?綜合檢測試卷(二)
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．在等差數(shù)列{an}中，a4＝2，a8＝14，則a15等于(　　)
A．32 B．－32 C．35 D．－35
答案　C
解析　∵{an}是等差數(shù)列，
∴d＝＝3，
∴a15＝a4＋11d＝2＋11×3＝35.
2．函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0,2]上的最大值是3，則a等于(　　)
A．3 B．1 C．2 D．－1
答案　B
解析　f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
則f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
3．在數(shù)列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，則a5等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
4．設曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　D
解析　令f(x)＝ax－ln(x＋1)，則f′(x)＝a－ .
由導數(shù)的幾何意義可得在點(0,0)處的切線的斜率為f′(0)＝a－1.又切線方程為y＝2x，
則有a－1＝2，所以a＝3.
5．已知等差數(shù)列{an}共有10項，其偶數(shù)項之和為20，奇數(shù)項之和為5，則該數(shù)列的公差為(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案　D
解析　∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝20，∴5d＝15，∴d＝3.
6．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“諸葛亮領八員將，每將又分八個營，每營里面排八陣，每陣先鋒有八人，每人旗頭俱八個，每個旗頭八隊成，每隊更該八個甲，每個甲頭八個兵．”則該問題中將官、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵共有(　　)
A.(87－8)人 B.(89－8)人
C.人 D.人
答案　D
解析　由題意可得將官、營、陣、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵依次成等比數(shù)列，且首項為8，公比也是8，
所以將官、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵共有
8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝人．
7．設曲線y＝sin x上任一點(x，y)處的切線斜率為g(x)，則函數(shù)y＝x2g(x)的部分圖象可以為(　　)


答案　C
解析　由曲線方程y＝sin x，可知g(x)＝cos x，
所以y＝x2g(x)＝x2cos x為偶函數(shù)，排除A，B；
當x＝0時，y＝0，排除D，故選C.
8．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－16n，則等于(　　)
A．－55 B．0 C．55 D．73
答案　D
解析　∵Sn＝n2－16n，∴當n＝1時，a1＝－15，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－16n－[(n－1)2－16(n－1)]＝2n－17，
令an≤0，解得n≤8，
令Tn＝＝－a1－a2－a3－…－a8＋a9＋a10＋a11
＝15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＝73.
二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)
9．設f(x)，g(x)在[a，b]上可導，且f′(x)>g′(x)，則當a0，
所以f(x)－g(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，
所以當af(a)－g(a)，
所以f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)，f(x)＋g(b)0，
所以函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，又f(0)＝0，所以函數(shù)f(x)有且只有一個零點，B選項錯誤；
對于C選項，f′(x)＝cos x＋3x2－a，
由于函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f′(x)≥0對任意的x∈R恒成立，即a≤3x2＋cos x.
令g(x)＝3x2＋cos x，則g′(x)＝6x－sin x，令φ(x)＝6x－sin x，則φ′(x)＝6－cos x>0，
所以函數(shù)g′(x)在R上為增函數(shù)，
當xg′(0)＝0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增．
所以g(x)min＝g(0)＝1，∴a≤1，C選項正確；
對于D選項，當a＝3時，f(x)＝sin x＋x3－3x，則f′(x)＝cos x＋3x2－3.
由C選項可知，函數(shù)f′(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∵f′(－1)＝f′(1)＝cos 1>0，f′(0)＝－20成立的最大正整數(shù)n的值為________．
答案　673
解析　由an＝2 021－3n>0，
得n0時，f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增．
若a7.25，即n≥8，不成立，
當n≥6時，an＝1 000(1－0.6n－5)>500，即0.6n－5－x－1.
(1)解　f′(x)＝ex＋xex－2x－2＝(x＋1)(ex－2)，
當x∈(－1，ln 2)時，f′(x)0，
∴f(x)在[－1，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2,1]上單調(diào)遞增，∴f(x)max＝max，
又f(－1)＝－－1＋2－1＝－，f(1)＝e－1－2－1＝e－4，
∴f(x)max＝f(－1)＝－.
(2)證明　要證f(x)>－x－1，
只需證f(x)＋x＋1＝xex－x2－x>0，
∵x>0，∴只需證ex－x－1>0.
令g(x)＝ex－x－1，則g′(x)＝ex－1，
當x>0時，ex>1，∴g′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴g(x)>e0－0－1＝0，即當x>0時，ex－x－1>0恒成立，則原命題得證，
∴當x>0時，f(x)>－x－1.

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