6.2.1向量基本定理（課件+學(xué)案+練習）

6.2　向量基本定理與向量的坐標6.2.1　向量基本定理   　新知初探·自主學(xué)習——突出基礎(chǔ)性知識點一　共線向量的基本定理一般地，有如下共線向量基本定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa.狀元隨筆　在共線向量基本定理中：(1)＝λ時，通常稱為能用表示．(2)其中的“唯一”指的是，如果還有＝μ，則有λ＝μ.這是因為：由λ＝μ可知(λ－μ)＝，如果λ－μ≠0，則＝，與已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ.知識點二　平面向量的基本定理一般地，有如下平面向量基本定理：如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量c，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使得c＝xa＋yb.狀元隨筆　平面向量基本定理的理解(1)是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，的選取不唯一，即一個平面可以有多組的基底．(2)平面內(nèi)的任一向量都可以沿基底進行分解．(3)基底確定后，實數(shù)λ1、λ2是唯一確定的． 基礎(chǔ)自測1.已知向量a與b共線反向，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．|a＋b|＝|a|＋|b|　　B．|a＋b|＝|a|－|b|C．|a－b|＝|a|＋|b|    D．|a－b|＝|a|－|b|2．設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，給出下列向量組：①與；②與；③與；④與，其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是(　　)A．①②    B．①③C．①④    D．③④3．已知△ABC的邊BC上有一點D，滿足＝3，則可表示為(　　)A．＝    B．＝C．＝－2＋3    D．＝4．如圖所示，向量可用向量e1，e2表示為________．   　課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性題型1　平面向量基本定理的理解[經(jīng)典例題]例1　設(shè)e1，e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是________(寫出滿足條件的序號)． 由基底的定義知，平面α內(nèi)兩個不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，要判斷所給的兩個向量能否構(gòu)成基底，只要看這兩個向量是否共線即可．【解析】　①設(shè)e1＋e2＝λe1，則無解，∴e1＋e2與e1不共線，即e1與e1＋e2能作為一組基底．②設(shè)e1－2e2＝λ(e2－2e1)，則(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，則無解，∴e1－2e2與e2－2e1不共線，即e1－2e2與e2－2e1能作為一組基底．③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，∴e1－2e2與4e2－2e1共線，即e1－2e2與4e2－2e1不能作為一組基底．④設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，則無解，∴e1＋e2與e1－e2不共線，即e1＋e2與能作為一組基底．【答案】　③  方法歸納對基底的理解(1)兩個向量能否作為一組基底，關(guān)鍵是看這兩個向量是否共線．若共線，則不能作基底，反之，則可作基底．(2)一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基底唯一線性表示出來．設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則提醒：一個平面的基底不是唯一的，同一個向量用不同的基底表示，表達式不一樣． 跟蹤訓(xùn)練1　下面三種說法：①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底；②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可以作為基底中的向量．其中正確的說法是(　　)A.①②B．②③C．①③D．①②③ 平面內(nèi)任意一對不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)所有向量的基底，一定要注意“不共線”這一條件，在做題時容易忽略此條件而導(dǎo)致錯誤，同時還要注意零向量不能作基底．  題型2　共線基本定理[教材P155例3]例2　已知a與b不共線，而且a－xb與3a＋2b共線，求x的值．   教材反思共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線，對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線．(2)證明三點共線，若存在實數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值，利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．提醒：證明三點共線時，要說明共線的兩向量有公共點．  跟蹤訓(xùn)練2　(1)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________．(2)已知平面上不共線的四點O，A，B，C.若－3＋2＝0，則等于________． 狀元隨筆　(1)由λ與＋2共線，得λ＝t(＋2)再解方程組求λ．(2)利用共線求與的關(guān)系． 題型3　用基底表示平面向量[經(jīng)典例題]例3　如圖，不共線，且＝t(t∈R)，用表示.結(jié)合圖形，利用、表示       方法歸納用基底表示向量的兩種方法(1)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止．(2)通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．  跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，在?ABCD中，點E，F分別為BC，DC邊上的中點，DE與BF交于點G，若＝a，＝b，試用a，b表示向量.　   解決此類問題的關(guān)鍵在于以一組不共線的向量為基底，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量共線的結(jié)論，把其他相關(guān)的向量用這一組基底表示出來．   6．2.1　向量基本定理新知初探·自主學(xué)習[基礎(chǔ)自測]1．解析：因為向量a與b共線反向，所以|a＋b|<|a|＋|b|，|a＋b|≥0，而|a|－|b|的符號不確定，所以A，B不正確．同理，D不正確，C顯然正確．答案：C2．解析：①與不共線；②＝－，則與共線；③與不共線；④＝－，則與共線．由平面向量基底的概念知，只有不共線的兩個向量才能構(gòu)成一組基底，故①③滿足題意．答案：B3．解析：由＝3，得＝＝＝＝.答案：B4．解析：由圖可知，＝4e1＋3e2.答案：＝4e1＋3e2課堂探究·素養(yǎng)提升跟蹤訓(xùn)練1　解析：平面內(nèi)向量的基底是不唯一的，在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；零向量可看成與任何向量平行，故零向量不可以作為基底中的向量，故B項正確．答案：B例2　【解析】　因為a與b不共線，所以3a＋2b≠0，因此由已知可得存在實數(shù)t，使得a－xb＝t(3a＋2b)，即a－xb＝3ta＋2tb，從而解得x＝－.跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得(2)由已知得，＝2()，∴＝2，∴＝2.答案：(1)　(2)2例3　【解析】　因為＝t，所以＝＝＋t＝＋t()＝＋t－t＝(1－t)＋t.跟蹤訓(xùn)練3　解析：＝＝－＝－＝a－b.＝＝－＝b－a.