一、選擇題（共20小題；共100分）
1. 直線 y=kx?k+1 與橢圓 x29+y24=1 的位置關(guān)系為
A. 相交B. 相切C. 相離D. 不確定

2. 直線 y=kx?k+1 與橢圓 x29+y24=1 的位置關(guān)系是
A. 相交B. 相切C. 相離D. 不確定

3. 直線 y=kx?k+1（k 為實(shí)數(shù)）與橢圓 x29+y24=1 的位置關(guān)系為
A. 相交B. 相切
C. 相離D. 相交、相切、相離都有可能

4. 設(shè)橢圓 C:x24+y2=1 的左焦點(diǎn)為 F，直線 l:y=kxk≠0 與橢圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，則 AF+BF 的值是
A. 2B. 23C. 4D. 43

5. 若直線 mx+ny=4 與 ⊙O:x2+y2=4 沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn) Pm,n 的直線與橢圓 x29+y24=1 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是
A. 至多為 1B. 2C. 1D. 0

6. 已知直線 y=kx?k?1 與曲線 C：x2+2y2=mm>0 恒有公共點(diǎn)，則 m 的取值范圍是
A. 3,+∞B. ?∞,3C. 3,+∞D(zhuǎn). ?∞,3

7. 點(diǎn) M 在直線 l:x=2 上，若橢圓 C:x2+y24=1 上存在兩點(diǎn) A，B，使得 △MAB 是等腰三角形，則稱橢圓 C 具有性質(zhì) P．下列結(jié)論中正確的是
A. 對(duì)于直線 l 上的所有點(diǎn)，橢圓 C 都不具有性質(zhì) P
B. 直線 l 上僅有有限個(gè)點(diǎn)，使橢圓 C 具有性質(zhì) P
C. 直線 l 上有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)），使橢圓 C 具有性質(zhì) P
D. 對(duì)于直線 l 上的所有點(diǎn)，橢圓 C 都具有性質(zhì) P

8. 在橢圓 x216+y29=1 內(nèi)，過點(diǎn) M1,1 且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為
A. 9x?16y+7=0B. 16x+9y?25=0
C. 9x+16y?25=0D. 16x?9y?7=0

9. 過點(diǎn) M?2,0 的直線 m 與橢圓 x22+y2=1 交于 P1，P2 兩點(diǎn)，線段 P1P2 的中點(diǎn)為 P，設(shè)直線 m 的斜率為 k1k1≠0，直線 OP 的斜率為 k2，則 k1k2 的值為
A. 2B. ?2C. 12D. ?12

10. 已知直線 y?kx?1=0k∈R 與橢圓 x24+y2m=1 恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為
A. 1,4B. 1,4
C. 1,4∪4,+∞D(zhuǎn). 4,+∞

11. 練習(xí) 2．直線 x+my+1=0m∈R 與橢圓 x22+y2=1 的位置關(guān)系是
A. 相交B. 相切
C. 相離D. 以上三種關(guān)系都可能

12. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 及點(diǎn) B0,a，過點(diǎn) B 與橢圓相切的直線交 x 軸的負(fù)半軸于點(diǎn) A，F(xiàn) 為橢圓的右焦點(diǎn)，則 ∠ABF 等于
A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°

13. 若直線 kx?y+3=0 與橢圓 x216+y24=1 有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是
A. ?54,54B. ?54,54
C. ?∞,?54∪54,+∞D(zhuǎn). ?∞,?54∪?54,54

14. 橢圓 ax2+by2=1a>0,b>0 與直線 y=1?x 交于 A，B 兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段 AB 中點(diǎn)的直線的斜率為 32，則 ba 的值為
A. 32B. 233C. 932D. 2327

15. 直線 y=x+2 與橢圓 x2m+y23=1 有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 m 的取值范圍是
A. 1,+∞B. 1,3∪3,+∞
C. 3,+∞D(zhuǎn). 0,3∪3,+∞

16. 橢圓 C:x24+y23=1 的左、右頂點(diǎn)分別為 A1，A2，點(diǎn) P 在 C 上，且直線 PA2 斜率的取值范圍是 ?2,?1，那么直線 PA1 斜率的取值范圍是
A. 38,34B. 12,34C. 12,1D. 34,1

17. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 和圓 O:x2+y2=b2，過橢圓 C 上一點(diǎn) P 引圓 O 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A，B．若橢圓上存在點(diǎn) P，使得 PA?PB=0，則橢圓 C 的離心率 e 的取值范圍是
A. 12,1B. 0,22C. 22,1D. 12,22

18. 已知橢圓 C 的焦點(diǎn)為 F1?1,0，F(xiàn)21,0，過 F2 的直線與 C 交于 A，B 兩點(diǎn)．若 AF2=2F2B，∣AB∣=BF1，則 C 的方程為
A. x22+y2=1B. x23+y22=1C. x24+y23=1D. x25+y24=1

