一、選擇題（共20小題；共100分）
1. 若 a，b∈R，直線 l:y=ax+b，圓 C:x2+y2=1 .
命題 p：直線 l 與圓 C 相交；命題 q:a>b2?1 則 P 是 q 的 ( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件

2. 已知圓 O:x2+y2=1，點(diǎn) Mt,2，若圓 O 上存在兩點(diǎn) A，B 滿足 MA=AB，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是
A. ?2,2B. ?3,3C. ?5,5D. ?5,5

3. 已知直線 l:x+2y?3=0 與圓 x?22+y2=4 交于 A，B 兩點(diǎn)，求線段 AB 的中垂線方程
A. 2x?y?2=0B. 2x?y?4=0
C. 25x?5y?1=0D. 25x?5y?19=0

4. 若圓 x2+y2?2ax+3by=0 的圓心位于第三象限，那么直線 x+ay+b=0 一定不經(jīng)過
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限

5. 過點(diǎn) 1,2 總可以作兩條直線與圓 x2+y2+kx+2y+k2?15=0 相切，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是
A. ?∞,?3∪2,+∞B. ?∞,?3∪2,833
C. ?833,?3∪2,+∞D(zhuǎn). ?833,?3∪2,833

6. 臺風(fēng)中心從 A 地以每小時 20 km 的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心 30 km 內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市 B 在 A 地正東 40 km 處，B 城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為
A. 0.5 hB. 1 hC. 1.5 hD. 2 h

7. 已知直線 l1:x+3y?7=0，過定點(diǎn) 0,?2 的直線 l2 與 x 軸、 y 軸正半軸及 l1 所圍成的四邊形有外接圓，則直線 l2 的方程為
A. x+y+2=0B. 3x?y?2=0C. 6x+y+2=0D. 6x?y?2=0

8. 若圓 x2+y2?2x?4y=0 的圓心到直線 x?y+a=0 的距離為 22，則 a 的值為
A. ?2 或 2B. 12 或 32C. 2 或 0D. ?2 或 0

9. 已知 ⊙M 的圓心在曲線 y=2xx>0 上，且 ⊙M 與直線 2x+y+1=0 相切，則 ⊙M 的面積的最小值為
A. 9π5B. 4πC. 5πD. 9π

10. 如果直線 ax+by=1 與圓 C:x2+y2=1 相交，則點(diǎn) Ma,b 與圓 C 的位置關(guān)系是
A. 點(diǎn) M 在圓 C 上B. 點(diǎn) M 在圓 C 外
C. 點(diǎn) M 在圓 C 內(nèi)D. 上述三種情況都有可能

11. 已知點(diǎn) A?3,0，B0,3，若點(diǎn) P 在曲線 y=?1?x2 上運(yùn)動，則 △PAB 面積的最小值為
A. 6B. 3C. 92?322D. 92+322

12. 一動圓的圓心在拋物線 y2=8x 上，且動圓恒與直線 x+2=0 相切，則此動圓必過定點(diǎn)
A. 4,0B. 0,?2C. 2,0D. 0,2

13. 在平面直角坐標(biāo)系中，記 d 為點(diǎn) Pcsθ,sinθ 到直線 x?my?2=0 的距離．當(dāng) θ，m 變化時，d 的最大值為
A. 1B. 2C. 3D. 4

14. 若直線 y=kx 與圓 x+22+y2=1 的兩個交點(diǎn)關(guān)于直線 2x+y+b=0 對稱，則 k，b 的值分別為
A. k=?12，b=?4B. k=12，b=4
C. k=12，b=?4D. k=4，b=3

15. 已知 ⊙M：x2+y2?2x?2y?2=0，直線 l：2x+y+2=0，P 為 l 上的動點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 ⊙M 的切線 PA，PB，切點(diǎn)為 A，B，當(dāng) PM?AB 最小時，直線 AB 的方程為
A. 2x?y?1=0B. 2x+y?1=0C. 2x?y+1=0D. 2x+y+1=0

16. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1?c,0，F(xiàn)2c,0，若橢圓上一點(diǎn) P 滿足 PF2⊥x 軸，且 PF1 與圓 x2+y2=c24 相切，則該橢圓的離心率為
A. 33B. 12C. 22D. 63

