?考點(diǎn)19特殊平行四邊形
考點(diǎn)總結(jié)
一、矩形
1、矩形的概念
有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2、矩形的性質(zhì)
（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)
（2）矩形的四個(gè)角都是直角
（3）矩形的對(duì)角線(xiàn)相等
（4）矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形
3、矩形的判定
（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形
（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
（3）定理2：對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形
4、矩形的面積
S矩形=長(zhǎng)×寬=ab
二、菱形
1、菱形的概念
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
2、菱形的性質(zhì)
（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)
（2）菱形的四條邊相等
（3）菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角
（4）菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形
3、菱形的判定
（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形
（3）定理2：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形
4、菱形的面積
S菱形=底邊長(zhǎng)×高=兩條對(duì)角線(xiàn)乘積的一半
三、正方形
1、正方形的概念
有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2、正方形的性質(zhì)
（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)
（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等
（3）正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角
（4）正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸
（5）正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一條對(duì)角線(xiàn)上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線(xiàn)的兩端點(diǎn)的距離相等。
3、正方形的判定
（1）判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：
先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。
先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角。
（2）判定一個(gè)四邊形為正方形的一般順序如下：
先證明它是平行四邊形；
再證明它是菱形（或矩形）；
最后證明它是矩形（或菱形）
4、正方形的面積
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為b，S正方形=

真題演練
一．選擇題（共10小題）
1．（2021?南通）菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別是6和8，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是（　?。?br /> A．24 B．20 C．10 D．5
【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的性質(zhì)，利用對(duì)角線(xiàn)的一半，根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的四條邊相等求出周長(zhǎng)即可．
【解答】解：如圖所示，
根據(jù)題意得AO=12×6＝3，BO=12×8＝4，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB=AO2+BO2=5，
∴此菱形的周長(zhǎng)為：5×4＝20．
故選：B．

2．（2021?無(wú)錫）如圖，D、E、F分別是△ABC各邊中點(diǎn)，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面積相等
B．四邊形AEDF是平行四邊形
C．若AB＝BC，則四邊形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形
【分析】根據(jù)矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位線(xiàn)定理判斷即可．
【解答】解：A．連接EF，
∵D、E、F分別是△ABC各邊中點(diǎn)，
∴EF∥BC，BD＝CD，
設(shè)EF和BC間的距離為h，
∴S△BDE=12BD?h，S△DCF=12CD?h，
∴S△BDE＝S△DCF，
故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵D、E、F分別是△ABC各邊中點(diǎn)，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∵D、E、F分別是△ABC各邊中點(diǎn)，
∴EF=12BC，DF=12AB，
若AB＝BC，則FE＝DF，
∴四邊形AEDF不一定是菱形，
故本選項(xiàng)符合題意；
D．∵四邊形AEDF是平行四邊形，
∴若∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形，
故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．

3．（2021?泰州）如圖，P為AB上任意一點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF，設(shè)∠CBE＝α，則∠AFP為（　?。?br />
A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°?12α
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)先表示出∠PBC的度數(shù)，然后利用“SAS”證明△APF≌△CPB，證得∠AFP＝∠PBC即可求得答案．
【解答】解：∵四邊形PBEF為正方形，
∴∠PBE＝90°，
∵∠CBE＝α，
∴∠PBC＝90°﹣α，
∵四邊形APCD、PBEF是正方形，
∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，
在△APF和△CPB中，
AP=CP∠APF=∠CPBPF=PB，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α．
故選：B．
4．（2020?連云港）如圖，將矩形紙片ABCD沿BE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線(xiàn)BD上的A'處．若∠DBC＝24°，則∠A'EB等于（　?。?br />
A．66° B．60° C．57° D．48°
【分析】由矩形的性質(zhì)得∠A＝∠ABC＝90°，由折疊的性質(zhì)得∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE=12（90°﹣∠DBC）＝33°，即可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE=12（90°﹣∠DBC）=12（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故選：C．
5．（2020?南通）下列條件中，能判定?ABCD是菱形的是（　?。?br /> A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
【分析】根據(jù)對(duì)角線(xiàn)垂直的平行四邊形是菱形，即可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形；
故選：D．
6．（2020?鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，H為BC中點(diǎn)，AC＝6，BD＝8．則線(xiàn)段OH的長(zhǎng)為（　　）

