?2021-2022學(xué)年河南省信陽(yáng)市商城縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）在下列圖案中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列運(yùn)算中正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)5?a3＝a15 B．（a2）3＝a8
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．3a3b2÷a2b2＝3a
3．（3分）以下列數(shù)據(jù)為長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（　　）
A．2cm、3cm、5cm B．2cm、3cm、4cm
C．3cm、5cm、9cm D．8cm、4cm、4cm
4．（3分）若一粒米的質(zhì)量約是0.000021kg，將數(shù)據(jù)0.000 021用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．21×10﹣4 B．2.1×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．2.1×10﹣4
5．（3分）如圖，將直尺與含30°角的三角尺擺放在一起，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
6．（3分）若把分式中的x、y都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，那么分式的值（　?。?br /> A．不變 B．縮小到原來(lái)的
C．?dāng)U大到原來(lái)的3倍 D．?dāng)U大到原來(lái)的9倍
7．（3分）如圖，∠B＝∠E，∠1＝∠2，若根據(jù)“ASA“判定△ABC≌△DEF，那么要補(bǔ)充的條件是（　　）

A．AC＝DF B．AB＝DE C．BF＝CF D．BF＝CE
8．（3分）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（　?。?br /> A．x2+2x+3＝x（x+2）+3
B．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
C．3x2﹣12y2＝3（x+2y）（x﹣2y）
D．2（x+y）＝2x+2y
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，射線AP交BC于點(diǎn)D，若CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是（　?。?br />
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF＝90°，P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形PEAF＝S△ABC；④EF＝AP，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）若a﹣b＝3，ab＝2，則a2b﹣ab2＝　 ?。?br /> 12．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 　 ?。?br /> 13．（3分）若實(shí)數(shù)a，b滿足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，則以a，b的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是 　 ?。?br /> 14．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE的垂直平分線AB分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE，若BE＝6cm，則AC等于 　 　cm．

15．（3分）如圖，∠BOC＝60°，A是BO的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OA＝12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)△OPQ是等腰三角形時(shí)，移動(dòng)的時(shí)間是 　 ?。?br />
三、解答題（共75分）
16．（10分）計(jì)算：
（1）（）﹣1﹣（π﹣2020）0+（﹣1）2021；
（2）（m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）．
17．（8分）先化簡(jiǎn)，再?gòu)末?，﹣1，0，1，2中選一個(gè)合適的整數(shù)作為x的值代入求值．
18．（9分）在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，線段CD和CE分別為△ABC的角平分線和高線，求∠ADC和∠DCE的度數(shù)．

19．（9分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，5），B（1，﹣2），C（4，0）．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A'B'C'，并求出A'點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）在y軸上畫(huà)出點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，保留作圖痕跡．

20．（9分）如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b＜a）的小正方形．如圖2所示是由圖1中的陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．
（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，則S1＝　 　，S2＝　 　（直接用含a，b的代數(shù)式表示）
（2）請(qǐng)寫(xiě)出上述過(guò)程所揭示的數(shù)學(xué)公式；
（3）試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．

21．（9分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司購(gòu)買(mǎi)了A、B兩種不同型號(hào)的口罩，已知A型口罩的單價(jià)比B型口罩的單價(jià)多1.5元，且用8000元購(gòu)買(mǎi)A型口罩的數(shù)量與用5000元購(gòu)買(mǎi)B型口罩的數(shù)量相同．
（1）A、B兩種型號(hào)口罩的單價(jià)各是多少元？
（2）根據(jù)疫情發(fā)展情況，該公司還需要增加購(gòu)買(mǎi)一些口罩，增加購(gòu)買(mǎi)B型口罩?jǐn)?shù)量是A型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過(guò)3800元，則增加購(gòu)買(mǎi)A型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？
22．（10分）如圖，以△ABC的兩邊AB，AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，DC，BE相交于點(diǎn)O．
（1）求證：DC＝BE；
（2）求∠BOC的度數(shù)；
（3）∠BAC的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠BOC的度數(shù)是否變化？若不變化，請(qǐng)求出∠BOC的度數(shù)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

23．（11分）（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE＝BD+CE．
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀并說(shuō)明理由．


