實際問題與二元一次方程組（一）（基礎）知識講解【學習目標】1．以含有多個未知數(shù)的實際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關系，設未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗結(jié)果”的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)問題的數(shù)學模型；2. 熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實際問題.【要點梳理】要點一、常見的一些等量關系（一）1.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率  較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.2.產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關系是：加工總量成比例.3.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量.4.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價， . 要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思想    列方程組解應用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關系．一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟：設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據(jù)等量關系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．要點詮釋：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組. 【典型例題】類型一、和差倍分問題1.（2016?長春二模）電子商務的快速發(fā)展逐步改變了人們的生活方式，網(wǎng)購已悄然進入千家萬戶．李阿姨在淘寶網(wǎng)上花220元買了1個茶壺和10個茶杯，已知茶壺的單價比茶杯的單價的4倍還多10元．請問茶壺和茶杯的單價分別是多少元？【思路點撥】設茶壺的單價為x元，茶杯的單價為y元，根據(jù)題意可得，1個茶壺和10個茶杯共花去220元，茶壺的單價比茶杯的單價的4倍還多10元，據(jù)此列方程組求解．【答案與解析】解：設茶壺的單價為x元，茶杯的單價為y元，由題意得，，解得：．答：茶壺的單價為70元，茶杯的單價為15元．【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程組求解． 舉一反三：【變式】（2015?茂名模擬）根據(jù)如圖提供的信息，可知一個熱水瓶的價格是（　?。?/span>A．7元 B．35元 C．45元 D．50元【答案】C．解：設水壺單價為x元，杯子單價為y元，則有 ，解得 ．答：一個熱水瓶的價格是45元．類型二、配套問題2. 某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只. 現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗），應分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【思路點撥】本題的第一個相等關系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍（注意：別把2倍的關系寫反了）.【答案與解析】解：設用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套. 根據(jù)題意，列方程組得 解方程組得  答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.【總結(jié)升華】生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關系是解題的關鍵.舉一反三：【變式】某家具廠生產(chǎn)一種方桌，設計時1的木材可做50個桌面或300條桌腿.現(xiàn)有10的木材，怎樣分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿剛好配套，并指出可生產(chǎn)多少張方桌？（提示：一張方桌有一個桌面，4條桌腿）.【答案】解：設有的木材生產(chǎn)桌面，的木材生產(chǎn)桌腿，由題意得， ,    .∴方桌有50=300（張）.答：有6的木材生產(chǎn)桌面，4的木材生產(chǎn)桌腿，可生產(chǎn)出300張方桌.類型三、工程問題3.一批機器零件共840個，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，問：兩人每天各做多少個零件?【思路點撥】本例由分析知，有兩個相等關系：(1)甲4天的工作量＋甲乙合做8天的工作量＝工作總量；(2)乙4天的工作量＋甲、乙合做9天的工作量＝工作總量，根據(jù)這兩個相等關系可列方程求解．【答案與解析】解：設甲每天做x個機器零件，乙每天做y個機器零件．根據(jù)題意，得，解之，得．答：甲、乙兩人每天做機器零件分別為50個、30個．【總結(jié)升華】解答這類問題的基本關系式是：工作量＝工作效率×工作時間．工程問題一般分為兩類：一類是一般的工程問題，一類是工作總量為1的工程問題．類型四、利潤問題4. （2015?曲靖）某商場投入13800元資金購進甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價和銷售價如表所示：類別/單價成本價銷售價（元/箱）甲2436乙3348（1）該商場購進甲、乙兩種礦泉水各多少箱？（2）全部售完500箱礦泉水，該商場共獲得利潤多少元？【思路點撥】（1）設商場購進甲種礦泉水x箱，購進乙種礦泉水y箱，根據(jù)投入13800元資金購進甲、乙兩種礦泉水共500箱，列出方程組解答即可；（2）總利潤=甲的利潤+乙的利潤．【答案與解析】解：（1）設商場購進甲種礦泉水x箱，購進乙種礦泉水y箱，由題意得，解得：．答：商場購進甲種礦泉水300箱，購進乙種礦泉水200箱．（2）300×（36﹣24）+200×（48﹣33）=3600+3000=6600（元）．答：該商場共獲得利潤6600元．【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程組的實際應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解． 舉一反三：【變式】王師傅下崗后開了一家小商店，上周他購進甲乙兩種商品共50件，甲種商品的進價是每件35元，利潤率是20%，乙種商品的進價是每件20元，利潤率是15%，共獲利278元，你知道王師傅分別購進甲乙兩種商品各多少件嗎?【答案】解：設王師傅分別購進甲、乙兩種商品件和件，則解得：答：王師傅分別購進甲乙兩種商品32件與18件． 

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