19. 若雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 與直線 y=3x 無交點(diǎn)，則離心率 e 的取值范圍是
A. 1,2B. 1,2C. 1,5D. 1,5

20. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上存在 A，B 兩點(diǎn)恰好關(guān)于直線 l:x?y?1=0 對(duì)稱，且直線 AB 與直線 l 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2，則橢圓 C 的離心率為
A. 13B. 33C. 22D. 12

二、填空題（共5小題；共25分）
21. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，F(xiàn) 是橢圓 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)，直線 y=b2 與橢圓交于 B，C 兩點(diǎn)，且 ∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是 ．

22. 已知橢圓 C：x29+y27=1，F(xiàn) 為其左焦點(diǎn)，過原點(diǎn) O 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 在第二象限，且 ∠FAB=∠BFO，則直線 l 的斜率為 ．

23. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) A，F(xiàn) 分別為橢圓 C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn) O 的直線交橢圓 C 于 P，Q 兩點(diǎn)，線段 AP 的中點(diǎn)為 M，若 Q，F(xiàn)，M 三點(diǎn)共線，則橢圓 C 的離心率為 ．

24. 橢圓 x236+y29=1 的一條弦被 A4,2 平分，則這條弦所在的直線方程是 ．

25. 已知橢圓 C：x22+y24=1，過橢圓 C 上一點(diǎn) P1,2 作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線 PA，PB，分別交橢圓 C 于 A，B 兩點(diǎn)，則直線 AB 的斜率為 ．

三、解答題（共6小題；共78分）
26. 已知橢圓 C：x2a2+y2b2=1a>b>0，其左右焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，過 F1 直線 l：x+my+3=0 與橢圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，且橢圓離心率 e=32．
（1）求橢圓 C 的方程；
（2）若橢圓存在點(diǎn) M，使得 2OM=OA+3OB，求直線 l 的方程．

27. 設(shè)橢圓 x2m2+1+y2m2=1m>0 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是 F1，F(xiàn)2，M 是橢圓上任意一點(diǎn)，△F1MF2 的周長為 2+22．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓在 y 軸負(fù)半軸上的頂點(diǎn) B 及橢圓右焦點(diǎn) F2 作一直線交橢圓于另一點(diǎn) N，求 ∠F1NB 的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

28. 已知橢圓 x24+y29=1 及直線 l:y=32x+m．
（1）當(dāng)直線 l 與該橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
（2）若直線 l 被此橢圓截得的弦的中點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 1，求直線 l 的方程．

29. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 e=12，過點(diǎn) 2,0．
（1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，經(jīng)過右焦點(diǎn) F2 的直線 l 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，若 AF1⊥BF1，求直線 l 方程．

30. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)為 A0,?3，右焦點(diǎn)為 F，且 OA=OF，其中 O 為原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn) C 滿足 3OC=OF，點(diǎn) B 在橢圓上（B 異于橢圓的頂點(diǎn)），直線 AB 與以 C 為圓心的圓相切于點(diǎn) P，且 P 為線段 AB 的中點(diǎn)，求直線 AB 的方程．

