第七節(jié)  利用空間向量求空間角及距離知識回顧1．異面直線所成角設異面直線a，b所成的角為θ，則cos θ＝， 其中a，b分別是直線a，b的方向向量．2．直線與平面所成角如圖所示，設l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則sin φ＝|cos〈a，n〉|＝.3．二面角(1)若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補角)的大小就是向量與的夾角，如圖(1)．(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面角α -l -β為θ或π－θ.設二面角大小為φ，則|cos φ|＝|cos θ|＝，如圖(2)(3)．4. 點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離 課前檢測1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C. D.2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是(　　)A．(－1,1,1)  B．(1,－1,1)C．  D． 3.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為2,則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為________．4．過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面PAB與平面PCD所成的角為________．5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成角的大小是________．課中講解考點一.異面直線所成的角例1　(2019·湖北知名示范高中聯(lián)合質(zhì)檢)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為________．變式1.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA＝AC＝4，AB＝2.(1)求證：MN∥平面BDE；(2)已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．                例2.　如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2，求異面直線BC與AE所成的角的大?。?/span>    變式2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值．        考點二.直線與平面所成的角例1.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．     變式1.如圖，平面平面，且，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的余弦值．       例2.　如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分別是AC，A1B1的中點．(1)證明：EF⊥BC；(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值．            變式2.如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求實數(shù)k的值．      考點三.二面角例1.　如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝AB.(1) 證明：BC1∥平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值．                 變式1.[2018·天津高考]如圖，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.(1)若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：MN∥平面CDE；(2)求二面角E－BC－F的正弦值；(3)若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長．       例2.　(2020·連云港模擬)如圖，四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為矩形. SA⊥平面ABCD，E，F分別為AD，SC的中點，EF與平面ABCD所成的角為45°.(1)證明：EF為異面直線AD與SC的公垂線；(2)若EF＝BC，求二面角B－SC－D的余弦值．        變式2.（2020年江西贛洲）如圖，四邊形ABCD是菱形，平面ABCD，，平面BDE，G是AB中點．求證：平面BCF；若，，求二面角的余弦值．                            考點四.立體幾何中的探索性問題例1.已知正方形的邊長為4，E，F分別為AD，BC的中點，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點M在線段AB上． (1)若M為AB的中點，且直線MF與由A，D，E三點所確定平面的交點為O，試確定點O的位置，并證明直線OD∥平面EMC；(2)是否存在點M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°；若存在，求此時二面角M－EC－F的余弦值，若不存在，說明理由．          變式1.　如圖，底面ABCD是邊長為3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝2，DE＝3.(1)求證：平面ACE⊥平面BED；(2)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值；(3)在線段AF上是否存在點M，使得二面角M-BE-D的大小為60°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．       例2.　(2019·天津市南開區(qū)南開中學月考)如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于點E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如圖2.(1)求證：A1E⊥平面BCDE；(2)求二面角E－A1D－B的余弦值；(3)在線段BD上是否存在點P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，說明理由．        考點五.點到平面的距離 例1.如圖所示,△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB＝2,求點A到平面MBC的距離．          變式1.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2,E,F,G,H分別是棱AB,AD,B1C1,D1C1的中點,則平面EFD1B1和平面GHDB的距離是________.  課后習題一．單選題1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，則B1M與D1N所成角的余弦值為(　　)A.　　　　　　　 B.C. D.      2．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E為線段AB上一點，且AE＝AB，則DC1與平面D1EC所成角的正弦值為(　　)A. B.C. D.3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，二面角B-AA1-C1的大小為60°，點B到平面ACC1A1的距離為，點C到平面ABB1A1的距離為2，則直線BC1與直線AB1所成角的正切值為(　　)A. B.C. D．24.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，E，F，G分別為AB，AA1，A1C1的中點，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為(　　)A. B.C. D.   5．在正方體ABCD -A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　)A. B.C. D.6.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(      )A.   B.   C.   D.  二．填空題7．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直線OF與平面BED所成的角為45°，則AE＝________.8．如圖，在正四面體ABCD中，E、F分別是BC和AD的中點，則AE與CF所成的角的余弦值為________．.解析　設四面體的棱長為a，9．已知正四棱錐P—ABCD的棱長都相等，側(cè)棱PB、PD的中點分別為M、N，則截面AMN與底面ABCD所成的二面角的余弦值是________． 三．解答題10．(2018·全國卷Ⅲ)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧C所在平面垂直，M是C上異于C，D的點．(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)當三棱錐M-ABC體積最大時，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值．    11.如圖，在四棱錐E－ABCD中，底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，EC⊥BD.(1)求證：平面BED⊥平面ABCD；(2)若點P在側(cè)面ABE內(nèi)運動，且DP∥平面BEC，求直線DP與平面ABE所成角的正弦值的最大值．         12．(2020·重慶診斷)如圖1，在邊長為5的菱形ABCD中，AC＝6，現(xiàn)沿對角線AC把△ADC翻折到△APC的位置得到四面體P－ABC，如圖2所示．已知PB＝4.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)若Q是線段AP上的點，且＝，求二面角Q－BC－A的余弦值．        13.如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．
 （Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

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