq \f(1,4)＝eq \f(19,28).
13．一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為eq \f(7,15)，取得兩個(gè)綠球的概率為eq \f(1,15)，則取得兩個(gè)同顏色的球的概率為________；至少取得一個(gè)紅球的概率為________．
答案 eq \f(8,15) eq \f(14,15)
解析 (1)由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事件，因此事件C“取得兩個(gè)同色球”，只需兩互斥事件有一個(gè)發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同色球的概率為P(C)＝eq \f(7,15)＋eq \f(1,15)＝eq \f(8,15).
(2)由于事件A“至少取得一個(gè)紅球”與事件B“取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事件，則至少取得一個(gè)紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq \f(1,15)＝eq \f(14,15).
14．已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為________．
答案 0.25
解析 20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191,271,932,812,393，其頻率為eq \f(5,20)＝0.25，以此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25.
三、解答題
15．某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.
(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；
(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)
解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為
eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．
(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘”，
將頻率視為概率得P(A1)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(A2)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10).
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(7,10).
故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為eq \f(7,10).
16．某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．
(1)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；
(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率；
(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？
解 (1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為eq \f(200,1000)＝0.2.
(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品．
所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為eq \f(100＋200,1000)＝0.3.
(3)與(1)同理，可得：顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為eq \f(200,1000)＝0.2，顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為eq \f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為eq \f(100,1000)＝0.1.
所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大．

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