30實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（一）(提高) 知識(shí)講解

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實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（一）（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過(guò)程，體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)未知數(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；2. 熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實(shí)際問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、常見(jiàn)的一些等量關(guān)系（一）1.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率  較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.2.產(chǎn)品配套問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.3.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量.4.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)， . 要點(diǎn)二、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想    列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的等量關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類(lèi)量：②同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)：用兩個(gè)字母表示問(wèn)題中的兩個(gè)未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；答：寫(xiě)出答案．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.【典型例題】類(lèi)型一、和差倍分問(wèn)題1.在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，甲、乙兩校各有100名同學(xué)參加測(cè)試．測(cè)試結(jié)果顯示，甲校男生的優(yōu)分率為60％，女生的優(yōu)分率為40％，全校的優(yōu)分率為49.6％；乙校男生的優(yōu)分率為57％，女生的優(yōu)分率為37％．(男(女)生優(yōu)分率＝，全校優(yōu)分率＝) (1)求甲校參加測(cè)試的男、女生人數(shù)各是多少?(2)從已知數(shù)據(jù)中不難發(fā)現(xiàn)甲校男、女生的優(yōu)分率都相應(yīng)高于乙校男、女生的優(yōu)分率，但最終的統(tǒng)計(jì)結(jié)果卻顯示甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低，請(qǐng)舉例說(shuō)明原因．【思路點(diǎn)撥】 (1)求甲校參加測(cè)試的男、女生人數(shù)需設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，故可建立二元一次方程組求解．(2)由于甲校男、女生的優(yōu)分率相應(yīng)高于乙校的男、女生的優(yōu)分率，要使乙校的全校優(yōu)分率比甲校的全校優(yōu)分率高，此時(shí)，只有乙校的男生較多時(shí)，才能提高全校的優(yōu)分率．【答案與解析】解：(1)設(shè)甲校參加測(cè)試的男生人數(shù)是x人，女生人數(shù)是y人．由題意可列方程組：解之得：．答：甲校參加測(cè)試的男生有48人，女生有52人．(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，則乙校的全校優(yōu)分率為．51％＞49.6％(說(shuō)明：只要所舉例子中男生人數(shù)多于63人，且女生優(yōu)分率合適，即可得全分．)【總結(jié)升華】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．本題的第（2）問(wèn)也可以用不等式求出甲乙兩校男生人數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)，才滿足甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低． 舉一反三：【變式】為了拉動(dòng)內(nèi)需，全國(guó)各地汽車(chē)購(gòu)置稅補(bǔ)貼活動(dòng)在2009年正式開(kāi)始．某經(jīng)銷(xiāo)商在政策出臺(tái)前一個(gè)月共售出某品牌汽車(chē)的手動(dòng)型和自動(dòng)型共960臺(tái)，政策出臺(tái)后的第一個(gè)月售出這兩種型號(hào)的汽車(chē)共1228臺(tái)，其中手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車(chē)的銷(xiāo)售量分別比政策出臺(tái)前一個(gè)月增長(zhǎng)30％和25%．(1)在政策出臺(tái)前一個(gè)月，銷(xiāo)售的手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車(chē)分別為多少臺(tái)?(2)若手動(dòng)型汽車(chē)每臺(tái)價(jià)格為8萬(wàn)元，自動(dòng)型汽車(chē)每臺(tái)價(jià)格為9萬(wàn)元．根據(jù)汽車(chē)補(bǔ)貼政策，政府按每臺(tái)汽車(chē)價(jià)格的5％給購(gòu)買(mǎi)汽車(chē)的用戶補(bǔ)貼，問(wèn)政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車(chē)用戶共補(bǔ)貼了多少萬(wàn)元？【答案】解：(1)設(shè)政策出臺(tái)前一個(gè)月銷(xiāo)售的手動(dòng)型汽車(chē)為x輛，自動(dòng)型汽車(chē)為y輛，由題意可得：解之得：．答：政策出臺(tái)前一個(gè)月銷(xiāo)售的手動(dòng)型汽車(chē)為560輛，自動(dòng)型汽車(chē)為400輛．