17. 已知 F1，F(xiàn)2 是雙曲線 C:x2a2?y2=1（a>0）的兩個焦點(diǎn)，過點(diǎn) F1 作垂直于 x 軸的直線與雙曲線 C 交于 A，B 兩點(diǎn)．若 ∣AB∣=2，則 △ABF2 的內(nèi)切圓半徑為
A. 23B. 33C. 223D. 233

18. 已知 P 為雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2 為雙曲線 C 的左、右焦點(diǎn)，若 PF1=F1F2，且直線 PF2 與以 C 的實(shí)軸為直徑的圓相切，則 C 的漸近線方程為
A. y=±43xB. y=±34xC. y=±35xD. y=±53x

19. 若雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一條漸近線被圓 x+22+y2=4 所截得的弦長為 2，則 C 的離心率為
A. 233B. 2C. 3D. 2

20. 已知點(diǎn) Pa,b，曲線 C1:x2+y2=1，曲線 C2:y=1?x2，則“點(diǎn) Pa,b 在曲線 C1 上”是“點(diǎn) Pa,b 在曲線 C2 上”的
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件

二、填空題（共5小題；共25分）
21. 直線 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 將單位圓 C:x2+y2=1 分成長度相等的四段弧，則 a2+b2= ．

22. 已知直線 l:mx+y?2m?2=0 與圓 C:x2+y2?8y=0 交于 A，B 兩點(diǎn)，若 ∠ACB=π2，則直線 l 的方程為 ．

23. 已知直線 l：3x+4y+m=0，圓 C：x2+y2?4x+2=0，則圓 C 的半徑 r= ；若在圓 C 上存在兩點(diǎn) A，B，在直線 l 上存在一點(diǎn) P，使得 ∠APB=90°，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ．

24. 已知直線 l：3x+4y+m=0，圓 C：x2+y2?4x＋2=0，則圓 C 的半徑 r= ；若在圓 C 上存在兩點(diǎn) A，B，在直線 l 上存在一點(diǎn) P，使得 ∠APB=90°，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ．

25. 某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O 為圓孔及輪廓圓弧 AB 所在圓的圓心，A 是圓弧 AB 與直線 AG 的切點(diǎn)，B 是圓弧 AB 與直線 BC 的切點(diǎn)，四邊形 DEFG 為矩形，BC⊥DG，垂足為 C，tan∠ODC=35，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直線 DE 和 EF 的距離均為 7 cm，圓孔半徑為 1 cm，則圖中陰影部分的面積為 ．

三、解答題（共6小題；共78分）
26. 已知點(diǎn) C 是曲線 xy=3x>0 上一點(diǎn)，以 C 為圓心的圓與 x 軸交于 O 、 A 兩點(diǎn)，與 y 交于 O 、 B 兩點(diǎn)，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：△OAB 的面積為定值；
（2）設(shè)直線 y=?3x+5 與圓 C 交于 M 、 N 兩點(diǎn)，若 OM=ON，求圓 C 的方程．

27. 已知圓 C:x?a2+y?b2=4a>0,b>0 與 x 軸，y 軸分別相切于 A，B 兩點(diǎn)．
（1）求圓 C 的方程；
（2）若直線 l:y=kx?2 與線段 AB 沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；
（3）試討論直線 l:y=kx?2 與圓 C:x?a2+y?b2=4a>0,b>0 的位置關(guān)系．

28. 設(shè) a∈R，圓 C:x?12+y?a2=4．
（1）若 a=0，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P3,?2，Q 為圓 C 上的動點(diǎn)，求線段 PQ 的中點(diǎn) M 的軌跡方程．
（2）若圓 C 上有且僅有一個點(diǎn)到直線 x?y=0 的距離等于 1，求 a 的值．

29. 已知圓 C：x?12+y+22=20，點(diǎn) P?3,0 為圓 C 上一點(diǎn)．
（1）過點(diǎn) P 的直線 l 與圓 C 相切，求直線 l 的方程．
（2）Q 是圓 C 上一動點(diǎn)（異于點(diǎn) P），求 PQ 中點(diǎn) M 的軌跡方程．

30. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0，圓 O:x2+y2=r2（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）．過點(diǎn) 0,b 且斜率為 1 的直線與圓 O 交于點(diǎn) 1,2，與橢圓 C 的另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ?85．
（1）求橢圓 C 的方程和圓 O 的方程；
（2）過圓 O 上的動點(diǎn) P 作兩條互相垂直的直線 l1，l2，若直線 l1 的斜率為 kk≠0 且 l1 與橢圓 C 相切，試判斷直線 l2 與橢圓 C 的位置關(guān)系，并說明理由．

