2019~2020學(xué)年度北京市大興區(qū)高三第一次模擬綜合練習(xí)數(shù)學(xué)第一部分（選擇題  共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)==1﹣i對應(yīng)的點（1，﹣1）位于第四象限．故選D．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)交集運算，即可得答案；【詳解】，，，故選：D.【點睛】本題考查集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式可求得的值，再代入前項和公式，即可得答案；【詳解】，故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增且存在零點的是（    ）A  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的零點為方程的根，結(jié)合解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案；【詳解】對A，方程無解，不存在零點，故A錯誤；對B，無解，不存在零點，故B錯誤；對D，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在不具有單調(diào)性，故D錯誤；故選：C.【點睛】本題考查通過函數(shù)的解析式研究函數(shù)的零點和單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.5.在的展開式中，只有第三項的二項式系數(shù)最大，則含項的系數(shù)等于（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)展開式的第三項的二項式系數(shù)最大可得，再由二項式展開式的通項公式，即可得答案；【詳解】由題意得，，當(dāng)時，，含項的系數(shù)等于，故選：A.【點睛】本題考查二項式定理的運用，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別.6.若拋物線上一點M到其焦點的距離等于2，則M到其頂點O的距離等于（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)點，根據(jù)焦半徑公式可求得的坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式，即可得答案；【詳解】設(shè)點，為拋物線的焦點，，，，故選：C.【點睛】本題考查拋物線的焦半徑公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知數(shù)列是等比數(shù)列，它的前項和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)這一關(guān)系，即可得答案；【詳解】，，，“數(shù)列為遞增數(shù)列”，若“數(shù)列為遞增數(shù)列”，則，“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分必要條件，故選：C.【點睛】本題考查與的關(guān)系、充分必要條件的判斷，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.8.某四棱錐的三視圖如圖所示，如果方格紙上小正方形的邊長為，那么該幾何體的最長棱的棱長為（    ）A. 3 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何體的三視圖可得，該幾何體是四棱錐，再計算各條棱的長度，即可得答案；【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖可得，該幾何體是四棱錐 ，，，，，，該幾何體的最長棱的棱長為，故選：D.【點睛】本題考查利用三視圖還原幾何體的直觀圖、棱長的計算，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意準(zhǔn)確還原幾何體的直觀圖是關(guān)鍵.9.已知函數(shù)．若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個不相等的實根，則的最大整數(shù)值為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用換元法求出的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象得到的不等式，即可得答案；詳解】令，，，的圖象如圖所示，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個不相等的實根，在上有且僅有兩個不相等的實根，，的最大整數(shù)值為，故選：B.【點睛】本題考查利用換元法和圖象法解三角方程，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意換元后新元取值范圍.10.如圖，假定兩點，以相同的初速度運動．點沿直線作勻速運動，；點沿線段（長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離()．令與同時分別從，出發(fā)，那么，定義為的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號表示x與y的對應(yīng)關(guān)系就是，其中e為自然對數(shù)的底．當(dāng)點從線段的三等分點移動到中點時，經(jīng)過的時間為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)運動點三等分點的時間為，此時運動的距離為，運動點中點的時間為，此時運動的距離為，再利用做勻速運動，利用路程除以速度可得時間.【詳解】設(shè)運動點三等分點的時間為，此時運動的距離為，運動點中點的時間為，此時運動的距離為，兩點，以相同的初速度運動，設(shè)點的運動速度為，，，，，，故選：D.【點睛】本題考查數(shù)學(xué)中的新定義問題、對數(shù)的運算法則，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意對數(shù)運算法則的運用.第二部分（非選擇題  共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知向量，， 若，則_______；【答案】【解析】分析】根據(jù)向量平行，向量坐標(biāo)交叉相乘相等，即可得答案；【詳解】，，故答案為：.【點睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減區(qū)間，則m的一個值可以是_______；【答案】（答案不唯一，只要）【解析】【分析】由題意可得在區(qū)間上恒成立，即可得答案；【詳解】，，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，取，顯然恒成立，故答案為：.【點睛】本題考查余弦二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，求解時注意結(jié)合三角函數(shù)的圖象進(jìn)行求解.13.若對任意，關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)的范圍是_______；【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的最小值，即可得到答案；【詳解】，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，，故答案為：.