2021-2022學(xué)年河南省信陽(yáng)市商城縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）在下列圖案中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；
B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意；
C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意；
D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意．
故選：A．
2．（3分）下列運(yùn)算中正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)5?a3＝a15 B．（a2）3＝a8
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．3a3b2÷a2b2＝3a
【分析】根據(jù)整式的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：A．a(chǎn)5?a3＝a8，故A不符合題意；
B．（a2）3＝a6，故B不符合題意；
C．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故C不符合題意；
D.3a3b2÷a2b2＝3a，故D符合題意；
故選：D．
3．（3分）以下列數(shù)據(jù)為長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（　　）
A．2cm、3cm、5cm B．2cm、3cm、4cm
C．3cm、5cm、9cm D．8cm、4cm、4cm
【分析】三角形的三條邊必須滿足：任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊．
【解答】解：A、2+3＝5，故不能組成三角形，不符合題意；
B、2+3＞4，能組成三角形，符合題意；
C、3+5＜9，不能組成三角形，不符合題意；
D、4+4＝8，不能組成三角形，不符合題意．
故選：B．
4．（3分）若一粒米的質(zhì)量約是0.000021kg，將數(shù)據(jù)0.000 021用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．21×10﹣4 B．2.1×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．2.1×10﹣4
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【解答】解：0.000021＝2.1×10﹣5；
故選：C．
5．（3分）如圖，將直尺與含30°角的三角尺擺放在一起，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)是（　?。?br />
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】首先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BEF的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2的度數(shù)．
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°，
故選：A．

6．（3分）若把分式中的x、y都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，那么分式的值（　?。?br /> A．不變 B．縮小到原來(lái)的
C．?dāng)U大到原來(lái)的3倍 D．?dāng)U大到原來(lái)的9倍
【分析】由題意可知x、y都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍分別為3x，3y，然后再進(jìn)行計(jì)算即可判斷．
【解答】解：由題意得：
x、y都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍后分別為：3x，3y，
∴＝，
∴分式的值不變，
故選：A．
7．（3分）如圖，∠B＝∠E，∠1＝∠2，若根據(jù)“ASA“判定△ABC≌△DEF，那么要補(bǔ)充的條件是（　?。?br />
A．AC＝DF B．AB＝DE C．BF＝CF D．BF＝CE
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A．∠B＝∠E，∠1＝∠2，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∠B＝∠E，∠1＝∠2，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∠B＝∠E，∠1＝∠2，BF＝CF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
8．（3分）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3
B．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
C．3x2﹣12y2＝3（x+2y）（x﹣2y）
D．2（x+y）＝2x+2y
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A．等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；
D．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，射線AP交BC于點(diǎn)D，若CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是（　?。?br />
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】作DH⊥AB于H，如圖，利用基本作圖得到AD平分∠BAC，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)DH＝DC＝1，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如圖，
由作法得AD平分∠BAC，
∴DH＝DC＝1，
∴△ABD的面積＝×1×4＝2．
故選：A．

10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF＝90°，P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形PEAF＝S△ABC；④EF＝AP，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝∠BAP＝∠CAP＝45°，AP＝PC＝PB，∠APC＝∠EPF＝90°，求出∠APE＝∠CPF，證△APE≌△CPF，推出AE＝CF，EP＝PF，推出SAPE＝S△CPF，求出S四邊形AEPF＝S△APC＝S△ABC，求出BE+CF＝AE+AF＞EF，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中點(diǎn)，
∴∠B＝∠C＝∠BAP＝∠CAP＝45°，AP＝PC＝PB，∠APC＝∠EPF＝90°，
∴∠EPF﹣∠APF＝∠APC﹣∠APF，
∴∠APE＝∠CPF，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE＝CF，EP＝PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正確；②正確；
∵△APE≌△CPF，
∴SAPE＝S△CPF，
∴S四邊形AEPF＝S△AEP+S△APF＝S△CPF+S△APF＝S△APC＝S△ABC，
∴③正確；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，
∴AP＝BC，
∵EF不是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，
故④錯(cuò)誤；
即正確的有①②③，
故選：A．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）若a﹣b＝3，ab＝2，則a2b﹣ab2＝　6?。?br /> 【分析】直接將原式提取公因式分解因式，進(jìn)而代入求出即可．
【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝2，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×3＝6．
故答案為：6．
12．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 　6?。?br /> 【分析】利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．
【解答】解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，
則內(nèi)角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6．
故答案為：6．
13．（3分）若實(shí)數(shù)a，b滿足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，則以a，b的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是 　15?。?br /> 【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b，再分情況討論求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意得，a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得a＝3，b＝6．
①若a＝3是腰長(zhǎng)，則底邊為6，三角形的三邊分別為3、3、6，
∵3+3＝6，
∴不能組成三角形，
②若a＝6是腰長(zhǎng)，則底邊為3，三角形的三邊分別為6、6、3，
能組成三角形，
周長(zhǎng)＝6+6+3＝15．
故答案為：15．
14．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE的垂直平分線AB分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE，若BE＝6cm，則AC等于 　3　cm．