31. 已知拋物線 C1：y2=4x 與圓 C2：x2+y2=r2 的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x0=5?2，動直線 l 與 C1 相切于點(diǎn) P，與 C2 交于不同的兩點(diǎn) A，B，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求 C2 的方程；
（2）若 OA⊥OB，求 ∣PA∣∣PB∣ 的值．
答案
第一部分
1. B
2. C【解析】因?yàn)?MA=AB，
所以 A 為 BM 的中點(diǎn)，
設(shè)圓心 O 到直線 BM 的距離為 d，
則有 OM2?d2=31?d2，
所以 OM2=9?8d2，
因?yàn)?0≤d20，解得 ?8330，解得 k>2 或 k0，
則 r=2a+2a+15≥22a?2a+15=5，當(dāng)且僅當(dāng) 2a=2a，即 a=1 時取等號，
所以 ⊙M 的面積的最小值為 π×52=5π．
10. B
11. B【解析】曲線 y=?1?x2 表示以 O 為原點(diǎn)，1 為半徑的下半圓（包括兩個端點(diǎn)），
直線 AB 的方程為 x?y+3=0，
可得 ∣AB∣=32，P 在 ?1,0 時，P 到直線 AB 的距離最短，即為 ∣?1?0+3∣2=2，
則 △PAB 的面積的最小值為 12×32×2=3．
12. C
13. C
14. B
15. D
【解析】圓的方程可化為 x?12+y?12=4，
點(diǎn) M 到直線 l 的距離為 d=2×1+1+222+12=5>2，
所以直線 l 與圓相離．
依圓的知識可知，四點(diǎn) A，P，B，M 四點(diǎn)共圓，且 AB⊥MP，
所以 PM?AB=2S△PAM=2×12×PA×AM=2PA，
而 PA=MP2?4，
當(dāng)直線 MP⊥l 時，MPmin=5，PAmin=1，此時 PM?AB 最?。?br>所以 MP：y?1=12x?1 即 y=12x+12，
由 y=12x+12,2x+y+2=0, 解得 x=?1,y=0.
所以以 MP 為直徑的圓的方程為 x?1x+1+yy?1=0，即 x2+y2?y?1=0．
兩圓的方程相減可得：2x+y+1=0，即為直線 AB 的方程．
16. A
17. B【解析】由雙曲線 C 的方程可知 b=1，
依題意知，∣AB∣=2b2a=2，
所以 a=2．
又 c2=a2+b2=3，
所以 ∣F1F2∣=2c=23．
又 ∣AF1∣=∣BF1∣=12∣AB∣=22，
所以 ∣AF2∣=∣BF2∣=2a+∣AF1∣=22+22=522．
（或 ∣AF2∣=∣BF2∣=222+232=522）
設(shè) △ABF2 的內(nèi)切圓半徑為 r，則
S△ABF2=12∣AB∣∣F1F2∣=12∣AB∣+∣AF2∣+∣BF2∣?r,
即
r=∣AB∣∣F1F2∣∣AB∣+∣AF2∣+∣BF2∣=2×232+522+522=33.
18. A【解析】依據(jù)題意作出圖象，如圖，
則 PF1=F1F2=2c，∣OM∣=a，
又直線 PF2 與以 C 的實(shí)軸為直徑的圓相切，
所以 OM⊥PF2，
所以 MF2=c2?a2=b，
由雙曲線的定義可得，PF2?PF1=2a，
所以 PF2=2c+2a，
所以 cs∠OF2M=bc=2c2+2a+2c2?2c22×2c×2a+2c，
整理得 2b=a+c，即 2b?a=c，
將 c=2b?a 代入 c2=a2+b2，整理得 ba=43，
所以 C 的漸近線方程為 y=±bax=±43x．
19. D【解析】設(shè)雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一條漸近線不妨為：bx+ay=0，圓 x?22+y2=4 的圓心 2,0，半徑為：2，
雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一條漸近線被圓 x?22+y2=4 所截得的弦長為 2，
可得圓心到直線的距為：22?12=2ba2+b2，
解得：4c2?4a2c2=3，可得 e2=4，即 e=2．
20. B
【解析】已知點(diǎn) Pa,b，
