2021-2022學年度高二數(shù)學12月月考卷一、單選題1. 已知直線l經(jīng)過點，且不經(jīng)過第四象限，則直線l的斜率k的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由斜率公式數(shù)形結合可得.【詳解】如圖，可知當直線位于陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時，滿足題意，又，所以直線l的斜率滿足．故選：D.2. 已知等差數(shù)列中，，，則的值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列性質得到，，得到答案.【詳解】，，則，故，.故選：C.3. 經(jīng)過直線與圓的兩個交點，且面積最小的圓的方程是（    ）A  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】當所求圓的直徑就是已知圓與直線相交的弦時，所求圓的面積最小.由已知圓可得圓心半徑，可得弦長，再求出過圓心且垂直于已知直線的直線方程，解方程組可得圓心，可得圓的方程．【詳解】由題可知，當所求圓的直徑就是已知圓與直線相交的弦時，所求圓的面積最小.圓配方可得，圓心坐標為，半徑為2，弦心距，弦長為，過圓的圓心和直線垂直的直線方程為，即．最小的圓的圓心為與直線的交點，解方程組可得，，所求面積最小的圓方程為：，故選：C．4. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求導得到導函數(shù)，計算，再代入計算得到答案.詳解】，則，，.，.故選：B5. 設為拋物線的焦點，，，為該拋物線上三點，若，則（    ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】設，，．由，得是的重心，從而求得，然后由焦半徑公式求得結論．【詳解】設，，．由題意得拋物線焦點坐標為，準線方程為．因為，所以點是的重心，故，．故選：A．6. 已知函數(shù)，則不等式的解集為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分析可知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，由已知可得出，解此不等式即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域為，，即函數(shù)為偶函數(shù)，，當時，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由，可得，得，即，解得.故選：D.7. 已知數(shù)列滿足，（，），定義：使乘積為正整數(shù)的（）叫做“幸運數(shù)”，則在內(nèi)的所有“幸運數(shù)”的和為（    ）A 2046 B. 4083 C. 4094 D. 2036【答案】D【解析】【分析】利用換底公式與疊乘法把化為，然后根據(jù)為整數(shù)，可得，最后由等比數(shù)列前項和公式求解．【詳解】解：，，，又為整數(shù)，必須是2的次冪，即．內(nèi)所有的“幸運數(shù)”的和：，故選：D．8. 過雙曲線（，）的右焦點作雙曲線漸近線的垂線段，垂足為，線段與雙曲線交于點，且滿足，則雙曲線離心率等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用漸近線的斜率，求出，，進而利用相似和求出點點A的坐標，代入到雙曲線方程中，得到關于的方程，求出離心率即可【詳解】因為雙曲線漸近線方程為，所以，如圖，在直角三角形中，，，又因為 ?       故，，過、A分別作的垂線，垂足分別為、，則由得：，又，故，，故可得點A的坐標為，所以，整理得，解得，故選：．二、多選題9. 下列說法正確的有（    ）A. 若直線的傾斜角為，則直線的斜率為B. 點關于直線的對稱點為C. 圓與圓可能內(nèi)含、內(nèi)切或相交D. 若圓與圓相離，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的定義判斷A，設對稱點的坐標為，依題意得到方程組，解得、，即可判斷B，求出兩圓心之間的距離，即可判斷C、D；【詳解】解：對于A：當直線的傾斜角時，直線的斜率不存在，無意義，故A錯誤；對于B：設點關于直線對稱的點的坐標為，則，解得，故對稱的點的坐標為，故B正確；對于C：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以圓心之間的距離，則兩圓不會相外切與相離，可能內(nèi)含、內(nèi)切或相交，故C正確；對于D：圓圓心，半徑為，圓圓心，半徑為，若兩圓相離，因為，所以或，所以或，故D錯誤.故選：BC10. 已知等比數(shù)列的前項和為，且，是與的等差中項，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則下列命題正確的是（    ）A. 數(shù)列的通項公式為 B. C. 的取值范圍是 D. 數(shù)列的通項公式【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式可判斷AB選項的正誤；求出數(shù)列的通項公式，利用裂項求和法結合數(shù)列的單調(diào)性可判斷CD選項的正誤.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，可得，因為，即，解得，，A錯；，B對；，D對；，，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，故，C對.故選：BCD.11. 已知是橢圓上的一動點，離心率為，橢圓與軸的交點分別為、，左、右焦點分別為、.下列關于橢圓的四個結論中正確的是（    ）A. 若、的斜率存在且分別為、，則為一定值B. 若橢圓上存在點使，則C. 若的面積最大時，，則D. 根據(jù)光學現(xiàn)象知道：從發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓反射后一定會經(jīng)過.若一束光線從出發(fā)經(jīng)橢圓反射，當光線第次到達時，光線通過的總路程為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質，作出圖像對選項進行分析，由此確定正確選項．A：設P點坐標，結合P點在橢圓上和斜率計算公式即可計算；B：由橢圓性質知，當M為上下頂點時，最大，保證最大這個角大于或等于90°，則在橢圓上存在點M滿足題意；C：當P為上頂點或下頂點時，面積最大，結合幾何關系即可求此時離心率；D：根據(jù)橢圓的定義即可求出光線走過的路程.【詳解】依題意，，A，設，，則，為定值，A正確．?      
