一、選擇題（共20小題；共100分）
1. 橢圓 x2+y28=1 的離心率為
A. 144B. 78C. 104D. 18

2. 已知橢圓 C 的焦點(diǎn)為 F1?1,0，F(xiàn)21,0．過(guò)點(diǎn) F1 的直線與 C 交于 A，B 兩點(diǎn)．若 △ABF2 的周長(zhǎng)為 8，則橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為
A. x216+y215=1B. x28+y27=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1

3. 已知橢圓 C:x22+y2=1，則橢圓 C 的離心率為
A. 32B. 12C. 22D. 13

4. 橢圓 x2+my2=1 的焦點(diǎn)在 y 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則 m 的值為
A. 14B. 13C. 12D. 4

5. 已知點(diǎn) F1，F(xiàn)2 是橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點(diǎn)，P 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) Q 在射線 F1P 的延長(zhǎng)線上，且 PQ=PF2，若 PQ 的最小值為 1，最大值為 9，則橢圓的離心率為
A. 35B. 13C. 45D. 19

6. 已知 F1，F(xiàn)2 分別是橢圓 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右焦點(diǎn)，M 是橢圓短軸的端點(diǎn)，點(diǎn) N 在橢圓上，若 MF1=3NF2，則橢圓 E 的離心率為
A. 13B. 12C. 22D. 63

7. 已知橢圓 x216+y29=1 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 在橢圓上．若 PF1⊥PF2，則點(diǎn) P 到 x 軸的距離為
A. 95B. 3C. 977D. 94

8. 如圖所示，在圓錐內(nèi)放入連個(gè)球 O1，O2，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切），切點(diǎn)圓（圖中粗線所示）分別為 ⊙C1，⊙C2．這兩個(gè)球都與平面 a 相切，切點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，丹德林（G.Dandelin）利用這個(gè)模型證明了平面 a 與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2 為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也稱為 Dandelin 雙球．若圓錐的母線與它的軸的夾角為 30°，⊙C1，⊙C2 的半徑分別為 1,4，點(diǎn) M 為 ⊙C2 上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn) P 為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則從點(diǎn) P 沿圓錐表面到達(dá) M 的路線長(zhǎng)與線段 PF1 的長(zhǎng)之和的最小值是
A. 6B. 8C. 33D. 43

9. 若直線 x?2y+2=0 經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
A. x25+y2=1B. y25+x24=1
C. x25+y2=1 或 y25+x24=1D. 以上答案都不對(duì)

10. 設(shè)橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，P 是橢圓上一點(diǎn)，∣PF1∣=λ∣PF2∣12≤λ≤2，∠F1PF2=π2，則橢圓離心率的取值范圍為
A. 0,22B. 22,53C. 23,53D. 53,1

11. 傾斜角為 π4 的直線經(jīng)過(guò)橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 右焦點(diǎn) F，與橢圓交于 A，B 兩點(diǎn)，且 AF=2FB，則該橢圓的離心率為
A. 32B. 23C. 22D. 33

12. 已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn) 是橢圓 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦點(diǎn)，A，B 分別為 C 的左，右頂點(diǎn)．P 為 C 上一點(diǎn)，且 PF⊥x 軸．過(guò)點(diǎn) A 的直線 l 與線段 PF 交于點(diǎn) M，與 y 軸交于點(diǎn) E．若直線 BM 經(jīng)過(guò) OE 的中點(diǎn)，則 C 的離心率為
A. 13B. 12C. 23D. 34

13. 設(shè) F 是橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的一個(gè)焦點(diǎn)，P 是 C 上的點(diǎn)，圓 x2+y2=a29 與線段 PF 交于 A，B 兩點(diǎn)，若 A，B 是線段 PF 的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則 C 的離心率為
A. 33B. 53C. 104D. 175

14. 已知雙曲線 C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一條漸近線方程為 y=52x，且與橢圓 x212+y23=1 有公共焦點(diǎn)，則 C 的方程為
A. x28?y210=1B. x24?y25=1C. x25?y24=1D. x24?y23=1

15. 已知 F1，F(xiàn)2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足 MF1?MF2=0 的點(diǎn) M 總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是
A. 0,1B. 0,12C. 0,22D. 22,1