A．125 B．52 C．3 D．5
【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，OB＝OD=12BD＝4，OC＝OA=12AC＝3，再利用勾股定理計(jì)算出BC，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得到OH的長(zhǎng)．
【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD=12BD＝4，OC＝OA=12AC＝3，
在Rt△BOC中，BC=OB2+OC2=32+42=5，
∵H為BC中點(diǎn)，
∴OH=12BC=52．
故選：B．
7．（2021?連云港模擬）如圖，在△ABC中，作以∠A為內(nèi)角，四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC邊上的菱形時(shí)，如下的作圖步驟是打亂的．
①分別以點(diǎn)A、G圓心，大于12AG長(zhǎng)為半徑在AG兩側(cè)作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N；
②作直線(xiàn)MN分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q，連接PG、GQ；
③分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于△ABC內(nèi)一點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)G；
④以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．
則正確的作圖步驟是（　?。?br />
A．②④①③ B．④③②① C．②④③① D．④③①②
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和尺規(guī)作圖步驟即可得到結(jié)論．
【解答】解：正確的作圖步驟是：④③①②，
故選：D．
8．（2021?海安市模擬）如圖，菱形ABCD中，∠D＝150°，∠BAC的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DAC=12∠DAB，CD∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠D+∠DAB＝180°，再求出∠DAV即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC=12∠DAB，CD∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BAC=12×30°＝15°，
故選：D．
9．（2021?鹽城模擬）如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，PO＝2，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（　?。?br />
A．4 B．8 C．16 D．24
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB＝2OP，進(jìn)而得到AB長(zhǎng)，然后可算出菱形ABCD的周長(zhǎng)．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，
∴AB＝2OP，
∵PO＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是：4×4＝16，
故選：C．
10．（2021?鹽都區(qū)三模）如圖，在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，連接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．9 B．12 C．24 D．32
【分析】由點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，EF＝4，利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，即可求得BC的長(zhǎng)，然后由菱形的性質(zhì)，求得菱形ABCD的周長(zhǎng)．
【解答】解：∵點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，EF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是：4×8＝32．
故選：D．
二．填空題（共6小題）
11．（2021?蘇州）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝70°，延長(zhǎng)BC到E，在∠DCE內(nèi)作射線(xiàn)CM，使得∠ECM＝15°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CM，垂足為F，若DF=5，則對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)為 　25　.（結(jié)果保留根號(hào)）

【分析】連接AC交BD于H，證明△DCH≌△DCF，得出DH的長(zhǎng)度，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BD的長(zhǎng)度．
【解答】解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)H，

由菱形的性質(zhì)得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，
又∵∠MCE＝15°，
∴∠DCF＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF＝35°，
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝35°，
在△CDH和△CDF中，
∠CHD=∠CFD∠HDC=∠FDCDC=DC，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DF＝DH=5，
∴DB＝25，
故答案為25．
12．（2021?連云港）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AD，垂足為E，AC＝8，BD＝6，則OE的長(zhǎng)為　125　．

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，可以求得AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)等面積法即可求得OE的長(zhǎng)．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD=AO2+DO2=42+32=5，
又∵OE⊥AD，
∴AO?DO2=AD?OE2，
∴4×32=5OE2，
解得OE=125，
故答案為：125．
13．（2021?徐州）如圖，四邊形ABCD與AEGF均為矩形，點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周長(zhǎng)為20cm，則圖中陰影部分的面積為 　24　cm2．

【分析】由面積關(guān)系列出關(guān)系式可求解．
【解答】解：∵矩形AEGF的周長(zhǎng)為20cm，
∴AF+AE＝10cm，
∵AB＝AE+BE，AD＝AF+DF，BE＝FD＝2cm，
∴陰影部分的面積＝AB×AD﹣AE×AF＝（AE+2）（AF+2）﹣AE×AF＝24（cm2），
故答案為：24．
14．（2021?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E在AB上，點(diǎn)F、G分別在BC、AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，則EF的長(zhǎng)為 　125　．

【分析】設(shè)EF＝x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到GF∥AB，證明△CGF∽△CAB，可得AB=7x2，證明△ADG≌△BEF，得到AD＝BE=34x，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
【解答】解：∵DE＝2EF，設(shè)EF＝x，則DE＝2x，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴GFAB=CFCB=44+3=47，即2xAB=47，
∴AB=7x2，
∴AD+BE＝AB﹣DE=7x2?2x=32x，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADG和△BEF中，
∠A=∠B∠ADG=∠BEFDG=EF，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD＝BE=34x，
在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，
即(34x)2+x2=32，
解得：x=125或?125（舍），
∴EF=125，
故答案為：125．
15．（2021?鹽城二模）如圖，點(diǎn)A是邊長(zhǎng)為2的正方形DEFG的中心，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，DG∥BC，點(diǎn)P為正方形邊上的一動(dòng)點(diǎn)，在BP的右側(cè)作∠PBH＝90°且BH＝2PB，則AH的最大值為 　213　．

