?第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性

一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)
1．函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象
偶函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f (－x)＝f (x)，那么函數(shù)f (x)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f (－x)＝－f (x)，那么函數(shù)f (x)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于坐標(biāo)原點對稱


1．函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．
2．若f (x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下：
(1)f (－x)＝f (x)?f (－x)－f (x)＝0?＝1?f (x)為偶函數(shù)；
(2)f (－x)＝－f (x)?f (－x)＋f (x)＝0?＝－1?f (x)為奇函數(shù)．
3．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論
(1)如果函數(shù)f (x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，那么一定有f (0)＝0；如果函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，那么f (x)＝f (|x|)．
(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
2．函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函數(shù)f (x)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T就叫做這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f (x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f (x)的最小正周期(若不特別說明，T一般都是指最小正周期)．

周期函數(shù)定義的實質(zhì)
存在一個非零常數(shù)T，使f (x＋T)＝f (x)為恒等式，即自變量x每增加一個T后，函數(shù)值就會重復(fù)出現(xiàn)一次．
3．函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對f (x)定義域內(nèi)任一自變量x，
(1)若f (x＋a)＝－f (x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f (x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
(3)若f (x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)．
4．函數(shù)圖象的對稱性
(1)若函數(shù)y＝f (x＋a)是偶函數(shù)，即f (a－x)＝f (a＋x)，則函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(2)若對于R上的任意x都有f (2a－x)＝f (x)或f (－x)＝f (2a＋x)，則y＝f (x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(3)若函數(shù)y＝f (x＋b)是奇函數(shù)，即f (－x＋b)＋f (x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱．
二、基本技能·思想·活動體驗
1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．
(1)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱． (√)
(2)若函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，則一定有f (0)＝0． (×)
(3)若函數(shù)y＝f (x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱． (√)
(4)若函數(shù)y＝f (x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱． (√)
2．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
B　解析：A中函數(shù)為奇函數(shù)，B中函數(shù)為偶函數(shù)，C與D中函數(shù)均為非奇非偶函數(shù)．故選B．
3．已知f (x)滿足f (x＋2)＝f (x)．當(dāng)x∈[0,1]時，f (x)＝2x，則f 等于(　　)
A． B． C． D．1
B　解析：由f (x＋2)＝f (x)，知函數(shù)f (x)的周期T＝2，所以f ＝f ＝2＝.
4．已知f (x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B． C． D．－
B　解析：因為f (x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，所以a－1＋2a＝0，所以a＝. 又f (－x)＝f (x)，所以b＝0，所以a＋b＝.
5．已知定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (x＋2)＝－，當(dāng)x∈(0,2]時，f (x)＝2x－1，則f (9)＝________.
1　解析：因為f (x＋2)＝－，所以f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝f (x)，得T＝4，f (9)＝f (1)＝1.


考點1　函數(shù)奇偶性的判斷——基礎(chǔ)性

1．(多選題)設(shè)函數(shù)f (x)＝，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．|f (x)|是偶函數(shù)
B．－f (x)是奇函數(shù)
C．f (x)|f (x)|是奇函數(shù)
D．f (|x|)f (x)是偶函數(shù)
ABC　解析：因為f (x)＝，所以f (－x)＝＝－f (x)．所以f (x)是奇函數(shù)，所以|f (x)|是偶函數(shù)，－f (x)是奇函數(shù)．因為f (|－x|)＝f (|x|)，所以f (|x|)是偶函數(shù)，所以f (|x|)·f (x)是奇函數(shù)．故選ABC．
2．已知函數(shù)f (x)＝則該函數(shù)的奇偶性是________．
奇函數(shù)　解析：當(dāng)x>0時，－xb>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a(chǎn)>c>b
D　解析：因為偶函數(shù)f (x)滿足f (x＋2)＝f (x)，所以函數(shù)f (x)的周期為2.所以a＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c＝ f (0.5)＝f (－0.5)．因為－0.8b.故選D．

解決函數(shù)的周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題，通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，再利用奇偶性和單調(diào)性求解．

1．設(shè)f (x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f (x)＝2x(1－x)，則f ＝________.
－　解析：由題意可知，f ＝f ＝－f ＝－2××＝－.
2．已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xf (x)，則實數(shù)x的取值范圍是________．
(－3,2)　解析：因為g(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)x>0時，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f (x)在R上是增函數(shù)，由f (6－x2)>f (x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6

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