、選擇題
已知點(diǎn)A(1，eq \r(3))，B(－1,3eq \r(3))，則直線AB的傾斜角是( )
A.60° B.30° C.120° D.150°
【答案解析】答案為：C；
解析：設(shè)直線AB的傾斜角為α.
∵A(1，eq \r(3))，B(－1,3eq \r(3))，∴kAB=eq \f(3\r(3)－\r(3),－1－1)=－eq \r(3)，∴tan α=－eq \r(3)，
∵0°≤α＜180°，∴α=120°.故選C.
直線(a－1)x＋y－a－3=0(a＞1)，當(dāng)此直線在x，y軸上的截距和最小時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.3
【答案解析】答案為：D；
解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=a＋3，當(dāng)y=0時(shí)，x=eq \f(a＋3,a－1)，令t=a＋3＋eq \f(a＋3,a－1)=5＋(a－1)＋eq \f(4,a－1).
因?yàn)閍＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2 eq \r(?a－1?·\f(4,?a－1?))=9.
當(dāng)且僅當(dāng)a－1=eq \f(4,a－1)，即a=3時(shí)，等號(hào)成立.
已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,3)，且與x軸、y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于6，則直線l的方程是( )
A.3x＋y－6=0 B.x＋3y－10=0 C.3x－y=0 D.x－3y＋8=0
【答案解析】答案為：A；
解析：設(shè)直線l的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)=1(a＞0，b＞0).
由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(3,b)＝1，,\f(1,2)ab＝6，))解得a=2，b=6.故直線l的方程為eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)=1，
即3x＋y－6=0，故選A.
不論m為何值，直線(m－1)x＋(2m－1)y=m－5恒過(guò)定點(diǎn)( )
A.(1，-0.5) B.(－2,0) C.(2,3) D.(9，－4)
【答案解析】答案為：D；
解析：∵直線方程為(m－1)x＋(2m－1)y=m－5，
∴直線方程可化為(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)=0.
∵不論m為何值，直線(m－1)x＋(2m－1)y=m－5恒過(guò)定點(diǎn)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－1＝0，,－x－y＋5＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝－4.))故選D.
已知直線l過(guò)圓x2＋(y－3)2=4的圓心，且與直線x＋y＋1=0垂直，則l的方程是( )
A.x＋y－2=0 B.x－y＋2=0 C.x＋y－3=0 D.x－y＋3=0
【答案解析】答案為：D；
解析：圓x2＋(y－3)2=4的圓心為(0，3).
直線x＋y＋1=0的斜率為－1，且直線l與該直線垂直，故直線l的斜率為1.
即直線l是過(guò)點(diǎn)(0，3)，斜率為1的直線，用點(diǎn)斜式表示為y－3=x，即x－y＋3=0.
已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m，4)的直線為l1，直線2x＋y－1=0為l2，直線x＋ny＋1=0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實(shí)數(shù)m＋n的值為( )
A.－10 B.－2 C.0 D.8
【答案解析】答案為：A；
解析：因?yàn)閘1∥l2，所以kAB=eq \f(4－m,m＋2)=－2.解得m=－8.
又因?yàn)閘2⊥l3，所以－eq \f(1,n)×(－2)=－1，解得n=－2，所以m＋n=－10.
圓心在直線2x－y－7=0上的圓C與y軸交于A(0，－4)，B(0，－2)兩點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.(x＋2)2＋(y＋3)2=5 B.(x－2)2＋(y－3)2=5
C.(x＋2)2＋(y－3)2=5 D.(x－2)2＋(y＋3)2=5
【答案解析】答案為：D
解析：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2=r2，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－b－7＝0，,a2＋?4＋b?2＝r2，,a2＋?2＋b?2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－3，))半徑r=eq \r(22＋12)=eq \r(5)，
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2=5.選D.
已知直線3x＋ay=0(a＞0)被圓(x－2)2＋y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2，則a的值為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
【答案解析】答案為：B；
解析：由已知條件可知，圓的半徑為2，又直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，故圓心到直線的距離為eq \r(3)，即eq \f(6,\r(9＋a2))=eq \r(3)，得a=eq \r(3).
若直線l：y=kx＋1(k＜0)與圓C：x2＋4x＋y2－2y＋3=0相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2=3的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定
【答案解析】答案為：A；
解析：因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－1)2=2，所以其圓心坐標(biāo)為(－2，1)，
半徑為eq \r(2)，因?yàn)橹本€l與圓C相切.
所以eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))=eq \r(2)，解得k=±1，因?yàn)閗＜0，所以k=－1，
所以直線l的方程為x＋y－1=0.圓心D(2，0)到直線l的距離d=eq \f(|2＋0－1|,\r(2))=eq \f(\r(2),2)＜eq \r(3)，
所以直線l與圓D相交.
已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則xy的最大值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案解析】答案為：B
解析：直線AB的方程為eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)=1，則x=3－eq \f(3,4)y，
∴xy=3y－eq \f(3,4)y2=eq \f(3,4)(－y2＋4y)=eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3，
即當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))時(shí)，xy取最大值3.
已知?jiǎng)又本€l0：ax＋by＋c－2=0(a＞0，c＞0)恒過(guò)點(diǎn)P(1，m)，且Q(4,0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3，則eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值為( )
A.4.5 C.1 D.9
【答案解析】答案為：B；
解析：動(dòng)直線l0：ax＋by＋c－2=0(a＞0，c＞0)恒過(guò)點(diǎn)P(1，m)，
∴a＋bm＋c－2=0.又Q(4,0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3，
∴eq \r(?4－1?2＋?0－m?2)=3，解得m=0.∴a＋c=2.