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)線段垂直平分性質(zhì)求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)E，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×6＝3cm．
故答案為：3．
15．（3分）如圖，∠BOC＝60°，A是BO的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OA＝12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)△OPQ是等腰三角形時(shí)，移動(dòng)的時(shí)間是 　4s或12s?。?br />
【分析】根據(jù)△OPQ是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)P在AO上，或點(diǎn)P在BO上．
【解答】解：當(dāng)PO＝QO時(shí)，△POQ是等腰三角形；
如圖1所示：

∵PO＝AO﹣AP＝12﹣2t，OQ＝1t
∴當(dāng)PO＝QO時(shí)，
12﹣2t＝t
解得t＝4；
當(dāng)PO＝QO時(shí)，△POQ是等腰三角形；
如圖2所示：
∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣12，OQ＝t；
∴當(dāng)PO＝QO時(shí)，2t﹣12＝t；
解得t＝12；
故答案為：4s或12s．
三、解答題（共75分）
16．（10分）計(jì)算：
（1）（）﹣1﹣（π﹣2020）0+（﹣1）2021；
（2）（m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）．
【分析】（1）首先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和乘方，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．
（2）根據(jù)完全平方公式、平方差公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）（）﹣1﹣（π﹣2020）0+（﹣1）2021
＝3﹣1+（﹣1）
＝1．

（2）（m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）
＝m2﹣2mn+n2﹣（m2﹣4n2）
＝m2﹣2mn+n2﹣m2+4n2
＝﹣2mn+5n2．
17．（8分）先化簡(jiǎn)，再?gòu)末?，﹣1，0，1，2中選一個(gè)合適的整數(shù)作為x的值代入求值．
【分析】先根據(jù)分式的加法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)分式有意義的條件求出x的值，最后代入化簡(jiǎn)后的式子即可求出答案．
【解答】原式＝÷+
＝?+
＝+
＝
由分式有意義的條件可知：x≠﹣1，1，2，
∴x＝0或﹣2，
當(dāng)x＝0時(shí)，
原式＝＝﹣1．
18．（9分）在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，線段CD和CE分別為△ABC的角平分線和高線，求∠ADC和∠DCE的度數(shù)．

【分析】根據(jù)題干中給出的條件可以求得∠B和∠ACB的大小，根據(jù)線段CD和CE分別為△ABC的角平分線和高線，即可求得∠ADC、∠DCE的大?。?br /> 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣36°）＝72°，
∵線段CD為△ABC的角平分線，
∴∠ACD＝∠BCD＝36°，
在△ACD中，∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∵線段CE為△ABC的高線，
∴∠BEC＝90°，
在△BEC中，∠ECB＝180°﹣∠B﹣∠BEC＝180°﹣72°﹣90°＝18°，
所以∠DCE＝∠DCB﹣∠BCE＝36°﹣18°＝18°．
∴∠ADC＝108°，∠DCE＝18°．
19．（9分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，5），B（1，﹣2），C（4，0）．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A'B'C'，并求出A'點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）在y軸上畫(huà)出點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，保留作圖痕跡．

【分析】（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A'B'C'，并求出A'點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)網(wǎng)格即可求△ABC的面積；
（3）連接A′C即可在y軸上畫(huà)出點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。?br /> 【解答】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求；

A′（﹣1.5）
（2）S△ABC＝×7×3＝10.5；
（3）如圖，點(diǎn)P為所作．
20．（9分）如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b＜a）的小正方形．如圖2所示是由圖1中的陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．
（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，則S1＝　a2﹣b2　，S2＝　（a+b）（a﹣b）?。ㄖ苯佑煤琣，b的代數(shù)式表示）
（2）請(qǐng)寫(xiě)出上述過(guò)程所揭示的數(shù)學(xué)公式；
（3）試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．