(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(萬(wàn)元)答：政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車(chē)用戶共補(bǔ)貼了516.2萬(wàn)元．類(lèi)型二、配套問(wèn)題2. 某班學(xué)生到農(nóng)村勞動(dòng)，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質(zhì)較弱，教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔(dān)，兩只筐），這樣安排勞動(dòng)時(shí)恰需筐68 個(gè)，扁擔(dān)40 根，問(wèn)這個(gè)班的男女生各有多少人？【答案與解析】解：設(shè)女生人，男生人，由題意得：解得：答：這個(gè)班的男生有32人，女生有21人.【總結(jié)升華】兩人抬土需要一根扁擔(dān)，一只筐；一人挑土需要一根扁擔(dān)，兩只筐．題中的等量關(guān)系是：參加勞動(dòng)的同學(xué)一共用去籮筐68個(gè)和40根扁擔(dān)，從而列出方程組，解出即可．舉一反三：【變式】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓和兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套？【答案】解：設(shè)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則根據(jù)題意可得：      答：應(yīng)分配25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母.類(lèi)型三、工程問(wèn)題3. （2015春?定陶縣期末）一家商店進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元，若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可以完成，需付費(fèi)用3480元，問(wèn)：（1）甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付多少錢(qián)？（2）已知甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需24天，單獨(dú)請(qǐng)哪個(gè)組，商店所需費(fèi)用最少？（3）若裝修完后，商店每天可贏利200元，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店？請(qǐng)你幫助商店決策．（可用（1）（2）問(wèn)的條件及結(jié)論） 【思路點(diǎn)撥】（1）本題的等量關(guān)系是：甲做8天需要的費(fèi)用+乙作8天需要的費(fèi)用=3520元．甲組6天需付的費(fèi)用+乙做12天需付的費(fèi)用=3480元，由此可得出方程組求出解．（2）根據(jù)（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的費(fèi)用，然后分別計(jì)算出甲單獨(dú)做12天需要的費(fèi)用，乙單獨(dú)做24天需要的費(fèi)用，讓兩者進(jìn)行比較即可．（3）本題可將每種施工方法的施工費(fèi)加上施工期間商店損失的費(fèi)用，然后將不同方案計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，損失最少的方案就是最有利商店的方案．【答案與解析】解：（1）設(shè)：甲組工作一天商店應(yīng)付x元，乙組工作一天商店付y元．由題意得解得答：甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付300元和140元． （2）單獨(dú)請(qǐng)甲組需要的費(fèi)用：300×12=3600元．單獨(dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用：24×140=3360元．答：?jiǎn)为?dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用少． （3）請(qǐng)兩組同時(shí)裝修，理由：甲單獨(dú)做，需費(fèi)用3600元，少贏利200×12=2400元，相當(dāng)于損失6000元；乙單獨(dú)做，需費(fèi)用3360元，少贏利200×24=4800元，相當(dāng)于損失8160元；甲乙合作，需費(fèi)用3520元，少贏利200×8=1600元，相當(dāng)于損失5120元；因?yàn)?120＜6000＜8160，所以甲乙合作損失費(fèi)用最少．答：甲乙合作施工更有利于商店．【總結(jié)升華】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系：甲做8天需要的費(fèi)用+乙作8天需要的費(fèi)用=3520元．列出方程組，再求解．類(lèi)型四、利潤(rùn)問(wèn)題4.（2016?黃岡模擬）甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，將甲服裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按40%的利潤(rùn)定價(jià)．在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按定價(jià)的9折出售，這樣商店共獲利157元．求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？【思路點(diǎn)撥】設(shè)甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是y元，根據(jù)“甲、乙兩件服裝共獲利157元、將甲服裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按40%的利潤(rùn)定價(jià)，兩件服裝均按定價(jià)的9折出售，這樣商店共獲利157元”，列方程組解決問(wèn)題．【答案與解析】解：設(shè)甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是y元，依題意有解得：答：甲服裝的成本為300元，乙服裝的成本為200元．【總結(jié)升華】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程組，再求解．舉一反三：【變式】（2015春?寧城縣期末）為處理甲、乙兩種積壓服裝，商場(chǎng)決定打折銷(xiāo)售，已知甲、乙兩種服裝的原單價(jià)共位880元，現(xiàn)將甲服裝打八折，乙服裝打七五折，結(jié)果兩種服裝的單價(jià)共為684元，則甲、乙兩種服裝的原單價(jià)分別是多少？【答案】解：設(shè)甲、乙兩種服裝的原單價(jià)分別是x元、y元．根據(jù)題意，得：，解得：，即：甲、乙兩種服裝的原單價(jià)分別是480元、400元．