2020-2021學年北京市大興區(qū)高三定位一模考試本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，則（A） （B）（C） （D）（2）已知，，，則（A） （B）（C） （D）（3）在復平面內，復數對應的點位于第二象限，則角的終邊在（A）第一象限  （B）第二象限（C）第三象限  （D）第四象限（4）在的展開式中，的系數為（A） （B）（C） （D）（5）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的最長棱為（A） （B）（C） （D） （6）已知函數，則“”是“為奇函數”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（7）已知直線經過點，則原點到點的距離可以是（A） （B）（C） （D）（8）等差數列的前項和為．已知，．記，則數列的（A）最小項為  （B）最大項為（C）最小項為  （D）最大項為（9）拋物線的焦點為.對于上一點，若的準線上只存在一個點，使得為等腰三角形，則點的橫坐標為（A） （B）（C） （D）（10）在正方體中，點在正方形內，且不在棱上，則（A）在正方形內一定存在一點，使得（B）在正方形內一定存在一點，使得（C）在正方形內一定存在一點，使得平面平面（D）在正方形內一定存在一點，使得平面
第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數的定義域為________．（12）已知雙曲線（其中）的漸近線方程為，則________，的右焦點坐標為________．（13）已知平面向量與的夾角為，則________．（14）已知函數．若非零實數，使得對都成立，則滿足條件的一組值可以是________，________．(只需寫出一組)（15）已知曲線，，其中．①當時，曲線與有個公共點；②當時，曲線圍成的區(qū)域面積大于曲線圍成的區(qū)域面積；③，曲線圍成的區(qū)域面積等于圍成的區(qū)域面積；④，曲線圍成的區(qū)域內整點（即橫、縱坐標均為整數的點）個數不少于曲線圍成的區(qū)域內整點個數．其中，所有正確結論的序號是________．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題14分）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的面積．條件①：，；條件②：，為等腰三角形．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
（17）（本小題共14分）如圖，長方體中,，，點為的中點．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．  （18）（本小題14分）某電商平臺聯合手機廠家共同推出“分期購”服務，付款方式分為四個檔次：1期、2期、3期和4期．記隨機變量、分別表示顧客購買型手機和型手機的分期付款期數，根據以往銷售數據統計，和的分布列如下表所示：    （Ⅰ）若某位顧客購買型和手機各一部，求這位顧客兩種手機都選擇分期付款的概率；（Ⅱ）電商平臺銷售一部型手機，若顧客選擇分期付款，則電商平臺獲得的利潤為300元；若顧客選擇分期付款，則電商平臺獲得的利潤為350元；若顧客選擇分期付款，則電商平臺獲得的利潤為400元；若顧客選擇分期付款，則電商平臺獲得的利潤為450元．記電商平臺銷售兩部型手機所獲得的利潤為(單位:元)，求的分布列；（Ⅲ）比較與的大?。?/span>只需寫出結論）   （19）（本小題14分）已知函數．（Ⅰ）若曲線在點處的切線傾斜角為，求的值；（Ⅱ）若在上單調遞增，求的最大值；（Ⅲ）請直接寫出的零點個數.   （20）（本小題14分）已知橢圓．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）經過原點的直線與橢圓交于兩點，直線與直線垂直，且與橢圓的另一個交點為．（i）當點為橢圓的右頂點時，求證：為等腰三角形；（ii）當點不是橢圓的頂點時，求直線和直線的斜率之比.  （21）（本小題15分）對于給定的區(qū)間和非負數列若存在使，成立，其中，，則稱數列可“嵌入”區(qū)間.（Ⅰ）分別指出下列數列是否可“嵌入”區(qū)間；①；②.（Ⅱ）已知數列滿足，若數列可“嵌入”區(qū)間，求數列的項數的最大值；（Ⅲ）求證：任取數列滿足，均可以“嵌入”區(qū)間.（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）2020-2021學年北京市大興區(qū)高三定位考試數學參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A          （2）D          （3）D（4）B           （ 5 ）C（6）C          （7）B（8）C（9）D（10）A二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）      （12）　　（13）       （14）　　（答案不唯一）（15）①③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共14分）解：選條件①：，（Ⅰ）在中，因為， …………3分　　　且，，所以 所以，（舍）． …………5分由正弦定理得． …………8分因為，所以． …………9分所以． …………10分（Ⅱ）因為 …………13分在中，，，所以． …………14分選條件②：，為等腰三角形．（Ⅰ）在中，因為，所以為鈍角． 因為為等腰三角形，所以為頂角．所以． …………2分因為， …………5分所以．由正弦定理得． …………8分因為，所以． …………9分所以． …………10分（Ⅱ）因為 …………13分在中，，，所以． …………14分 
（17）（共14分）解：（Ⅰ）連接交于點，連接． 因為為長方體，所以為矩形． 所以點為中點． 又因為為中點，所以在中，． …………2分 又平面，平面， …………4分 所以平面． …………5分（Ⅱ）以D為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系．…………6分則，所以，，．所以所以 …………8分又， …………9分所以平面． …………10分（Ⅲ）因為為長方體，所以平面 所以取平面的法向量為， …………11分再由（Ⅱ），取平面的法向量為． …………12分所以． 由題知二面角為鈍角，所以其余弦值為． …………14分（18）（共14分）解：（Ⅰ）設事件為“這位顧客兩種手機都選擇分期付款”． …………1分故． …………4分（Ⅱ）的所有可能值為． …………5分所以的分布列為 …………11分（Ⅲ）． …………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）因為，所以． …………2分．由題設知，即，解得． …………5分（Ⅱ）設．所以． …………7分令,．因為當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以的最小值為，即的最小值為． …………9分因為在上單調遞增，所以對成立．所以．所以的最大值為． …………11分（Ⅲ）當時，只有1個零點． …………12分當時，有3個零點． …………14分 （20）（共14分）解：（Ⅰ）因為橢圓方程，所以． …………1分所以． …………2分所以離心率． …………4分（Ⅱ）（i）設．由題設知，． …………5分因為，所以點在以線段為直徑的圓上，所以有． …………6分又． …………7分解得（舍）． 所以． …………9分所以．又． …………10分所以，即為等腰三角形．（ii）法1：設，且,,.記直線的斜率分別為.所以. …………11分因為，所以. …………12分又.因為所以. …………13分所以.所以，即直線和直線的斜率之比為. …………14分（ii）法2：因為點不是橢圓的頂點，所以直線的斜率都存在且不為0，設直線的方程為由得由所以.設,的中點.因為 …………12分所以， …………13分因為所以又因為所以.所以. …………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）①不可以；②可以. …………4分（Ⅱ）因為，所以. …………6分當為奇數時，取當為偶數時，取此時可取，所以． …………10分（Ⅲ）設數列滿足，構造數列如下：，其中.根據的定義知道，當時，因為，所以.當時，因為，所以.而所以所以任取數列滿足，均可以“嵌入”區(qū)間.   

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