【分析】（1）分別根據(jù)圖1和圖2表示陰影部分的面積即可；
（2）由（1）題結(jié)果可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）將原式變形為（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，再運(yùn)用（2）題結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）由圖1可表示陰影部分的面積為：a2﹣b2，
由圖2可表示陰影部分的面積為：（a+b）（a﹣b），
故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）結(jié)果可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）利用（2）題結(jié)論可得，
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝
（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝216﹣1+1
＝216．
21．（9分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司購(gòu)買(mǎi)了A、B兩種不同型號(hào)的口罩，已知A型口罩的單價(jià)比B型口罩的單價(jià)多1.5元，且用8000元購(gòu)買(mǎi)A型口罩的數(shù)量與用5000元購(gòu)買(mǎi)B型口罩的數(shù)量相同．
（1）A、B兩種型號(hào)口罩的單價(jià)各是多少元？
（2）根據(jù)疫情發(fā)展情況，該公司還需要增加購(gòu)買(mǎi)一些口罩，增加購(gòu)買(mǎi)B型口罩?jǐn)?shù)量是A型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過(guò)3800元，則增加購(gòu)買(mǎi)A型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？
【分析】（1）設(shè)A型口罩的單價(jià)為x元，則B型口罩的單價(jià)為（x﹣1.5）元，根據(jù)“用8000元購(gòu)買(mǎi)A型口罩的數(shù)量與用5000元購(gòu)買(mǎi)B型口罩的數(shù)量相同”列出方程并解答；
（2）設(shè)增加購(gòu)買(mǎi)A型口罩的數(shù)量是m個(gè)，根據(jù)“增加購(gòu)買(mǎi)B型口罩?jǐn)?shù)量是A型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過(guò)3800元”列出不等式．
【解答】解：（1）設(shè)A型口罩的單價(jià)為x元，則B型口罩的單價(jià)為（x﹣1.5）元，
根據(jù)題意，得：＝．
解方程，得：x＝4．
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的根，且符合題意．
所以x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的單價(jià)為4元，則B型口罩的單價(jià)為2.5元；

（2）設(shè)增加購(gòu)買(mǎi)A型口罩的數(shù)量是m個(gè)，
根據(jù)題意，得：2.5×2m+4m≤3800．
解不等式，得：m≤422．
因?yàn)閙為正整數(shù)，所以正整數(shù)m的最大值為422．
答：增加購(gòu)買(mǎi)A型口罩的數(shù)量最多是422個(gè)．
22．（10分）如圖，以△ABC的兩邊AB，AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，DC，BE相交于點(diǎn)O．
（1）求證：DC＝BE；
（2）求∠BOC的度數(shù)；
（3）∠BAC的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠BOC的度數(shù)是否變化？若不變化，請(qǐng)求出∠BOC的度數(shù)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）易證∠DAB＝∠EAC＝60°，AD＝AB，AE＝AC，即可求得∠DAC＝∠BAE，即可證明△DAC≌△BAE；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得∠ADC＝∠ABE，即可求得∠ODB+∠OBD＝∠ADB+∠ABD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可解題；
（3）由（2）可得∠ODB+∠OBD＝∠ADB+∠ABD，因此可以判定∠BOC和∠BAC大小無(wú)關(guān)．
【解答】解：（1）∵△ADB和△AEC都是等邊三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，AD＝AB，AE＝AC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AC＝AE，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
∴DC＝BE；

（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠ODB+∠OBD＝∠ADB﹣∠ADC+∠ABD+∠ABE＝∠ADB+∠ABD＝120°，
∴∠BOC＝∠ODB+∠OBD＝120°；

（3）不變化，為120°，
理由：∵由（2）可得∠BOC＝∠ODB+∠OBD＝120°；
∴∠BOC和∠BAC大小無(wú)關(guān)．
23．（11分）（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE＝BD+CE．
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀并說(shuō)明理由．

【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進(jìn)而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論；
（3）由等邊三角形的性質(zhì)，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，進(jìn)而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，就有△DEF為等邊三角形．
【解答】解：（1）如圖1，∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）如圖2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（3）如圖3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF為等邊三角形．





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