1．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則eq \f(|PF1|2,|PF2|)的最小值為( )
A．8 B．5 C．4 D．9
2．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))的最大值是( )
A．4 B．5 C．2 D．1
3．已知雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，eq \r(2))，則△APF周長的最小值為( )
A．4(1＋eq \r(2)) B．4＋eq \r(2) C．2(eq \r(2)＋eq \r(6)) D.eq \r(6)＋3 eq \r(2)
4．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p>0) 上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(2),2) D．1
5．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________．
6．已知F是雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________．
7．已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(\r(3),2)，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為eq \f(2 \r(3),3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．
8．已知雙曲線eq \f(x2,5)－y2＝1的焦點(diǎn)是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的頂點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M，N在橢圓C上，且|MN|＝eq \f(4 \r(3),3)，記直線MN在y軸上的截距為m，求m的最大值．
第2課時(shí)

1．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)到直線x－y＋3 eq \r(2)＝0的距離為5，且橢圓C的一個(gè)長軸端點(diǎn)與一個(gè)短軸端點(diǎn)間的距離為eq \r(10).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)給出定點(diǎn)Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6 \r(5),5)，0))，對(duì)于橢圓C的任意一條過Q的弦AB，eq \f(1,|QA|2)＋eq \f(1,|QB|2)是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．
2．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(\r(2),2)，且過點(diǎn)P(eq \r(2)，1)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若A1，A2分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MA2⊥A1A2，且MA1交橢圓C于不同于A1的點(diǎn)R，求證：eq \(OR,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))為定值．
3．過點(diǎn)P(a，－2)作拋物線C：x2＝4y的兩條切線，切點(diǎn)分別為A(x1，y1), B(x2，y2)．
(1)證明：x1x2＋y1y2為定值；
(2)記△PAB的外接圓的圓心為點(diǎn)M，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)， 對(duì)任意實(shí)數(shù)a，試判斷以PM為直徑的圓是否恒過點(diǎn)F? 并說明理由．
4．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，離心率為eq \f(\r(6),3)，點(diǎn)A，B分別是橢圓與x軸，y軸的交點(diǎn)，且原點(diǎn)O到AB的距離為eq \f(\r(6),2).
(1)求橢圓方程；
(2)如圖，若F是橢圓的右焦點(diǎn)，過F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l繞著點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，試問在直線x＝3上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN是以P為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。
5．已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y＝－x＋3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；
(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．
專題四 圓錐曲線的綜合及應(yīng)用問題
第1課時(shí)
1．A 解析：eq \f(|PF1|2,|PF2|)＝eq \f(?|PF2|＋2?2,|PF2|)＝eq \f(|PF2|2＋4|PF2|＋4,|PF2|)＝|PF2|＋eq \f(4,|PF2|)＋4≥2 eq \r(|PF2|·\f(4,|PF2|))＋4＝8.當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|＝2時(shí)取等號(hào)．
2．D 解析：方法一，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，F(xiàn)1(－eq \r(3)，0)，F(xiàn)2(eq \r(3)，0)，eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)，eq \(PF2,\s\up6(→))＝(eq \r(3)－x0，－y0)，eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝xeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)＝xeq \\al(2,0)－3＋1－eq \f(x\\al(2,0),4)＝eq \f(3,4)xeq \\al(2,0)－2.又因?yàn)閤eq \\al(2,0)≤4，所以eq \f(3,4)xeq \\al(2,0)－2≤1.
方法二，可設(shè)點(diǎn)P(2cs α，sin α)，轉(zhuǎn)化為三角問題，則由eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－2cs α，－sin α)，eq \(PF2,\s\up6(→))＝(eq \r(3)－2cs α，－sin α)，得到eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝3cs 2α－2≤1.故選D.
3．A 解析：易得點(diǎn)F(eq \r(6)，0)，△APF的周長l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要△APF的周長最小，只需|AP|＋|PF′|最小，如圖D137，當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)|AP|＋|PF′|最小，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋eq \r(2))．
圖D137
4．C 解析：設(shè)P(2pt2,2pt)，M(x，y)(不妨設(shè)t>0)，則eq \(FP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2pt2－\f(p,2)，2pt)) .∵|PM|＝2|MF|，
∴eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(FP,\s\up6(→)) .
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)＝\f(2p,3)t2－\f(p,6)，,y＝\f(2pt,3).))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2p,3)t2＋\f(p,3)，,y＝\f(2pt,3).))
∴kOM＝eq \f(2t,2t2＋1)＝eq \f(1,t＋\f(1,2t))≤eq \f(1,2 \r(t·\f(1,2t)))＝eq \f(\r(2),2).
當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq \f(1,2t)時(shí)等號(hào)成立．∴(kOM)max＝eq \f(\r(2),2).
故選C.
5．15 解析：∵|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－|PF2|.
∴|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|.易知點(diǎn)M在橢圓外，連接MF2，并延長交橢圓于點(diǎn)P，此時(shí)|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值為10＋|MF2|＝10＋eq \r(?6－3?2＋42)＝15.
6．9 解析：∵點(diǎn)A在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點(diǎn)為F′(4,0)，∴由雙曲線的性質(zhì)，得|PF|－|PF′|＝2a＝4.而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，兩式相加，得|PF|＋|PA|≥9.當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．
7．解：(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，eq \f(2,c)＝eq \f(2 \r(3),3)，解得c＝eq \r(3).
又eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，
故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
將y＝kx－2代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，得
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>eq \f(3,4)時(shí)，
x1,2＝eq \f(8k±2\r(4k2－3),4k2＋1).
則|PQ|＝eq \r(k2＋1)|x1－x2|＝eq \f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1).
又點(diǎn)O到直線PQ的距離d＝eq \f(2,\r(k2＋1)).
所以△OPQ的面積S△OPQ＝eq \f(1,2)d·|PQ|＝eq \f(4\r(4k2－3),4k2＋1).
設(shè)eq \r(4k2－3)＝t，則t>0，S△OPQ＝eq \f(4t,t2＋4)＝eq \f(4,t＋\f(4,t))≤eq \f(4,2 \r(t·\f(4,t)))＝1.
當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝±eq \f(\r(7),2)時(shí)等號(hào)成立，且滿足Δ>0.
所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為y＝eq \f(\r(7),2)x－2，或y＝－eq \f(\r(7),2)x－2.
8．解：(1)雙曲線eq \f(x2,5)－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq \r(6)，0)，離心率為eq \f(\r(30),5).
因?yàn)殡p曲線eq \f(x2,5)－y2＝1的焦點(diǎn)是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的頂點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，
所以a＝eq \r(6)，且eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(30),6).解得b＝1.
故橢圓C的方程為eq \f(x2,6)＋y2＝1.
(2)因?yàn)閨MN|＝eq \f(4 \r(3),3)>2，所以直線MN的斜率存在．
因?yàn)橹本€MN在y軸上的截距為m，
所以可設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋m.
代入橢圓方程eq \f(x2,6)＋y2＝1，得
(1＋6k2)x2＋12kmx＋6(m2－1)＝0.
因?yàn)棣ぃ?12km)2－24(1＋6k2)(m2－1)＝24(1＋6k2－m2)>0，
所以m20，解得－eq \f(3 \r(2),2)

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