培優(yōu)點(diǎn)二  函數(shù)零點(diǎn)1．零點(diǎn)的判斷與證明例1：已知定義在上的函數(shù)，求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于．【答案】見解析【解析】，，，在單調(diào)遞增，，，，，使得因?yàn)?/span>單調(diào)，所以的零點(diǎn)唯一．2．零點(diǎn)的個數(shù)問題例2：已知函數(shù)滿足，當(dāng)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，當(dāng)時，，所以，而有三個不同零點(diǎn)與有三個不同交點(diǎn)，如圖所示，可得直線應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得：    3．零點(diǎn)的性質(zhì)例3：已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先做圖觀察實(shí)根的特點(diǎn)，在中，通過作圖可發(fā)現(xiàn)在關(guān)于中心對稱，由可得是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個周期中，關(guān)于中心對稱，以此類推。從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點(diǎn)值在何處取到），再看圖像，，可視為將的圖像向左平移2個單位后再向上平移2個單位，所以對稱中心移至，剛好與對稱中心重合，如圖所示：可得共有3個交點(diǎn)，其中，與關(guān)于中心對稱，所以有。所以．4．復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)例4：已知函數(shù)，若方程恰有七個不相同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】考慮通過圖像變換作出的圖像（如圖），因?yàn)?/span>最多只能解出2個，若要出七個根，則，，所以，解得：．一、選擇題1．設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且為增函數(shù)，∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間是．2．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的值滿足（    ）A．  B．C．  D．的符號不確定【答案】C【解析】在上是增函數(shù)，若，則．3．函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>在上是增函數(shù)，則由題意得，解得，故選C． 4．若，則函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間（    ）A．和內(nèi)  B．和內(nèi)C．和內(nèi)  D．和內(nèi)【答案】A【解析】∵，∴，，，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間，內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)是二次函數(shù)，最多有兩個零點(diǎn)．因此函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間，內(nèi)，故選A．5．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的零點(diǎn)個數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，所以，即0是函數(shù)的一個零點(diǎn)，當(dāng)時，令，則，分別畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)，所以函數(shù)有一個零點(diǎn)，根據(jù)對稱性知，當(dāng)時函數(shù)也有一個零點(diǎn)．綜上所述，的零點(diǎn)個數(shù)為3．6．函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（    ）A．3 B．2 C．7 D．0【答案】B【解析】方法一：由得或，解得或，因此函數(shù)共有2個零點(diǎn)． 方法二：函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)共有2個零點(diǎn)．7．已知函數(shù)，則使方程有解的實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A．  B．C．  D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，即，解得；當(dāng)時，，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選D．8．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個零點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A．  B．C．  D．【答案】B【解析】當(dāng)時，與軸無交點(diǎn)，不合題意，所以；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以，即，解得或．故選B．9．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A．  B．C．  D．【答案】D【解析】函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，畫出的大致圖象（圖略）．觀察它與直線的交點(diǎn)，得知當(dāng)或時，有交點(diǎn)，即函數(shù)有零點(diǎn)．故選D．10．已知是奇函數(shù)且是上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，因?yàn)?/span>是上的單調(diào)函數(shù)，所以，只有一個實(shí)根，即只有一個實(shí)根，則，解得．11．已知當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A．  B．C．  D．【答案】B【解析】在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)與的大致圖象．分兩種情形：（1）當(dāng)時，，如圖①，當(dāng)時，與的圖象有一個交點(diǎn)，符合題意．（2）當(dāng)時，，如圖②，要使與的圖象在上只有一個交點(diǎn)，只需，即，解得或（舍去）．綜上所述，．故選B．   12．已知函數(shù)和在的圖像如下，給出下列四個命題：（1）方程有且只有6個根（2）方程有且只有3個根（3）方程有且只有5個根（4）方程有且只有4個根則正確命題的個數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】每個方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計(jì)出的總數(shù)．（1）中可得，，，進(jìn)而有2個對應(yīng)的，有2個，有2個，總計(jì)6個，（1）正確；（2）中可得，，進(jìn)而有1個對應(yīng)的，有3個，總計(jì)4個，（2）錯誤；（3）中可得，，，進(jìn)而有1個對應(yīng)的，有3個，有1個，總計(jì)5個，（3）正確；（4）中可得：，，進(jìn)而有2個對應(yīng)的，有2個，共計(jì)4個，（4）正確則綜上所述，正確的命題共有3個． 二、填空題13．函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為________．【答案】2【解析】由，得，作出函數(shù)和的圖象， 由上圖知兩函數(shù)圖象有2個交點(diǎn)，故函數(shù)有2個零點(diǎn)．14．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，若，，則所在的區(qū)間是______．【答案】【解析】令，則，易知為增函數(shù)，且，，∴所在的區(qū)間是．15．函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是________．【答案】2【解析】當(dāng)時，令，解得（正根舍去），所以在上有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，恒成立，所以在上是增函數(shù)．又因?yàn)?/span>，，所以在上有一個零點(diǎn)，綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2．16．已知函數(shù)，，若方程恰有4個互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________．【答案】【解析】設(shè)，，在同一直角坐標(biāo)系中作出，的圖象如圖所示．由圖可知有4個互異的實(shí)數(shù)根等價于與的圖象有4個不同的交點(diǎn)且4個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1，所以有兩組不同解，消去得有兩個不等實(shí)根，所以，即，解得或．又由圖象得，∴或．三、解答題17．關(guān)于的二次方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】顯然不是方程的解，時，方程可變形為，又∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上的取值范圍是，∴，∴，故的取值范圍是．18．設(shè)函數(shù)．（1）作出函數(shù)的圖象；（2）當(dāng)且時，求的值；（3）若方程有兩個不相等的正根，求的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）．【解析】（1）如圖所示．（2）∵故在上是減函數(shù)，而在上是增函數(shù)．由且，得且，∴．（3）由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，方程有兩個不相等的正根．

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