16. 點(diǎn) M 在直線 l:x=2 上，若橢圓 C:x2+y24=1 上存在兩點(diǎn) A，B，使得 △MAB 是等腰三角形，則稱橢圓 C 具有性質(zhì) P．下列結(jié)論中正確的是
A. 對(duì)于直線 l 上的所有點(diǎn)，橢圓 C 都不具有性質(zhì) P
B. 直線 l 上僅有有限個(gè)點(diǎn)，使橢圓 C 具有性質(zhì) P
C. 直線 l 上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)），使橢圓 C 具有性質(zhì) P
D. 對(duì)于直線 l 上的所有點(diǎn)，橢圓 C 都具有性質(zhì) P

17. 我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知 F1，F(xiàn)2 是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，P 是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng) ∠F1PF2=60° 時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中橢圓的離心率為
A. 33B. 32C. 22D. 12

18. 已知橢圓 x216+y215=1 上有 n 個(gè)不同的點(diǎn) P1，P2，P3，?，Pn，橢圓右焦點(diǎn)為 F，數(shù)列 PnF 是公差大于 12018 的等差數(shù)列，則 n 的最大值為
A. 2017B. 2018C. 4036D. 4037

19. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1?c,0，F(xiàn)2c,0，若橢圓上一點(diǎn) P 滿足 PF2⊥x 軸，且 PF1 與圓 x2+y2=c24 相切，則該橢圓的離心率為
A. 33B. 12C. 22D. 63

20. 設(shè) e1，e2 分別為具有公共焦點(diǎn) F1 與 F2 的橢圓和雙曲線的離心率，P 為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足 PF1?PF2=0，則 1e12+1e22 的值為
A. 12B. 1C. 2D. 4

二、填空題（共5小題；共25分）
21. 已知橢圓 y29+x25=1 的上焦點(diǎn)為 F，M 是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn) A23,0，當(dāng)點(diǎn) M 在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MA+MF 的最大值為 ．

22. 一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓 x216+y24=1 的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在 x 軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．

23. 已知橢圓 C:x22+y2=1 的兩焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) Px0,y0 滿足 00，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為 4，離心率為 55．求橢圓的方程．

27. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦點(diǎn)為 F1,0，離心率為 22．
（1）求橢圓 C 的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn) F 的直線 l 不與坐標(biāo)軸垂直，直線 l 與橢圓 C 相交于點(diǎn) A，B，且線段 AB 的中點(diǎn)為 M，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O 作射線 OM 與橢圓 C 交于點(diǎn) N，若四邊形 OANB 為平行四邊形，求直線 l 的方程．

28. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 63，橢圓 C 上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為 6．
（1）求橢圓 C 的方程；
（2）設(shè)直線 l:y=kx?2 與橢圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P0,1，且 PA=PB，求直線 l 的方程．

29. 已知直線 l:x=x+6，圓 O:x2+y2=5，橢圓 E:y2a2+x2b2=1a>b>0 的離心率 e=33，直線 l 被圓 O 截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等．
（1）求橢圓 E 的方程；
（2）過(guò)圓 O 上任意一點(diǎn) P 作橢圓 E 的兩條切線，若切線的斜率都存在，求證：兩條切線斜率之積為定值．

30. 已知橢圓 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 為橢圓 C 上一點(diǎn)，∠F1PF2=120°，∣PF1∣=2+3，∣PF2∣=2?3．
（1）求橢圓 C 的方程．
（2）求點(diǎn) P 的坐標(biāo)．

31. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率 e=32，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) D0,1．
（1）求橢圓 C 的方程；
（2）已知點(diǎn) A?1,0 和點(diǎn) B?4,0，過(guò)點(diǎn) B 的動(dòng)直線 l 交橢圓 C 于 M，N 兩點(diǎn)（M 在 N 左側(cè)），試討論 ∠BAM 與 ∠OAN 的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】由橢圓 x2+y28=1 知 a=22，b=1，則 c=7，
所以橢圓的離心率為 722=144．
2. C
3. C
4. A【解析】在橢圓 y21m+x2=1 中，a2=1m，b2=1，
所以 2×1m=2×1×2=4，
所以 m=14．
5. C
【解析】因?yàn)?PQ=PF2，PQ 的最小值為 1，最大值為 9，
所以 PF2 的最大值為 a+c=9，最小值為 a?c=1，
所以 a=5，c=4，
所以橢圓的離心率為 e=ca=45．
6. C
7. C【解析】由題意橢圓 x216+y29=1 的半焦距 c=7，
又因?yàn)?PF1⊥PF2，
所以點(diǎn) P 在以 7 為半徑，以原點(diǎn)為圓心的圓上，
即 x2+y2=7，與橢圓 x216+y29=1 聯(lián)立，可得 y=±977，
所以點(diǎn) P 到 x 軸的距離為 977．
8. A
9. C【解析】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為 0,1，?2,0．
由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，c=2，b=1，
所以 a2=5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn) x25+y2=1．
當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，b=2，c=1，
所以 a2=5，
所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y25+x24=1．
10. B
【解析】設(shè) F1?c,0，F(xiàn)2c,0，由橢圓的定義可得，∣PF1∣+∣PF2∣=2a，
可設(shè) ∣PF2∣=t，可得 ∣PF1∣=λt，
即有 λ+1t=2a ??①，
由 ∠F1PF2=π2，
可得 ∣PF1∣2+∣PF2∣2=4c2，
即為 λ2+1t2=4c2 ??②，
由 ② ÷ ① 2，可得 e2=λ2+1λ+12．
另 m=λ+1，可得 λ=m?1，
即有 e2=λ2+1λ+12=m2?2m+2m2=21m?122+12，
由 12≤λ≤2，
可得 32≤m≤3，
即 13≤1m≤23，
則當(dāng) m=2 時(shí)，e2 取得最小值 12；
當(dāng) m=32 或 m=3 時(shí)，e2 取得最大值 59．即 12≤e2≤59，
解得 22≤e≤53．
11. B
12. A【解析】設(shè) E0,m，則直線 AE 的方程為 ?xa+ym=1，由題意可知 M?c,m?mca，0,m2 和 Ba,0 三點(diǎn)共線，則 m?mca?m2?c=m2?a，化簡(jiǎn)得 a=3c，則 C 的離心率 e=ca=13．
13. D【解析】如圖所示，設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 D，連接 OD，OA，
設(shè)橢圓 C 的左、右焦點(diǎn)分別為 F，F(xiàn)1，連接 PF，PF1．
設(shè) ∣OD∣=t，
因?yàn)辄c(diǎn) A，B 是線段 PF 的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
所以點(diǎn) D 為線段 PF 的中點(diǎn)，
所以 OD∥PF1，且 ∣PF1∣=2t，PF1⊥PF．
因?yàn)?∣PF∣=3∣AB∣=6∣AD∣=6a32?t2，
根據(jù)橢圓的定義，得 ∣PF∣+∣PF1∣=2a，
所以 6a32?t2+2t=2a，
解得 t=a5 或 t=0（舍去）．
所以 ∣PF∣=8a5，∣PF1∣=2a5．
在 Rt△PFF1 中，
∣PF∣2+∣PF1∣2=∣FF1∣2，
即 8a52+2a52=2c2，
得 c2a2=1725，
所以 C 的離心率 e=ca=175．
14. B【解析】橢圓 x212+y23=1 的焦點(diǎn)坐標(biāo) ±3,0，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ±3,0，可得 c=3，
雙曲線 C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一條漸近線方程為 y=52x，
可得 ba=52，即 c2?a2a2=54，可得 ca=32，解得 a=2，b=5，
所求的雙曲線方程為：x24?y25=1．
15. C
【解析】因?yàn)闈M足 MF1?MF2=0 的點(diǎn) M 在圓 x2+y2=c2 上，