31. 已知直線 l 與橢圓 C:x236+y218=1 交于 A，B 兩點(diǎn)．
（1）若線段 AB 的中點(diǎn)為 2,1，求 l 的方程；
（2）若斜率不為 0 的直線 l 經(jīng)過點(diǎn) M23,0，證明：1MA2+1MB2 為定值．
答案
第一部分
1. A【解析】由題意得直線 y?1=kx?1 恒過定點(diǎn) 1,1，而點(diǎn) 1,1 在橢圓 x29+y24=1 的內(nèi)部，所以直線與橢圓相交．
2. A【解析】直線 y=kx?k+1 過橢圓內(nèi)一點(diǎn) 1,1．
3. A【解析】直線 y=kx?k+1=kx?1+1 恒過定點(diǎn) 1,1．
因?yàn)辄c(diǎn) 1,1 在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓相交．
4. C【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為 F2，連接 AF2，BF2．
因?yàn)?OA=OB，OF=OF2，
所以四邊形 AFBF2 是平行四邊形，所以 BF=AF2，
所以 AF+BF=AF+AF2=2a=4．
5. B
【解析】由題意知，4m2+n2>2，即 m2+n20 ，所以曲線 C 表示橢圓．因?yàn)橹本€ y=kx?k?1 與曲線 C：x2+2y2=mm>0 恒有公共點(diǎn)，所以點(diǎn) 1,?1 在橢圓內(nèi)或橢圓上，即 12+2×?12≤m，所以 m≥3．
7. D【解析】設(shè) AB:x=ky+t 交橢圓于點(diǎn) Ax1,y1，Bx2,y2，x=ky+t,4x2+y2=4?4k2+1y2+8kty+4t2?4=0，
Δ>0?4k2+1>t2，
由韋達(dá)定理，y1+y2=?8kt4k2+1，
設(shè) AB 中點(diǎn)為 T，則 Tt4k2+1,?4kt4k2+1，
AB 中垂線方程為 y=?kx?t4k2+1?4kt4k2+1，
令 x=2，y=?2k?3kt4k2+1，
故 M2,?2k?3kt4k2+1 是符合條件的點(diǎn)．
令 t=0，M2,?2k，
這意味著，對(duì)于 l 上任意一點(diǎn) M2,m，在橢圓上都有 A，B 兩點(diǎn)使 MA=MB，AB 方程為 x=?12my．
8. C【解析】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 x1,y1，x2,y2，
則有 x1216+y129=1，x2216+y229=1，
兩式相減，又 x1+x2=y1+y2=2，因此 x1?x216+y1?y29=0，
即 y1?y2x1?x2=?916，所求直線的斜率是 ?916，
弦所在的直線方程是 y?1=?916x?1，即 9x+16y?25=0．
9. D【解析】設(shè) Px0,y0，P1x1,y1，P2x2,y2，
過點(diǎn) M?2,0 的直線 m 的方程為 y?0=k1x+2，
代入橢圓的方程化簡得 2k12+1x2+8k12x+8k12?2=0，
所以 x1+x2=?8k122k12+1，
所以點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) x0=?4k122k12+1，縱坐標(biāo)為 k1x0+2=2k12k12+1，即 P?4k122k12+1,2k12k12+1，
直線 OP 的斜率 k2=?12k1．
所以 k1k2=?12．
故選D．
10. C
【解析】方法一（代數(shù)法）：聯(lián)立直線與橢圓方程 y?kx?1=0,x24+y2m=1,
得 m+4k2x2+8kx+4?4m=0．
因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，
所以 Δ=64k2?4m+4k24?4m≥0，即 64k2m+16m2?16m≥0．
因?yàn)?m>0 且 m≠4，
所以 4k2+m?1≥0，
所以 m≥1?4k2．
因?yàn)?k∈R，
所以 m≥1 且 m≠4．
方法二（幾何法）：
由題知直線過定點(diǎn) 0,1，當(dāng)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)，如圖，
所以 m≥1 且 m≠4，
所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 1,4∪4,+∞．
11. A【解析】等效判別式為 Δ?=2×12+1×m2?12=m2+1>0，
所以直線 x+my+1=0m∈R 與橢圓 x22+y2=1 相交，故選A．
標(biāo)準(zhǔn)解法：聯(lián)立 x+my+1=0 與 x22+y2=1，消 x 得 my+12+2y2=2，
整理得 m2+2y2+2my?1=0，Δ=4m2+4m2+2>0 恒成立，
所以直線 x+my+1=0m∈R 與橢圓 x22+y2=1 相交，故選A．
12. B【解析】由題意知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為 y=kx+ak>0，
與橢圓方程聯(lián)立得 y=kx+a,x2a2+y2b2=1,
消去 y，整理得 b2+a2k2x2+2a3kx+a4?a2b2=0，
由 Δ=4a6k2?4b2+a2k2?a4?a2b2=0，
得 k=ca，從而 y=cax+a．
因?yàn)橹本€交 x 軸的負(fù)半軸于點(diǎn) A，
所以 A?a2c,0．
又 Fc,0，所以 BA=?a2c,?a，BF=c,?a，
則 BA?BF=0，
故 ∠ABF=90°．
13. C【解析】由 y=kx+3,x216+y24=1 得 4k2+1x2+24kx+20=0．
當(dāng) Δ=1616k2?5>0，即 k>54 或 k0，得 m1．
因?yàn)?m>0 且 m≠3，
所以 m 的取值范圍為 1,3∪3,+∞．
16. A【解析】由橢圓 C:x24+y23=1 可知，其左頂點(diǎn)為 A1?2,0，右頂點(diǎn)為 A22,0．
設(shè) Px0,y0x0≠±2，則 y02x02?4=?34．
因?yàn)?kPA2=y0x0?2，kPA1=y0x0+2，
所以 kPA2?kPA1=y0x0?2?y0x0+2=y02x02?4=?34．
因?yàn)橹本€ PA2 斜率的取值范圍是 ?2,?1，
所以直線 PA1 斜率的取值范圍是 38,34．
17. C【解析】由 PA?PB=0，可得 ∠APB=90°，
利用圓的性質(zhì)，可得 ∣OP∣=2b．
所以 ∣OP∣2=2b2≤a2，
所以 a2≤2c2，
所以 e2≥12，
又因?yàn)?0

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