第十六講 空間向量求空間角 異面直線間的夾角過空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面直線所成的角．異面直線間夾角的范圍是． 1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為(　　)A.　　　　　　　 B. C.   D. 2．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為(　　)A.   B．－C.   D．－3．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1，則AB1與BC1所成角的大小為(　　)A．30°　　　　　　　　　　 B．60°C．75°   D．90° 4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。?/span>         線面夾角過不平行于平面的直線上一點(diǎn)作平面的垂線，這條直線與平面的交點(diǎn)與原直線與平面的交點(diǎn)的連線與原直線構(gòu)成的銳角或直角．斜線與它在平面上的射影所成的角為線面夾角．  1．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為(　　)A．8　　　　　　　　B．6 C．8   D．8 2．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為________． 3．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為(　　)A.   B. C.   D.4．如圖，正四棱錐P-ABCD的體積為2，底面積為6，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線BE與平面PAC所成的角為(　　)A．60°　　　　　　　　 B．30°C．45°   D．90°  二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．分別作垂直于，則就是這個(gè)二面角的平面角．  1．已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為2，則側(cè)面與底面所成的二面角的平面角為________． 2．已知△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，M為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ACM沿CM折起，得到三棱錐P-CBM，如圖所示．則當(dāng)二面角P-CM-B的大小為60°時(shí)，＝________.  3．已知二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面角的大小為(　　)A．150°　　　　　　　　　 B．45°C．120°   D．60°4．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且AB＝2，PA＝BC＝，則二面角A-BC-P的大小為________．  數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個(gè)空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)；③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝.(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝ 空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝km平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝kmα⊥βn⊥m?n·m＝0  1．如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；(3)求證：AA1⊥BD.          2．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥PB于點(diǎn)F.求證：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.           3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC.              1．異面直線所成角設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則，其中，分別是直線a，b的方向向量．2．直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則． 3．二面角(1)若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補(bǔ)角)的大小就是向量與的夾角，如圖(1)．(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面角α -l -β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則． 1．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA＝AC＝4，AB＝2.(1)求證：MN∥平面BDE；(2)已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．      2．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是(　　)A．30°　　　　　　　　 B．45°C．60° D．90° 3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值．        4．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點(diǎn)．(1)求證：平面BDM∥平面EFC；(2)若DE＝2AB，求直線AE與平面BDM所成角的正弦值．           5．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為________． 6．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA＝BC＝5，AC＝8，D為線段AC的中點(diǎn)．(1)求證：BD⊥A1D；(2)若直線A1D與平面BC1D所成角的正弦值為，求AA1的長．             7．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F分別在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF位置，OD′＝.(1)證明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B-D′A-C的余弦值．           8．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E為線段BD上的一點(diǎn)，且EB＝ED＝EC＝BC，連接CE并延長交AD于F.　(1)若G為PD的中點(diǎn)，求證：平面PAD⊥平面CGF；　(2)若BC＝2，PA＝3，求二面角B-CP-D的余弦值．         

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