【點睛】本題考查不等式恒成立問題求參數(shù)的取值范圍，考查運算求解能力.14.已知為函數(shù)圖象上兩點，其中．已知直線AB的斜率等于2，且，則_______；______；【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】根據(jù)斜率公式和兩點間的距離公式，即可求得答案；【詳解】直線AB的斜率等于2，且，且，解得：，，；；故答案為：；.【點睛】本題考查直線的斜率公式和兩點間的距離公式，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力運算求解能力，求解時注意對數(shù)的運算法則的應(yīng)用.15.在直角坐標(biāo)系中，雙曲線（）離心率，其漸近線與圓 交軸上方于兩點，有下列三個結(jié)論：① ；②存在最大值；③ ．則正確結(jié)論的序號為_______.【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)雙曲線離心率的范圍可得兩條漸近線夾角的范圍，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系及弦長，即可得答案；【詳解】，，對①，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合，可得成立，故①正確；對②，，由于，沒有最大值，沒有最大值，故②錯誤；對③，當(dāng)時，，，又，，，故③正確；故答案為：①③.【點睛】本題考查向量與雙曲線的交會、向量的數(shù)量積和模的運算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.三、解答題共6題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，，，且的面積為．（1）求a的值；（2）若D為BC上一點，且             ，求的值．從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．【答案】（1）；（2）選①，；選②，．【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式得，再利用余弦定理，即可得答案；（2）①當(dāng)時，由正弦定理，可求得，再由，可求得答案；②當(dāng)時，由余弦定理和誘導(dǎo)公式，可求得答案；【詳解】（1） 由于 ，，，所以，由余弦定理  ，解得．（2）①當(dāng)時，在中，由正弦定理，    即，所以．             因為，所以．          所以，                        即．                          ②當(dāng)時，在中，由余弦定理知，．          因為，所以，                   所以，                             所以 ，                           即．【點睛】本題考查正余弦定理、三角形面積公式、誘導(dǎo)公式等知識的綜合運用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.17.為了調(diào)查各校學(xué)生體質(zhì)健康達(dá)標(biāo)情況，某機構(gòu)M采用分層抽樣的方法從校抽取了名學(xué)生進(jìn)行體育測試，成績按照以下區(qū)間分為七組：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)規(guī)定，測試成績低于60分為體質(zhì)不達(dá)標(biāo)．已知本次測試中不達(dá)標(biāo)學(xué)生共有20人．（1）求的值；（2）現(xiàn)從校全體同學(xué)中隨機抽取2人，以頻率作為概率，記表示成績不低于90分的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）另一機構(gòu)N也對該校學(xué)生做同樣的體質(zhì)達(dá)標(biāo)測試，并用簡單隨機抽樣方法抽取了100名學(xué)生，經(jīng)測試有20名學(xué)生成績低于60分．計算兩家機構(gòu)測試成績的不達(dá)標(biāo)率，你認(rèn)為用哪一個值作為對該校學(xué)生體質(zhì)不達(dá)標(biāo)率的估計較為合理，說明理由．【答案】（1）；（2）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為0.2；（3）用機構(gòu)M測試的不達(dá)標(biāo)率估計A校不達(dá)標(biāo)率較為合理，理由詳見解析．【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖知，，解方程可得的值；（2）由圖知，每位學(xué)生成績不低于90分的頻率為，由已知的所有可能取值為，再根據(jù)二項分布，即可得答案；（3）機構(gòu)M抽測的不達(dá)標(biāo)率為 ，機構(gòu)N抽測的不達(dá)標(biāo)率為，再從樣本能否較好反映總體的分布情況說明理由．【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，，   解得．                                             （2）由圖知，每位學(xué)生成績不低于90分的頻率為 ，    由已知，的所有可能取值為，                       則，，．                                  所以的分布列為X012P0.810.180.01  所以．                      （3）機構(gòu)M抽測的不達(dá)標(biāo)率為 ，                            機構(gòu)N抽測的不達(dá)標(biāo)率為．                          （以下答案不唯一，只要寫出理由即可）①用機構(gòu)M測試的不達(dá)標(biāo)率估計A校不達(dá)標(biāo)率較為合理．    理由：機構(gòu)M選取樣本時使用了分層抽樣方法，樣本量也大于機構(gòu)N，樣本更有代表性，所以，能較好反映了總體的分布．                     ②沒有充足的理由否認(rèn)機構(gòu)N的成績更合理．                  理由：盡管機構(gòu)N的樣本量比機構(gòu)M少，但由于樣本的隨機性，不能排除樣本較好的反映了總體的分布，所以，沒有充足的理由否認(rèn)機構(gòu)N的成績更合理．【點睛】本題考查頻率分布直方圖、二項分布、樣本與總體的關(guān)系，考查數(shù)據(jù)處理能力，求解時注意在說理由時要根據(jù)統(tǒng)計的相關(guān)知識來回答.18.如圖，在三棱柱中，，，，是的中點，E是棱上一動點．（1）若E是棱的中點，證明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）是否存在點E，使得，若存在，求出E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）不存在，理由詳見解析．【解析】【分析】（1）取中點為，連結(jié)，證明，再利用線面平行判定定理，即可證得結(jié)論；（2）先證明兩兩垂直，再建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面ABC的法向量為，再利用向量的夾角公式，即可得答案；（3）設(shè)，由，解得與假設(shè)矛盾，從而得到結(jié)論.