第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則等于（ ）
A．B．C．D．
3．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．C．D．
4．已知兩條直線m，n和平面，且，則“”是“”的（ ）
A．充分必要條件B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件
5．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．4C．D．6
7．已知函數(shù)則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．將函數(shù)（）的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，且，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．為偶函數(shù)
B．
C．當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)零點(diǎn)
D．若在上單調(diào)遞減，則的最大值為9
9．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比，且，則（ ）
A．B．
C．D．與大小不確定
10．形狀?節(jié)奏?聲音或軌跡，這些現(xiàn)象都可以分解成自復(fù)制的結(jié)構(gòu).即相同的形式會按比例逐漸縮小，并無限重復(fù)下去，也就是說，在前一個(gè)形式中重復(fù)出現(xiàn)被縮小的相同形式，依此類推，如圖所示，將圖1的正三角形的各邊都三等分，以每條邊中間一段為邊再向外做一個(gè)正三角形，去掉中間一段得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”；依次進(jìn)行“n次分形”，得到一個(gè)周長不小于初始三角形周長100倍的分形圖，則n最小值是（ ）(取)
A．15B．16C．17D．18
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．函數(shù)的定義域是_________．
12．已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為______．
13．從2008年京津城際鐵路通車運(yùn)營開始，高鐵在過去兒年里快速發(fā)展，并在國民經(jīng)濟(jì)和日常生活中扮演著日益重要的角色．下圖是2009年至2016年高鐵運(yùn)營總里程數(shù)的折線圖（圖中的數(shù)據(jù)均是每年12月31日的統(tǒng)計(jì)結(jié)果）．
根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是
①2015年這一年，高鐵運(yùn)營里程數(shù)超過0.5萬公里；
②2013年到2016高鐵運(yùn)營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運(yùn)營里程平均增長率；
③從2010年至2016年，新增高鐵運(yùn)營里程數(shù)最多的一年是2014年；
④從2010年至2016年，新增高鐵運(yùn)營里程數(shù)逐年遞增；
其中所有正確結(jié)論的序號是____．
14．已知雙曲線，則C的漸近線方程是__________；過C的左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線交其漸近線于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積是_________．
15．已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長為________，它的體積為________.
三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．（本小題13分）
如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
17．（本小題13分）
在銳角中，角的對邊分別為，且．
（1）求角的大?。?br>（2）再從下面條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的面積．
條件①；條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18．（本小題14分）
2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會，簡稱“北京張家口冬奧會”，將在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會，北京將承辦所有冰上項(xiàng)目，延慶和張家口將承辦所有的雪上項(xiàng)目．下表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：
說明：“*”代表當(dāng)日有不是決賽的比賽；數(shù)字代表當(dāng)日有相應(yīng)數(shù)量的決賽．
（1）①若在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)比賽項(xiàng)目，求恰好看到冰壺和冰球的概率；
②若在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽，求兩場決賽恰好在同一賽區(qū)的概率；
（2）若在2月6日（星期日）的所有決賽中觀看三場，記為賽區(qū)的個(gè)數(shù)，求的分布列及期望．
19．（本小題15分）
已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，求證：函數(shù)存在極小值；
（3）若對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
20．（本小題15分）
已知橢圓過點(diǎn)，且，若直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）若，求k的值.
21．（本小題15分）
若無窮數(shù)列滿足：，對于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”．
（1）若具有性質(zhì)“”，且，，求；
（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；
（3）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，求證：具有性質(zhì)“”．
2022年北京冬奧會賽程表（第七版，發(fā)布自2020年11月）
2022年
2月
北京賽區(qū)
延慶賽區(qū)
張家口賽區(qū)
開閉幕式
冰壺
冰球
速度
滑冰
短道
速滑
花
樣
滑
冰
高
山
滑
雪
有舵雪橇
鋼架雪車
無舵雪橇
跳臺滑雪
北歐兩項(xiàng)
越野滑雪
單板滑雪
冬季兩項(xiàng)
自由式
滑雪
當(dāng)
日
決
賽
數(shù)
5（六）
*
*
1
1
*
1
1
*
1
1
6
6（日）
*
*
1
*
1
1
1
1
1
1
7
2021北京市高考壓軸卷 數(shù)學(xué)試卷答案
1.【 答案】B
【 解析】
，，
則.
