1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcs β±cs αsin β;cs(α±β)=cs αcs β?sin αsin β;
溫馨提示注意公式的逆用與變形用,例如:tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β).
sin 2α=2sin αcs α,cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α,
余弦定理在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則a2=b2+c2-2bccs A;
5.三角形中的射影定理bcs C+ccs B=a,acs C+ccs A=b,acs B+bcs A=c.6.三角形面積公式
名師點(diǎn)析利用三角恒等變換解決求值問(wèn)題的關(guān)鍵(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系,正確地用已知角表示未知角.(2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來(lái)表示.(3)求解三角函數(shù)給值求角的問(wèn)題時(shí),要根據(jù)已知條件求出這個(gè)角的某種三角函數(shù)值,然后結(jié)合角的取值范圍,求出角的大小.
答案(1)C　(2)A　(3) D
[例2-2](2021·全國(guó)乙,理15)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為 ,B=60°,a2+c2=3ac,則b=　　　　　.
規(guī)律總結(jié)三角形中邊角互化的基本原則(1)若式子中含有正弦的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”.(2)若式子中含有a,b,c的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”.(3)若式子中含有余弦的齊次式,優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”.(4)含有面積公式的問(wèn)題,要考慮結(jié)合余弦定理求解.(5)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí),要用到三角形的內(nèi)角和定理.
答案 (1)A　(2)1
(2)因?yàn)椤鰽DC與△BDC的面積之比為3∶1,所以AD∶BD=3∶1,故BD=1.
[例3-1](2021·全國(guó)甲,理8)2020年12月8日,中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8 848.86(單位:m).三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖如圖所示.現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°,BB'與CC'的差為100,由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'-CC'約為( ≈1.732)(　　)
A.346B.373C.446D.473
規(guī)律總結(jié)解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意,弄清問(wèn)題的實(shí)際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的關(guān)系.(2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型.(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題,注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.
(2021·廣東汕頭高三模擬)如圖,一輛汽車以每秒20米的速度在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北15°的方向上,行駛到達(dá)B處時(shí),測(cè)得此山頂D在西偏北75°的方向上,仰角為60°,已知山的高度CD=3 600( )米,則汽車從A到B行駛了　　　　　小時(shí).?
(1)(2021·重慶八中月考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知3bcs C=3a-c,且A=C,則sin A=　　　　　.?(2)(2021·廣東珠海高三一模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿足2cs Bcs C·(tan B+tan C)=cs Btan B+cs Ctan C,則cs A的最小值是　　　　　.?
解析 (1)因?yàn)?bcs C=3a-c,由正弦定理可得3sin Bcs C=3sin A-sin C,又A+B+C=π,所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C,所以3sin Bcs C=3(sin Bcs C+cs Bsin C)-sin C,則3cs Bsin C=sin C.

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