【詳解】（1）證明：取中點為，連結(jié)，在中，因為為的中點，所以且．又因為是的中點，，所以且，所以為平行四邊形所以．               又因為平面，  ．平面，所以平面．      （2）連結(jié)，因為是等邊三角形，是的中點，所以，因為，，所以．因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以兩兩垂直．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，            則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，                               即，                               令，則，，所以．                             平面ABC的法向量為，．又因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．            （3），，設(shè)，則，所以，，所以，假設(shè)，則，解得，                                   這與已知矛盾．不存在點E.【點睛】本題考查線面平行判定定理的運用、向量法求二面角的大小及利用向量證明直線垂直，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力.19.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，一條直線與橢圓C交于，兩點，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析．【解析】【分析】（1）因為橢圓經(jīng)過點，所以，再根據(jù)離心率，即可求得橢圓的方程；（2）①若直線的斜率存在時，，，，與橢圓方程聯(lián)立，由可得，從而得到的關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離公式，可證明結(jié)論；②若直線的斜率不存在，則有，可證結(jié)論也成立.【詳解】（1）因為橢圓經(jīng)過點，所以，又因為，則，由，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①若直線的斜率存在時，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得：，有，  由題意，，設(shè)，，所以，．        因為以為直徑的圓過原點，由，得 ，               即，整理得，，                             而  設(shè)h為到的距離，則所以，而，所以．             ②若直線的斜率不存在，則有，     不妨設(shè)，設(shè)，有，代入橢圓方程得，，，即，綜上．【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、離心率的概念、橢圓中的定值問題，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意對斜率進(jìn)行討論.20.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求證：函數(shù)有且只有一個零點．【答案】（1）；（2）詳見解析．【解析】【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出切線的斜率和切點坐標(biāo)，即可得答案；（2）函數(shù)的定義域為，要使函數(shù)有且只有一個零點，只需方程有且只有一個根，即只需關(guān)于x的方程在上有且只有一個解，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在單調(diào)遞增，再利用零點存在定理，即可得答案；【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，，，                                      ，，所以函數(shù)在點處的切線方程是．（2）函數(shù)的定義域為，要使函數(shù)有且只有一個零點，只需方程有且只有一個根，即只需關(guān)于x的方程在上有且只有一個解．設(shè)函數(shù)，                               則，                                     令，則，                                    由，得．                                    x單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增  由于，                               所以，所以在上單調(diào)遞增，           又，，                             ①當(dāng)時， ，函數(shù)在有且只有一個零點，②當(dāng)時，由于，所以存在唯一零點．綜上所述，對任意的函數(shù)有且只有一個零點．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點個數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意對函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)的運用.21.已知數(shù)列滿足：對任意的，若，則，且，設(shè)集合，集合中元素最小值記為，集合中元素最大值記為．（1）對于數(shù)列：，寫出集合及；（2）求證：不可能為18；（3）求的最大值以及的最小值．【答案】（1），，；（2）詳見解析；（3）的最大值為17， 的最小值為16．【解析】【分析】（1）由題意易得，，．        （2）利用反證法，假設(shè)，可推出，這一集合元素互異性的矛盾；（3）首先求，由（2）知，而是可能的；再證明：的最小值為16．【詳解】（1）由題意易得，，.（2）證明：假設(shè)，設(shè)，則=，即，因為，所以，同理，設(shè)，可以推出，中有兩個元素為1，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，不可能為18．                              （3）的最大值為17，的最小值為16．①首先求，由（2）知，而是可能的．當(dāng)時，                                  設(shè)則=即，                                     又得，即．同理可得：．                  對于數(shù)列：此時，，滿足題意．所以的最大值為17；                             ②現(xiàn)證明：的最小值為16．先證明為不可能的，假設(shè)．             設(shè)，可得，即，元素最大值為10，所以．又，同理可以推出，矛盾，假設(shè)不成立，所以．數(shù)列為：時，，，中元素的最大值為16．所以的最小值為16．【點睛】本題考查集合的新定義和反證法的運用，考查反證法的證明，考查邏輯推理能力、運算求解能力，屬于難題.  

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