故選：B
2．【 答案】B
【 解析】
由題知:.
故選：B
3．【 答案】A
【 解析】
的展開式通項(xiàng)為，
令，解得.
因此，的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：A
4．【 答案】C
【 解析】
充分性：如圖所示，在長方體中，滿足，，
此時(shí)，不滿足充分性.
必要性：若，則存在，，
又因?yàn)椋?，所以，所以，滿足必要性.
故“”是“”的必要而不充分條件.
故選：C
5．【 答案】B
【 解析】
由直線方程可得該直線橫過定點(diǎn)，
又由相切可得該圓的半徑等于圓心到直線的距離，
最大值為，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．
6．【 答案】C
【 解析】
解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
所以，，所以
故選：C
7．【 答案】A
【 解析】
在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)以及的大致圖象，

觀察的區(qū)域，
由圖象可知，在區(qū)間和上
，由此的解集.
故選：A
8．【 答案】D
【 解析】
由題意得，由，得出
則
對A項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)為偶函數(shù)
對B項(xiàng)，
對C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由得：
，可以取，即當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)零點(diǎn)
對D項(xiàng)，由，解得
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得
即的最大值為
故選：D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換求解析式，余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，在求余弦型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，利用整體法將余弦型函數(shù)的單調(diào)性化歸為余弦函數(shù)的單調(diào)性來處理問題，屬于中檔題.
9．【 答案】C
【 解析】
由等差數(shù)列性質(zhì)知：；由等比數(shù)列性質(zhì)知：，
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
又，，，
，，即.
故選：.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用等差和等比數(shù)列的下標(biāo)和的性質(zhì)比較大小的問題，涉及到基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用等差和等比數(shù)列的性質(zhì).
10．【 答案】C
【 解析】
設(shè)正三角形的一條邊長為a，“一次分形”后變?yōu)殚L為的折線，
“二次分形”后折線長度為，“n次分形”后折線長度為，
所以得到一個(gè)周長不小于初始三角形周長100倍的分形圖，只需滿足，
兩邊同時(shí)取常用對數(shù)得：，
即得：，
解得，
故至少需要17次分形，
故選：C.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：仔細(xì)讀題，弄懂分形變化的規(guī)律，即正三角形的一條邊長為a，“一次分形”后變?yōu)殚L為的折線，“二次分形”后折線長度為，“n次分形”后折線長度為是解題的關(guān)鍵.
11．【 答案】
【 解析】
解：由題意得，解得，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故答案為：．
12．【 答案】
【 解析】
雙曲線的漸近線方程為
所以直線過點(diǎn)，代入可得
所以
故答案為：
13．【 答案】②③
【 解析】
對于①，看2014年，2015年對應(yīng)的縱坐標(biāo)之差，小于，①錯(cuò)誤；
對于②，連線看斜率即可，2013年到2016兩點(diǎn)連線斜率更大，②正確；
對于③，看兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差哪組最大，③正確；
對于④，看相鄰縱坐標(biāo)之差是否逐年增加，顯然不是，有增有減，④錯(cuò)誤；
綜上，填②③．
故答案為：②③
14．【 答案】
【 解析】
解：因?yàn)殡p曲線，所以，，所以，即，所以漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為與，
當(dāng)時(shí)，即，所以
故答案為：，；
15．【 答案】 4
【 解析】
如圖所示是三棱錐的直觀圖：
其中平面，垂足為，
根據(jù)三視圖可知，，，，
所以，，
，
比較可知該三棱錐的最長棱的長為，
它的體積為，
故答案為：（1） （2）4
【點(diǎn)睛】
本題考查了由三視圖還原直觀圖，考查了三棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.