 B，若橢圓上存在點使，設為上頂點，如圖：
 則，B錯誤．C，若△的面積最大時，，P位于橢圓上頂點或下頂點，，，C正確．
 D，結合橢圓的定義可知，光線第次到達時，光線通過的總路程為，D錯誤．
 故選：AC.12. 已知，，是的導函數(shù)，則下列結論正確的是（    ）A. 在上單調(diào)遞增．B. 在上兩個零點C. 當 時，恒成立，則D. 若函數(shù)只有一個極值點，則實數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】求出導函數(shù)，由確定增區(qū)間，判斷A，然后可得，再利用導數(shù)確定的單調(diào)性與極值，結合零點存在定理得零點個數(shù)，判斷B，構造函數(shù)，由在上遞減，求得范圍，判斷C，利用導數(shù)研究的單調(diào)性與極值點，得的范圍，判斷D．【詳解】，令，得，故A正確，，令得，得，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．當時，；當時，且的大致圖象為只有一個零點，故B錯．記，則在上為減函數(shù)，對恒成立對恒成立．故C正確．，，設，只有一個極值點， 只有一個解，即直線與的圖象只有一個交點．，在上為增函數(shù)，令，得，當時，；當時，．在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，時，，即，且時，，又時，，因此的大致圖象如下（不含原點）：直線與它只有一個交點，則．故D正確．故選：ACD．【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的性質，解題關鍵是由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極值，對于零點問題，需要結合零點存在定理才能確定零點個數(shù)．注意數(shù)形結合思想的應用．三、填空題13. 古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的中心為原點，焦點均在x軸上，C的面積為，且離心率為，則C的標準方程為___________．【答案】【解析】【分析】設C的標準方程為，由已知建立方程組，求解可得答案.【詳解】解：設C的標準方程為，則解得所以C的標準方程為．故答案為：.14. 已知數(shù)列的前項和為，，則數(shù)列的前項和______．【答案】【解析】【分析】由已知得，當時，，兩式相減，得，可得數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，繼而求得數(shù)列的通項公式，運用錯位相減法可求得數(shù)列的和．【詳解】當時，解得．又由已知可得，當時，，兩式相減，得，又因為，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以，，兩式相減得，解得．故答案為：．15. 已知函數(shù)，其中，若函數(shù)在處取得極大值，則__________.【答案】1【解析】【分析】由題設得顯然有不合題設，知：，根據(jù)極大值有求，再將所求代入原函數(shù)驗證處是否取得極大值.【詳解】由題設，，當時，，則遞增，無極大值，與題設矛盾，∴，此時，，要使在處取得極大值，∴，可得或.當時，，則當得或，即上遞增；當得，即上遞減；∴為極大值點，符合題設.當時，，則當得或，即上遞增；當得，即上遞減；∴為極小值點，不合題設.綜上，.故答案為：116. 如圖，一列圓逐個外切，且所有的圓均與直線相切，若，則___，______【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】利用直線與圓相切可求得正數(shù)的值，利用圓與圓外切得到，利用直線與圓相切可得出，可推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式.【詳解】由題意可知，圓與直線相切，則，可得，因為圓與圓外切，則，另一方面，由于圓與直線相切，則，可得，又因為，則，整理可得，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比等比數(shù)列，因此，，故.故答案為：；.四、解答題17. 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n(n∈N*).（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）數(shù)列{bn}滿足bn=ansin(an)，求{bn}的前2n項和T2n【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求時，再利用,再驗證是否符合，即可.(2)對n分奇偶討論，得到的通項公式，再利用并項求和，即可求解.【詳解】時，得當時成立，即，當時,當時,故18. 已知圓：，直線：.（1）當為何值時，直線與圓相切；（2）當直線與圓相交于，兩點，且時，求直線的方程.【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）由圓的方程求出圓心和半徑，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解；（2）由（1）知圓心到直線的距離，由求出的值，再解方程即可求解.