滿分：120分 考試時間：90分鐘
參考答案
1.已知函數(shù)對任意的滿足，且當時，，若有個零點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
解析：∵，∴函數(shù)是偶函數(shù)，∵，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱軸可得當時函數(shù)有2個零點，
即，∴，解得a＞2，
即實數(shù)a的取值范圍（2，+∞），故答案為：（2，+∞）
2.函數(shù)的值域為 .
答案：
3.已知.若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．
解析：因為時，恒成立，
所以時，，即恒成立.
所以時，恒成立.設(shè)，則，.
由在上為增函數(shù)，知的值域為.
所以，即的取值范圍為.
4.已知是銳角三角形的外接圓圓心，，若，則的值為________．
解析：設(shè)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，由tan A＝，A為銳角，得sin A＝，cs A＝.由＋＝2m兩邊平方得，c2＋b2＋2·＝4R2m2(R為△ABC外接圓的半徑)．由正弦定理得cs2B＋cs2C＋2csBcsC·cs A＝m2，①又cs C＝－cs(B＋A)＝sin Asin B－cs A·cs B，則cs C＝sin B－cs B，② 將②代入①并化簡得m2＝，由已知得m>0，∴m＝.
5.已知函數(shù)，，且對任意的，都存在，使，則實數(shù)的取值范圍是__________

9.已知為遞增的等比數(shù)列，且，．，數(shù)列的前項和為，求證：對一切正整數(shù)均有．
【解析】設(shè)的公比為．由，，知，． ． ．
故時，．
時，．
又時，．所以對一切正整數(shù)均有．
10.已知．
（1）當時，求；
（2）若，求當為何值時，的最小值為．
解析：（1）．
（2）
.令，
則，且，所以．
所以可化為，對稱軸．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當，即時，
，
由，得，所以．因為，所以此時無解．
②當，即時
．
由，得．
③當，即時，
．
由，得，所以．
因為，所以此時無解．綜上所述，當時，的最小值為．
11.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若 時，有.
（1）求證：在上為增函數(shù)；
（2）求不等式的解集；
（3）若對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
解析：（1）證明：任取且，
則
∴，∴為增函數(shù).
（2）
即不等式的解集為.
（3）由于為增函數(shù)，
∴的最大值為對恒成立
對的恒成立,
設(shè)，則.
又
，
.
所以實數(shù)t的取值范圍為
一、填空題：本大題共 8 小題，每小題 8 分，共 64 分．
1.已知函數(shù)對任意的滿足，且當時，，若有個零點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
2.函數(shù)的值域為 .
3.已知.若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．
4.已知是銳角三角形的外接圓圓心，，若，則的值為________．
5.已知函數(shù)，，且對任意的，都存在，使，則實數(shù)的取值范圍是______.
6.函數(shù)的值域為________.
7.在中,,則的最小值為______.
8.在中，,的平分線交于,且有,．若，則______．
二、解答題：本大題共 3 小題，共 56 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
9.（本題滿分16分）已知為遞增的等比數(shù)列，且，．，數(shù)列的前項和為，求證：對一切正整數(shù)均有．
10.（本題滿分20分）已知．
（1）當時，求；
（2）若，求當為何值時，的最小值為．
11.（本題滿分20分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若 時，有.
（1）求證：在上為增函數(shù)；
（2）求不等式的解集；
（3）若對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
6.函數(shù)的值域為________________
探究一：三角代換法
分析：由聯(lián)想到，故嘗試用三角函數(shù)換元法。
解：令,，
則，
設(shè)，
。
探究二：分母置換法
分析：令，經(jīng)過代換可知原式是關(guān)于的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖像特征可求其取值范圍。
解：設(shè)，則，且，故，
當時，，
，，
當時，，
，，
因此，。
探究三：向量法
分析：本題為根式和整式的商，聯(lián)想到向量的夾角公式有：若則，因此本題可以先求其倒數(shù)的取值范圍，再求原函數(shù)的值域。
解：令，則，
由，得，
記，如右圖，
，為的三種情況，
經(jīng)觀察知，
，
，
。
7.在中,,則的最小值為______.
【答案】【解析】由，知于是
注意到
，
當且僅當時等號成立.于是，，所以，所求的最小值是.故答案為：
8.在中，,的平分線交于,且有,．若，則______．
【答案】
【解析】過點于點于點，
由題設(shè)，所以．(角平分線)
因此，所以，因此．
所以．
由此得．

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