16．【 答案】（1）證明見解析；（2）．
【 解析】
解：（1）連接交于點(diǎn)O，連接，
在正方形中，．
因?yàn)镋為的中點(diǎn)，
所以．
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面．
（2）不妨設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則，
所以．
設(shè)平面的法向量為，
所以所以即
令，則，
于是．
設(shè)直線與平面所成角為，
則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了立體幾何中的線面平行的判定和線面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時(shí)對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
17．【 答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．
【 解析】
解（1）因?yàn)?，由正弦定理?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>（2）條件①：；
因?yàn)椋桑?）得，
所以根據(jù)余弦定理得，
化簡整理為，解得．
所以△的面積．
條件②：
由（1）知，，
根據(jù)正弦定理得，
所以．
因?yàn)椋?br>所以，
所以△的面積．
【點(diǎn)睛】
本題考查正余弦定理解三角形，三角形的面積求解，考查運(yùn)算求解能力，回歸轉(zhuǎn)化能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于利用正弦定理邊角互化得，進(jìn)而結(jié)合銳角三角形即可得；此外，第二問選擇條件①，需注意余弦定理方程思想的應(yīng)用.
18．【 答案】（1）①；②；（2）分布列見解析；期望為．
【 解析】
解：（1）①記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)項(xiàng)目，恰好看到冰壺和冰球”為事件．
由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)項(xiàng)目，共有種不同情況，
其中恰好看到冰壺和冰球，共有種不同情況，
所以．
②記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽，兩場決賽恰好在同一賽區(qū)”為事件．
由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽共有種不同情況，
其中兩場決賽恰好在北京賽區(qū)共有種不同情況，在張家口賽區(qū)共有種不同情況，
所以．
（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為．
根據(jù)題意，，
，
．
隨機(jī)變量的分布列是：
數(shù)學(xué)期望．
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：
（1）分析隨機(jī)變量的可取值；
（2）計(jì)算隨機(jī)變量取不同值時(shí)對應(yīng)的概率；
（3）根據(jù)公式求解出期望值.
19．【 答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．
【 解析】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
所以．
所以．
曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（2）由，得．
令，則．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．
所以的最小值為．
當(dāng)時(shí)，，．
又在單調(diào)遞增，
故存在，使得，在區(qū)間上，在區(qū)間上．
所以，在區(qū)間上，在區(qū)間上，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故函數(shù)存在極小值．
（3）對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，等價(jià)于的最小值大于或等于．
①當(dāng)時(shí)，，由（2）得，所以．
所以在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為．
由，得，滿足題意．
②當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上單調(diào)遞減，
所以在上，不滿足題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】
本題的難點(diǎn)在于函數(shù)極值點(diǎn)的判斷、考查導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題的求解，解答時(shí)注意以下幾點(diǎn)：
（1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)極值點(diǎn)的問題時(shí)，要注意將問題轉(zhuǎn)化為的根的問題，且必須使在根的兩側(cè)異號，當(dāng)?shù)母鶡o法解出時(shí)，可采用零點(diǎn)的存在性定理判斷出根的范圍；
（2）求解根據(jù)不等式恒成立求參問題時(shí)，一般采用參變分離法或者利用分類討論思想，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的求解.
20．【 答案】（1）（2）1
【 解析】
（1）橢圓過點(diǎn)，且
，
橢圓C的方程為
（2）如圖，
設(shè)，
，， ，
，
由得 ，
，
，
，
為的中點(diǎn)，
，
即，
，
，
，
解得.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)條件得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)此條件建立相關(guān)坐標(biāo)之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵，注意韋達(dá)定理在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題.
21．【 答案】（1）；（2）不具有性質(zhì)“”；答案見解析；（3）證明見解析．
【 解析】
解：（1）因?yàn)榫哂行再|(zhì)“”，所以，．
由，得，由，得，
因?yàn)?，所以，即?br>（2）不具有性質(zhì)“”．．．
由等比數(shù)列的公比為，由，得，故
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，
得，由，所以，故．．．
所以．若具有性質(zhì)“”，則，．
因?yàn)?，，所以，故不具有性質(zhì)“”
（3）因?yàn)榫哂行再|(zhì)“”，所以，．①
因?yàn)榫哂行再|(zhì)“”，所以，．②
因?yàn)椋?，所以由①得；由②，得?br>所以，即．．．
由①②，得，，
所以，，．．
所以具有性質(zhì)“”.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解決數(shù)列的新定義問題時(shí)，關(guān)鍵在于緊抓數(shù)列的定義，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得以解決.

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