培優(yōu)點(diǎn)十四  外接球1．正棱柱，長方體的外接球球心是其中心例1：已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個球的表面積是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，故選C．2．補(bǔ)形法（補(bǔ)成長方體）例2：若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是       ．【答案】【解析】，．3．依據(jù)垂直關(guān)系找球心例3：已知三棱錐的四個頂點(diǎn)均在同一個球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，所以外接球的半徑是，設(shè)外接球的半徑是，球心到該底面的距離，如圖，則，，由題設(shè)，最大體積對應(yīng)的高為，故，即，解之得， 所以外接球的體積是，故答案為D．一、單選題1．棱長分別為2、、的長方體的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)長方體的外接球半徑為，由題意可知：，則：，該長方體的外接球的表面積為．本題選擇B選項(xiàng)．2．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為（    ）A．12π B．28π C．44π D．60π【答案】B【解析】設(shè)底面三角形的外接圓半徑為，由正弦定理可得：，則，設(shè)外接球半徑為，結(jié)合三棱柱的特征可知外接球半徑，外接球的表面積．本題選擇B選項(xiàng)．3．把邊長為3的正方形沿對角線對折，使得平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】把邊長為3的正方形沿對角線對折，使得平面平面，則三棱錐的外接球直徑為，外接球的表面積為，故選C．4．某幾何體是由兩個同底面的三棱錐組成，其三視圖如下圖所示，則該幾何體外接球的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知，該幾何體是由同底面不同棱的兩個三棱錐構(gòu)成，其中底面是棱長為的正三角形，一個是三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為的正三棱錐，另一個是棱長為的正四面體，如圖所示：該幾何體的外接球與棱長為的正方體的外接球相同，因此外接球的直徑即為正方體的體對角線，所以，所以該幾何體外接球面積，故選C．5．三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，則球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D 【解析】因?yàn)?/span>，，所以，，因此三角形外接圓半徑為，設(shè)外接球半徑為，則，，故選D．6．如圖是邊長為1的正方體，是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)，，，，在同一個球面上，則該球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，連結(jié)，，交點(diǎn)為，連結(jié)，易知球心在直線上，設(shè)球的半徑，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，則該球的表面積．本題選擇D選項(xiàng)．7．已知球的半徑為，，，三點(diǎn)在球的球面上，球心到平面的距離為，，，則球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理得：，設(shè)三角外接圓半徑為，由正弦定理可得：，則，又，解得：，則球的表面積．本題選擇D選項(xiàng)．8．已知正四棱錐(底面四邊形是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心)的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為，則此球的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)正方形的中點(diǎn)為，正四棱錐的外接球心為，底面正方形的邊長為，，正四棱錐的體積為，，則，，在中由勾股定理可得：，解得，，故選C．9．如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，連接，得到三棱錐．若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得該三棱錐的面是邊長為的正三角形，且平面，設(shè)三棱錐外接球的球心為，外接圓的圓心為，則面，∴四邊形為直角梯形，由，，及，得，∴外接球半徑為，∴該球的表面積．故選A．10．四面體中，，，，則此四面體外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，中，，，可知是等邊三角形，，∴的外接圓半徑，，∵，可得，可得，∴，∴，∴四面體高為．設(shè)外接球，為球心，，可得：……①，……②由①②解得：．四面體外接球的表面積：．故選A．11．將邊長為2的正沿著高折起，使，若折起后四點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】中，，，，底面三角形的底面外接圓圓心為，半徑為，由余弦定理得到，再由正弦定理得到，見圖示：是球的弦，，將底面的圓心平行于豎直向上提起，提起到的高度的一半，即為球心的位置，∴，在直角三角形中，應(yīng)用勾股定理得到，即為球的半徑．∴球的半徑．該球的表面積為；故選B．12．在三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】分別取，的中點(diǎn)，，連接相應(yīng)的線段，，，由條件，，，可知，與，都是等腰三角形，平面，∴，同理，∴是與的公垂線，球心在上，推導(dǎo)出，可以證明為中點(diǎn)，，，，∴，球半徑，∴外接球的表面積為．故選D．二、填空題13．棱長均為6的直三棱柱的外接球的表面積是_________．【答案】【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圓半徑為，則外接球的半徑，則外接球的表面積為．14．已知棱長都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為________．【答案】【解析】設(shè)正四棱錐的棱長為，則，解得．于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖的內(nèi)切圓，其中，．∴．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由，得，即，解得，∴內(nèi)切球的表面積為．15．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，，，，則此球的表面積等于______．【答案】【解析】∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，，，，，，，，設(shè)外接圓的半徑為，則，，∴外接球的半徑為，∴球的表面積等于．故答案為．16．在三棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的體積的最小值為_____．【答案】【解析】如圖所示，三棱錐的外接圓即為長方體的外接圓，外接圓的直徑為長方體的體對角線，設(shè)，那么，，所以．由題意，體積的最小值即為最小，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以半徑為，故體積的最小值為．

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