【分析】連結(jié)AP，CH，并延長(zhǎng)PA，HC交于點(diǎn)M，PA交BH于點(diǎn)N，證明CH等于兩倍的AP，且CH垂直AP，從而判斷H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以C為中心的正方形E′F′G′D′，且正方形E′F′G′D′的邊長(zhǎng)為正方形DEFG的兩倍，從而確定當(dāng)H與F'重合時(shí)，AH最大，求出AF'即可．
【解答】解：連結(jié)AP，CH，并延長(zhǎng)PA，HC交于點(diǎn)M，PA交BH于點(diǎn)N，
∵∠PBH＝∠ABC＝90°，
∴∠PBA＝∠HBC，
∴PBBA=ABBC=12，
∴△PBA∽△HBC，
∴CH＝2PA，∠BPA＝∠BHC，
∴∠MAH+∠AHM
＝∠MAH+∠AHB+∠BHC
＝∠PNB+∠BPA＝90°，
∴∠M＝90°，
∴CH⊥PA，
∵P是以點(diǎn)A為中心的正方形DEFG的邊上的動(dòng)點(diǎn)，
∴H的軌跡為以C為中心的正方形E′F′G′D′，且正方形E′F′G′D′的邊長(zhǎng)為正方形DEFG的兩倍，
如下圖所示：

當(dāng)H與F'重合時(shí)，AH最大，
延長(zhǎng)AB，F(xiàn)'G'交于點(diǎn)K，
則AK＝4，KF'＝6，
∴AF′=42+62=213，
∴AH的最大值為213．
16．（2021?江陰市模擬）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，點(diǎn)E為弧上一點(diǎn)，EF⊥CD于F，連接CE，若CE﹣EF＝2，則CF的值為　23　．

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接BE，設(shè)EF＝x，根據(jù)勾股定理分別用x表示出EC和EF，根據(jù)EC﹣EF＝2得出x的值，再利用勾股定理即可得出CF．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接BE，
設(shè)EF＝x，
∵EF＝GC＝x，EG＝FC，
∴BG＝4﹣x，
在Rt△EBG中，EG=BE2?BG2=42?(4?x)2=8x?x2，
在Rt△EGC中，CE=EG2+GC2=(8x?x2)2+x2=8x，
∵EC﹣EF＝2，
∴8x?x=2，
兩邊平方得：8x＝（x+2）2，
整理得（x﹣2）2＝0，
解得x1＝x2＝2，
∴CE=8x=4，
∴CF=CE2?EF2=23，
故答案為：23．

三．解答題（共4小題）
17．（2021?淮安）已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求證：四邊形ABFE是菱形．

【分析】先證四邊形ABFE是平行四邊形，由平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得AB＝AE，可得結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四邊形ABFE是菱形．
18．（2021?鎮(zhèn)江）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長(zhǎng)DA，BC，使得AE＝CF，連接BE，DF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）連接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，當(dāng)∠ABE＝　10　°時(shí)，四邊形BFDE是菱形．

【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△CDF；
（2）通過(guò)證明BE＝DE，可得結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
AE=CF∠1=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）當(dāng)∠ABE＝10°時(shí)，四邊形BFDE是菱形，
理由如下：∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∵∠1＝30°，∠2＝20°，
∴∠ABD＝∠1﹣∠2＝10°，
∵∠ABE＝10°，
∴∠DBE＝20°，
∴∠DBE＝∠2＝20°，
∴BE＝DE，
∴平行四邊形BFDE是菱形，
故答案為10．
19．（2021?鹽城）如圖，D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE、EF、AE．
（1）求證：四邊形ADEF為平行四邊形；
（2）加上條件 　②　后，能使得四邊形ADEF為菱形，請(qǐng)從①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC這三個(gè)條件中選擇1個(gè)條件填空（寫(xiě)序號(hào)），并加以證明．

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可證；
（2）若選②AE平分∠BAC：則在（1）中ADEF為平行四邊形基礎(chǔ)上，再證一組鄰邊相等即證明AF＝EF；若選③AB＝AC：根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理即可證明．
【解答】解：（1）證明：已知D、E、F為AB、BC、AC的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線(xiàn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，
∴DE∥AC，且DE=12AC=AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四邊形ADEF為平行四邊形．
（2）證明：選②AE平分∠BAC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF為平行四邊形，
∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四邊形ADEF為菱形．
選③AB＝AC，
∵EF∥AB且EF=12AB，DE∥AC且DE=12AC，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四邊形ADEF為菱形．
20．（2021?連云港）如圖，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）如果AB＝AE，求證：四邊形ACED是矩形．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，且AD＝BC，根據(jù)點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，得到BC＝CE，等量代換得AD＝CE，又因?yàn)锳D∥CE，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證；
（2）根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行證明．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形；
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴四邊形ACED是矩形．

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這是一份考點(diǎn)24圖形的變換（解析版）-2022年數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)透析（蘇科版），共26頁(yè)。試卷主要包含了平移，軸對(duì)稱(chēng)，旋轉(zhuǎn)，中心對(duì)稱(chēng)，坐標(biāo)系中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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