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線：距離，即，可得：【小問2詳解】由（1）知圓心到直線的距離，因為，即，解得：，所以，整理可得：，解得：或，則直線的方程為或.19. 已知點在拋物線上，且點的縱坐標為1，點到拋物線焦點的距離為2（1）求拋物線的方程；（2）若拋物線的準線與軸的交點為，過拋物線焦點的直線與拋物線交于，，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由拋物線定義，點到拋物線焦點的距離為2，故，可得解（2）可轉化為，代入坐標可得，即，可得解【詳解】（1）設，由拋物線定義，點到拋物線焦點的距離為2故 故拋物線的方程為：；（2）拋物線的焦點為，準線方程為，；設，直線的方程為，代入拋物線方程可得，∴，，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，，則.【點睛】本題考查了直線和拋物線綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于中檔題20. 已知函數(shù)，；(Ⅰ)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)令，是否存在實數(shù)，當(是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【詳解】試題分析：(1)在[1,2]上恒成立 令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立 得，.(2)假設存在實數(shù)a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝①當a≤0時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝(舍去) ②當0<<e即a>時，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0∴g(x)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，e]上單調(diào)遞增∴g(x)min＝＝1＋lna＝3，∴a＝e2滿足條件 ③當≥e即0<a≤時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3∴a＝>(舍去) 綜上所述，存在a＝e2使得當x∈(0，e]時，g(x)有最小值3. 考點：函數(shù)導數(shù)判定單調(diào)性求最值點評：第一小題已知函數(shù)在某一區(qū)間上是減函數(shù)得到結論，學生解題時容易忽略等號寫成，第二問要分情況討論極值點與區(qū)間(0，e]的關系從而確定在區(qū)間(0，e]上的單調(diào)性求出函數(shù)最值21. 已知橢圓的左右焦點分別為，，且橢圓C上的點M滿足，．（1）求橢圓C的標準方程；（2）點是橢圓的上頂點，點在橢圓C上，若直線，的斜率分別為，滿足，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由，結合可得解；（2）設，直線，將直線與橢圓聯(lián)立，用坐標表示，代入韋達定理可解得，借助韋達定理表示，用均值不等式即得解.【詳解】（1）依題意得：，．由橢圓定義知，又，則，在中，，由余弦定理得：即，解得又故所求橢圓方程為（2）設，直線聯(lián)立方程組，得，，得，，，，由題意知，由，，代入化簡得，故直線過定點，由，解得，，令，則，當且僅當，即時等號成立，所以面積的最大值為．22. 已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求；（2）當時，關于的不等式恒成立，求滿足條件的示數(shù)的最大整數(shù)值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）求，利用導數(shù)的幾何意義求得在點處切線方程，由在軸上的截距為列方程即可得的值；（2）由所給的不等式分離可得，令，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性和最小值，由即可求解.小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，則在點處切線的斜率為，又，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為：，即，所以，因為其在軸上的截距為，所以，解得．【小問2詳解】即，又，所以，可得對于恒成立，當時，令，則．再令，則，所以在上單調(diào)遞增；又，，所以使，即，使，當時，，；當時，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又因為，所以實數(shù)的最大整數(shù)值是．【點睛】方法點睛： 若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉化為或恒成立，進而轉化為或，求的最值即可. 

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