又a＞0，c＞0，
∴eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)=eq \f(1,2)(a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,c)))=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋\f(c,2a)＋\f(2a,c)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2 \r(\f(c,2a)·\f(2a,c))))=eq \f(9,4)，
當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=eq \f(4,3)時(shí)取等號(hào)，故選B.
已知直線ax＋by＋1=0與圓x2＋y2=1相切，則a＋b＋ab的最大值為( )
A.1 B.－1 C.eq \r(2)＋eq \f(1,2) D.1＋eq \r(2)
【答案解析】答案為：C；
解析：因?yàn)橹本€ax＋by＋1=0與圓x2＋y2=1相切，所以eq \f(1,\r(a2＋b2))=1，即a2＋b2=1，
令a=cs θ，b=sin θ(θ是參數(shù))，即
a＋b＋ab=cs θ＋sin θ＋cs θsin θ，
令cs θ＋sin θ=t(－eq \r(2)≤t≤eq \r(2))，
則cs θsin θ=eq \f(t2－1,2)，即a＋b＋ab=eq \f(t2＋2t－1,2)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
當(dāng)t=eq \r(2)時(shí)，a＋b＋ab的最大值為eq \r(2)＋eq \f(1,2).
、填空題
“m=3”是“兩直線l1：mx＋3y＋2=0和l2：x＋(m－2)y＋m－1=0平行”的________條件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個(gè)填空)
【答案解析】答案為：充要.
解析：若l1∥l2，則m(m－2)－3=0，解得m=3或m=－1(此時(shí)兩直線重合，舍去)，
所以m=3，必要性成立；若m=3，k1=k2，l1∥l2，充分性成立，
所以“m=3”是“兩直線l1：mx＋3y＋2=0和l2：x＋(m－2)y＋m－1=0平行”的充要條件.
直線l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6=0，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)________.
【答案解析】答案為：(2，－2).
解析：直線l的方程變形為a(x＋y)－2x＋y＋6=0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,－2x＋y＋6＝0，))解得x=2，y=－2，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(2，－2).
經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓的半徑是________.
【答案解析】答案為：5.
解析：易知圓心在線段AC的垂直平分線y=－2上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－2)，
由(a－1)2＋(－2－3)2=(a－4)2＋(－2－2)2，得a=1，即圓心坐標(biāo)為(1，－2)，
∴半徑為r=5.
已知AB為圓x2＋y2=1的一條直徑，點(diǎn)P為直線x－y＋2=0上任意一點(diǎn)，則eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的最小值為________.
【答案解析】答案為：1.
解析：由題意，設(shè)A(cs θ，sin θ)，P(x，x＋2)，則B(－cs θ，－sin θ)，
∴eq \(PA,\s\up7(―→))=(cs θ－x，sin θ－x－2)，eq \(PB,\s\up7(―→))=(－cs θ－x，－sin θ－x－2)，
∴eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))=(cs θ－x)(－cs θ－x)＋(sin θ－x－2)·(－sin θ－x－2)
=x2＋(x＋2)2－cs2θ－sin2θ=2x2＋4x＋3=2(x＋1)2＋1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=－1，即P(－1，1)時(shí)，eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))取最小值1.
、解答題
已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)且在x，y軸上的截距相等.
(1)求直線l的一般方程；
(2)若直線l在x，y軸上的截距不為0，點(diǎn)P(a，b)在直線l上，求3a＋3b的最小值.
【答案解析】解：(1)①截距為0時(shí)，l：y=2x；
②截距不為0時(shí)，k=－1，l：y－2=－(x－1)，
∴y=－x＋3.
綜上，l的一般方程為2x－y=0或x＋y－3=0.
(2)由題意得l：x＋y－3=0，∴a＋b=3，
∴3a＋3b≥2eq \r(3a·3b)=2eq \r(3a＋b)=6eq \r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=eq \f(3,2)時(shí)，等號(hào)成立，
∴3a＋3b的最小值為6eq \r(3).
設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y－2－a=0(a∈R)，若a＞－1，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積取最小值時(shí)，直線l的方程.
【答案解析】解：易求Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,a＋1)，0))，N(0,2＋a)，∵a＞－1，
∴S△OMN=eq \f(1,2)·eq \f(a＋2,a＋1)·(2＋a)=eq \f(1,2)·eq \f([?a＋1?＋1]2,a＋1)
=eq \f(1,2)[(a＋1)＋eq \f(1,a＋1)＋2]≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＋1=eq \f(1,a＋1)，即a=0時(shí)取等號(hào).
故所求直線l的方程為x＋y－2=0.
已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)=0與點(diǎn)P(－2,2).
(1)證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)，并求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)證明：該方程表示的直線與點(diǎn)P的距離d小于4eq \r(2).
【答案解析】解：(1)顯然2＋λ與－(1＋λ)不可能同時(shí)為零，
對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線.
∵方程可變形為2x－y－6＋λ(x－y－4)=0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為M(2，－2).
(2)證明：過(guò)P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ|≤|PM|，
當(dāng)且僅當(dāng)Q與M重合時(shí)，
|PQ|=|PM|，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線方程是y＋2=x－2，即x－y－4=0.
但直線系方程唯獨(dú)不能表示直線x－y－4=0，
∴M與Q不可能重合，而|PM|=4eq \r(2)，
∴|PQ|

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