曲線 C1 的方程 x2+y2=1，即曲線 C1 為圓心在原點(diǎn)，半徑為 1 的圓，
曲線 C2 的方程 y=1?x2，即曲線 C2 為圓心在原點(diǎn)，半徑為 1 的上半圓，
①若點(diǎn) Pa,b 在曲線 C1 上，則點(diǎn) Pa,b 滿足曲線 C1 的方程 x2+y2=1，
即 a2+b2=1 成立，則不一定有 b=1?a2，b≥0 成立，
所以點(diǎn) Pa,b 在曲線 C1 上，不能推出點(diǎn) Pa,b 在曲線 C2 上；
②若點(diǎn) Pa,b 在曲線 C2 上，則點(diǎn) Pa,b 滿足曲線 C2 的方程 y=1?x2，有 b=1?a2，
因?yàn)榍€ C2 為圓的曲線 x 軸交點(diǎn)即上方部分圖形，b≥0，
所以點(diǎn) Pa,b 在曲線 C2 上能推出點(diǎn) Pa,b 在曲線 C1 上，
即能推出 a2+b2=1 成立，
根據(jù)充分條件和必要條件的定義可得，
“點(diǎn) Pa,b 在曲線 C1 上”是“點(diǎn) Pa,b 在曲線 C2 上”的必要非充分條件．
第二部分
21. 2
【解析】依題意，圓心 O0,0 到兩直線 l1:y=x+a，l2:y=x+b 的距離相等，且每段弧長等于圓周的 14，即 ∣a∣2=∣b∣2=1×sin45°=22，得 ∣a∣=∣b∣=1，故 a2+b2=2．
22. y=x
23. 2，?16,4
【解析】由圓 x2+y2?4x+2=0，
得 x?22+y2=2，
所以圓 C 的半徑 r=2．
①當(dāng)直線 l：3x+4y+m=0 與圓 C：x2+y2?4x+2=0 有交點(diǎn)時，顯然滿足題意，此時 ∣6+m∣9+16≤2，
解得 ?6?52≤m≤?6+52
②當(dāng)直線 l：3x+4y+m=0 與圓 C：x2+y2?4x+2=0 無交點(diǎn)時，此時 m?6+52，
“在圓 C 上存在兩點(diǎn) A，B，在直線 l 上存在一點(diǎn) P，使得 ∠APB=90°”等價于“直線 l 上存在點(diǎn) P，過點(diǎn) P 作圓的兩條切線，其夾角大于等于 90°”，
設(shè)兩個切點(diǎn)為 M，N，則 ∠MPN≥90°，
所以 ∠MPC≥45°，
所以 sin∠MPC=∣MC∣∣PC∣≥sin45°=22，
所以 ∣PC∣≤2，
根據(jù)題意可得直線 l 上存在點(diǎn) P，使得 ∣PC∣≤2，等價于 ∣PC∣min≤2，
又 ∣PC∣ 的最小值為圓心 C 到直線 l 的距離，
所以 ∣3×2+4×0+m∣32+42≤2，
解得 ?16≤m≤4．
又 m?6+52，
所以 ?16≤m0，可得 a=b=2，
則圓 C 的方程為：x?22+y?22=4．
（2） 由（1）可得，A2,0，B0,2，
直線 l:y=kx?2 過定點(diǎn) P0,?2，如圖，
因?yàn)?kPA=1，
所以若直線 l:y=kx?2 與線段 AB 沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 ?∞,1．
（3） 由 C2,2 到直線 kx?y?2=0 的距離 d=∣2k?4∣k2+1=2，解得 k=34，
由圖可知，當(dāng) k∈?∞,34 時，直線 l 與圓 C 相離；
當(dāng) k=34 時，相切；
當(dāng) k∈34,+∞ 時，相交．
28. （1） 根據(jù)題意，設(shè) M 的坐標(biāo)為 x,y，
又由 P3,?2，則 Q 的坐標(biāo) 2x?3,2y+2，
若 a=0，圓 C:x?12+y2=4，Q 為圓 C 上的動點(diǎn)，則有 2x?42+2y+22=4，
變形可得：x?22+y+12=1．
（2） 根據(jù)題意，圓 C:x?12+y?a2=4，圓心為 1,a，半徑 r=2，
若圓 C 上有且僅有一個點(diǎn)到直線 x?y=0 的距離等于 1，則圓心到直線 x?y=0 的距離 d=3，
則有 1?a1+1=3，解可得 a=1+32 或 1?32．
故 a=1+32 或 1?32．
29. （1） 圓 C：x?12+y+22=20 的圓心為 C1,?2，半徑 r=20，