所以圓 x2+y2=c2 在橢圓內(nèi)部，即 c0?4k2+1>t2，
由韋達(dá)定理，y1+y2=?8kt4k2+1，
設(shè) AB 中點(diǎn)為 T，則 Tt4k2+1,?4kt4k2+1，
AB 中垂線方程為 y=?kx?t4k2+1?4kt4k2+1，
令 x=2，y=?2k?3kt4k2+1，
故 M2,?2k?3kt4k2+1 是符合條件的點(diǎn)．
令 t=0，M2,?2k，
這意味著，對(duì)于 l 上任意一點(diǎn) M2,m，在橢圓上都有 A，B 兩點(diǎn)使 MA=MB，AB 方程為 x=?12my．
17. A【解析】設(shè) F1P=m，F(xiàn)2P=n，F(xiàn)1F2=2c，
由余弦定理得 2c2=m2+n2?2mncs60°，即 4c2=m2+n2?mn，
設(shè) a1 是橢圓的實(shí)半軸，a2 是雙曲線的實(shí)半軸，
由橢圓及雙曲線定義，得 m+n=2a1，m?n=2a2，
所以 m=a1+a2，n=a1?a2，
將它們及離心率互為倒數(shù)關(guān)系代入前式得 3a22?4c2+a12=0，
a1=3a2，e1?e2=ca1?ca2=ca1?3ca1=1，
即 3e12=1，
所以 e1=33．
18. C【解析】由已知的橢圓方程可得 a2=16，b2=15，
所以 c=1．
因?yàn)閿?shù)列 PnF 是公差大于 12018 的等差數(shù)列，
所以數(shù)列 PnF 為遞增數(shù)列，其最小項(xiàng)為 P1F=a?c=3，最大項(xiàng)為 PnF=a+c=5．
設(shè)數(shù)列 PnF 的公差為 d，則 5=3+n?1d，
所以 d=2n?1，
由 2n?1>12018，可得 nn>0，
根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得 m+n=2a1，m?n=2a2，
解得 m=a1+a2，n=a1?a2，
又 PF1?PF2=0，即 PF1⊥PF2，
由勾股定理得 PF12+PF22=F1F22，
即 m2+n2=2c2，
即 a1+a22+a1?a22=2c2，
化簡(jiǎn)可得 a12+a22=2c2，1e12+1e22=2．
第二部分
21. 10
【解析】如圖，取橢圓的下焦點(diǎn) E，取橢圓上任一點(diǎn) M，
由題意可得 A 在橢圓外，由橢圓的定義可得：∣MA∣+∣MF∣=∣MA∣+2a?∣ME∣≤2a+∣AE∣，當(dāng)且僅當(dāng) A，E，M 三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，由橢圓的方程可得 c2=a2?b2=9?5=4，所以下焦點(diǎn) E0,?2，2a=6，所以 AE=232+22=4，所以 MA+MF 的最大值為 6+4=10．
22. x?322+y2=254
【解析】由已知得該圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn) A4,0，B0,2，C0,?2．
易知線段 AB 的垂直平分線的方程為 2x?y?3=0，
令 y=0，得 x=32，
所以圓心坐標(biāo)為 32,0，則半徑 r=4?32=52．
故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x?322+y2=254．
23. 2,22
【解析】由點(diǎn) Px0,y0 滿足 00．
設(shè)滿足題意的橢圓 E 的兩條切線的斜率分別為 k1，k2，
則 k1k2=?y02?32?x02．
因?yàn)辄c(diǎn) P 在圓 O 上，
所以 x02+y02=5，
所以 k1k2=?5?x02?32?x02=?1．
所以兩條切線斜率之積為定值 ?1 .
30. （1） 2a=PF1+PF2=4，
所以 a=2，
在 △PF1F2 中，由余弦定理可得 ∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2?2∣PF1∣∣PF2∣cs120°，
所以 4c2=15，
所以 c=152，
b2=a2?c2=4?154=14,
故橢圓的方程為 x24+4y2=1．
（2） 設(shè)點(diǎn) Pm,n，由題意可知 m>0，
S△PF1F2=12∣PF1∣∣PF2∣sin120°=12×2+3×2?3×32=12×2c×∣n∣.
所以 n=±510．
將點(diǎn) P 的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得 m24+15=1，解得 m=455，
故點(diǎn) P455,510 或 P455,?510．
31. （1） 由已知 b=1，e=ca=32，
又 a2=b2+c2，解得 a=2，b=1．
所以橢圓 C 的方程為 x24+y2=1．
（2） 依題意設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+4，設(shè) Mx1,y1，Nx2,y2．
聯(lián)立 x24+y2=1,y=kx+4, 消去 y，得 4k2+1x2+32k2x+64k2?4=0，
則 Δ=161?12k2>0，解得 ?36

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