1.“1”的變換1=sin 2α+cs 2α=cs 2α(1+tan2α).2.三角函數(shù)圖象變換
三角函數(shù)y=sin ωx的圖象向左或向右平移φ(φ>0)個單位長度,得到的圖象對應(yīng)函數(shù)解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或y=sin(ωx-φ).
這是針對函數(shù)中的單個變量x 而言的
3.三角函數(shù)的周期性
特別提醒函數(shù)y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的最小正周期是y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)最小正周期的一半.
4.三角函數(shù)的奇偶性與對稱性
(3)對于函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù),沒有對稱軸,對稱中心的橫坐標(biāo)由ωx+φ= (k∈Z)確定.
溫馨提示正弦曲線、余弦曲線的對稱軸恰好經(jīng)過相應(yīng)曲線的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標(biāo)分別是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的零點.
[例1-1](2021·吉林長春第二實驗中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,已知角α的終邊上有一點P(1,2),點Q在角2α的終邊上,且|OQ|=10,則點Q的坐標(biāo)為(　　)A.(-6,-8)B.(-6,8)C.(6,-8) D.(6,8)
規(guī)律方法點的坐標(biāo)與三角函數(shù)值的關(guān)系根據(jù)三角函數(shù)的定義,可以由給定角的終邊上一點的坐標(biāo),求出該角的各個三角函數(shù)值;反之,當(dāng)給定一個角的大小或該角的正、余弦值時,也可以求出角的終邊上一點的坐標(biāo),即角θ的終邊上一點P的坐標(biāo)為P(rcs θ,rsin θ),其中r為點P到角的頂點的距離,據(jù)此可以實現(xiàn)角與點的坐標(biāo)之間的聯(lián)系,為三角換元方法奠定理論基礎(chǔ).
命題角度1　已知圖象求解析式
方法技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象求其解析式時,A通過看圖比較容易得出,困難的是求ω和φ,常用如下兩種方法(1)由ω= 即可求出ω;確定φ時,若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標(biāo)x0,則令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入圖象中已知點的坐標(biāo),將一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式,再結(jié)合圖象解出ω和φ,若對A,ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.
(2021·全國甲,理16)已知函數(shù)f(x)=2cs(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則滿足
規(guī)律方法三角函數(shù)圖象的平移變換問題類型多、情況復(fù)雜、技巧性強(qiáng),在解題時容易出現(xiàn)錯誤,破解此類題的關(guān)鍵如下(1)定函數(shù):一定要看準(zhǔn)是將哪個函數(shù)的圖象變換得到哪一個函數(shù)的圖象.(2)變同名:變換前后函數(shù)的名稱要一樣.(3)選方法:即選擇變換方法,要注意:對于函數(shù)y=sin ωx(ω>0)的圖象,向左平移|φ|個單位長度得到的是函數(shù)y=sin ω(x+|φ|)的圖象,而不是函數(shù)y=sin(ωx+|φ|)的圖象.
命題角度1　正弦型函數(shù)的性質(zhì)
規(guī)律總結(jié)研究正弦型函數(shù)性質(zhì)的基本方法一般地,研究正弦型函數(shù)的性質(zhì)時,首先應(yīng)將函數(shù)解析式進(jìn)行化簡,轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)的形式,然后通過整體代換,結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行求解.(1)求單調(diào)區(qū)間時,將ωx+φ作為一個整體代入正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間,求出x的范圍即為原函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.(2)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時,應(yīng)根據(jù)x所在的區(qū)間求出ωx+φ的取值范圍,再結(jié)合正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象確定函數(shù)的最值.(3)判斷對稱軸或?qū)ΨQ中心時,可根據(jù)對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點這一性質(zhì)進(jìn)行檢驗判斷.
命題角度2　非正弦型函數(shù)的性質(zhì)
名師點析回歸定義研究三角函數(shù)的性質(zhì)在研究三角函數(shù)性質(zhì)時,如果函數(shù)不能化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)等形式,可借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則或?qū)?shù)研究其單調(diào)性或最值,可用周期的定義、軸對稱或中心對稱的一般條件來判斷函數(shù)的周期、函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心.(1)若非零實數(shù)t使得f(x+t)=f(x)對x∈R恒成立,則可推出t是函數(shù)f(x)的一個周期.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)或f(2a+x)=f(-x),f(2a-x)=f(x)等,則可判斷函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x)或f(2a+x)=-f(-x),f(2a-x)=-f(x)等,則可判斷函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.
(2021·湖南長沙高三模擬)已知函數(shù)f(x)=|sin x|-|cs x|,則下列說法正確的是(　　)A.f(x)的值域為[-1,1]
解析 由于f(x+π)=|sin(x+π)|-|cs(x+π)|=|sin x|-|cs x|,所以f(x)的最小正周期不是2π,故C錯誤;

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