因?yàn)??3?12+0+22=20
所以點(diǎn) P?3,0 在圓 C 上，
所以 l⊥PC，
因?yàn)?kPC=?12，
所以 kl=2，
所以直線 l 的方程為 y?0=2x+3，
即 y=2x+6．
（2） 設(shè) Mx,y，則 Q2x+3,2y，
因?yàn)辄c(diǎn) Q 在圓 C 上，代入圓的方程可得 2x+3?12+2y+22=20，
整理得 x+12+y+12=5，
故 PQ 中點(diǎn) M 的軌跡方程為 x+12+y+12=5x≠3．
30. （1） 因?yàn)閳A O 過點(diǎn) 1,2，所以圓 O 的方程為：x2+y2=5．
因?yàn)檫^點(diǎn) 0,b 且斜率為 1 的直線方程為 y=x+b，
又因?yàn)檫^點(diǎn) 1,2，所以 b=1．
因?yàn)橹本€與橢圓相交的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為 ?85,?35，
所以 ?852a2+?3521=1，解得 a2=4．
所以橢圓 C 的方程為 x24+y2=1．
（2） 直線 l2 與橢圓 C 相切．理由如下：
設(shè)圓 O 上動點(diǎn) Px0,y0x0≠±2，所以 x02+y02=5．
依題意，設(shè)直線 l2:y?y0=kx?x0，
由 x2+4y2=4,y=kx+y0?kx0 得 1+4k2x2+8ky0?kx0x+4y0?kx02?4=0．
因?yàn)橹本€ l1 與橢圓 C 相切，
所以 Δ=8ky0?kx02?41+4k24y0?kx02?4=0，
所以 1+4k2=y0?kx02，
所以 4?x02k2+2x0y0k+1?y02=0．
因?yàn)?x02+y02=5，
所以 4?x02=y02?1，
所以 y02?1k2+2x0y0k+1?y02=0．
設(shè)直線 l2:y?y0=?1kx?x0，
由 x2+4y2=4,y?y0=?1kx?x0,
得 1+4k2x2?8ky0+x0kx+4y0+x0k?4=0，
1=164?x02?1k2+2x0y0?1k+1?y02=16k24?x02?2kx0y0+1?y02k2=16k2y02?1?2kx0y0+1?y02k2=?16k2y02?1k2+2kx0y0+1?y02=0.
所以直線 l2 與橢圓 C 相切．
31. （1） 聯(lián)立拋物線 C1 與圓 C2 的方程：得 x2+4x?r2=0，
由題意，x0=5?2 滿足上述方程，所以 5?22+45?2?r2=0，
解得 r2=1，所以 C2 的方程為 x2+y2=1．
（2） 設(shè)直線 l 的方程為 x=ky+m，
聯(lián)立直線 l 與拋物線 C1 的方程得 y2?4ky?4m=0，
由于直線 l 與 C1 相切，所以 Δ=?4k2?4?4m=0，即 k2+m=0, ??①
聯(lián)立直線 l 與圓 C2 的方程：得 1+k2y2+2kmy+m2?1=0，
設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2，則 y1+y2=?2km1+k2，y1y2=m2?11+k2．
由 OA⊥OB，得 x1x2+y1y2=0，
即 ky1+mky2+m+y1y2=k2+1y1y2+kmy1+y2+m2=0，
故 1+k2m2?11+k2+km?2km1+k2+m2=0，
化簡得，2m2?k2?1=0, ??②
將①代入②得 2m2+m?1=0，解得 m=?1 或 m=12（舍去），k2=1，所以 k=±1，
故直線 l 的方程為 x=±y?1．
解方程得切點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P11,2，P21,?2．
i．當(dāng) P 的坐標(biāo)為 P11,2 時，此時 A0,1，B?1,0，故 ∣PA∣∣PB∣=2×22=4；
ii．當(dāng) P 的坐標(biāo)為 P21,?2 時，此時 A?1,0，B0,?1，故 ∣PA∣∣PB∣=22×2=4．
綜上，∣PA∣?∣PB∣=4．

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