直線與圓的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題分類(lèi)解析 直線與圓是解析幾何中兩種最常見(jiàn)的圖形，在生活中的應(yīng)用十分廣泛.解答有關(guān)應(yīng)用題時(shí)，通常根據(jù)題目的實(shí)際情況建立坐標(biāo)系，通過(guò)建立直線方程及圓的方程，再利用直線與圓的基本知識(shí)及直線與圓的位置關(guān)系求解.下面就直線與圓的方程知識(shí)在社會(huì)生活及生產(chǎn)中的實(shí)際應(yīng)用舉例分析.一、直線方程的應(yīng)用例1某高速路檢查站有一地鎊秤，它主要由一根彈簧組成，壓上10噸重的貨車(chē)時(shí)，長(zhǎng)50cm，若所貨車(chē)的重量每增加2噸，彈簧就縮短1cm，問(wèn)當(dāng)某輛貨車(chē)的重量為30噸時(shí)，求彈簧的長(zhǎng)度.分析：由題意知，所壓貨車(chē)的重量F與彈簧的長(zhǎng)度L是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線方程問(wèn)題，題中掛10噸的物體時(shí)，彈簧長(zhǎng)50cm，相當(dāng)于直線上的一點(diǎn)(10，50)，我們只要再求出直線的方程，再求出當(dāng)F＝30時(shí)，自變量L的值.解：可將貨車(chē)重量看成點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將彈簧的長(zhǎng)度看成點(diǎn)的縱坐標(biāo)，這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線方程問(wèn)題.由題意知，直線的斜率為k＝＝＝－.又因直線過(guò)點(diǎn)(10，50)，所以根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程為：L－50＝－(F－10)，即F＋2L－110＝0.即彈簧的長(zhǎng)度L（cm）與所掛物體重量F（N）之間關(guān)系的方程是F＋2L－110＝0.令F＝30，可得L＝40cm.故當(dāng)某輛貨車(chē)的重量為30噸時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為40cm.點(diǎn)撥：這是一道利用直線方程解決實(shí)際問(wèn)題的題目.做題時(shí)我們要認(rèn)真分析已知條件，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題.特別要注意本題所涉及的直線的斜率為負(fù)值.二、兩條直線位置關(guān)系的應(yīng)用例1到了“10.1黃金周”，甲、乙兩個(gè)同學(xué)準(zhǔn)備結(jié)伴郊游，但只有一輛自行車(chē)，因此兩人約定：甲騎車(chē)，乙步行，甲到某處后將車(chē)留下改為步行，乙到達(dá)留車(chē)處換成騎車(chē)，當(dāng)乙適當(dāng)超過(guò)甲時(shí)，乙將車(chē)留下改為步行，……如此反復(fù)輪換.已知兩人騎車(chē)的速度為15km/h，步行的速度為5km/h，從起點(diǎn)到目的地的距離為15km，問(wèn)最少需要多少時(shí)間兩人都能到達(dá)目的地？分析：最后兩人要同時(shí)到達(dá)，即是最后兩人相遇，因此可以從尋求證兩人相遇時(shí)滿足的條件著手，轉(zhuǎn)化為平面坐標(biāo)內(nèi)直線問(wèn)題來(lái)解決.解：如圖所示，以時(shí)間t為橫軸，路程S為縱軸建立直角坐標(biāo)系，則第一次轉(zhuǎn)換前騎車(chē)和步行的直線方程分別為：l1：S＝15t，l2：S＝5t，設(shè)甲先騎車(chē)到A1后改為步行，乙步行到到B1換成騎車(chē)，因?yàn)榧琢糗?chē)處恰為乙騎車(chē)處，所以A1和B1距起點(diǎn)的距離相等，即A1B1∥t軸，且A1、B1必分別在l1、l2上，又設(shè)兩人第一次相遇在C1，則因A1C1為步行，B1C1為乙騎車(chē)，∴A1C1∥l2，B1C1∥l1，從而四邊形OA1C1B1為平行四邊形.再設(shè)第一次換車(chē)時(shí)距離起點(diǎn)的路程為S1，則A1(，S1)，B(，S1).在平行四邊形OA1C1B1中，由OC1與A1B1的中點(diǎn)相同可求得C1的坐標(biāo)為(，2S1)，于是直線OC的斜率為k＝＝.同理，設(shè)第二次換車(chē)時(shí)距起點(diǎn)的路程為S2，第二次相遇在C2，則根據(jù)A2B2∥t軸，A1A2∥l2，B1B2∥l1，C1為A1A2和B1B2的中點(diǎn)可求得A2(，S2)，B(，S2)，再根據(jù)四邊形C1B2C2A2是平行四邊形，可以求得C2的坐標(biāo)為C2((S2－S1)，2(S2－S1))，于是，直線OC2的斜率為＝，如此下去，均可求得兩人各次相遇的點(diǎn)C1，C2，C3，…，Cn必定都在直線S＝t上，又由題意知，欲使兩人都能到達(dá)目的地的時(shí)間最短，必須兩人同時(shí)到達(dá)，即某一次的相遇點(diǎn)Cn恰好落在目的地，因此，所求的最短時(shí)間t應(yīng)滿足關(guān)系式t＝15，解之，得t＝=2(h).答：最少需要2小時(shí)都能到達(dá)目的地.點(diǎn)撥：從上面的解答過(guò)程可以看出，所求最短時(shí)間與兩人騎車(chē)、步行的改換次數(shù)無(wú)關(guān)，即無(wú)論兩人在途中將騎車(chē)與步行怎樣改來(lái)?yè)Q去，只要是兩人同時(shí)到達(dá)目的地，所需時(shí)間均為2小時(shí).三﹑點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用例1有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后，運(yùn)回的費(fèi)用如下：?jiǎn)挝痪嚯xA地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A、B兩地的距離為10km，顧客選A地或B地購(gòu)買(mǎi)這件商品的標(biāo)準(zhǔn)為包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低.求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn).分析：通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，利用等式A地運(yùn)費(fèi)＋價(jià)格＝B地運(yùn)費(fèi)＋價(jià)格，建立等式可以發(fā)現(xiàn)A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀為圓，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可確定購(gòu)貨地點(diǎn).解：以A、B所確定的直線為x軸，A、B的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，如圖所示，根據(jù)題意，有A(－5,0)，B(5,0)，設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x,y)，并設(shè)A地運(yùn)費(fèi)為3a元/km，B地運(yùn)費(fèi)為a元/km，因此，當(dāng)由P地到A、B兩地購(gòu)貨總費(fèi)用相等時(shí)，有A地運(yùn)費(fèi)＋價(jià)格＝B地運(yùn)費(fèi)＋價(jià)格，所以3a＝a，因?yàn)閍＞0，所以3＝，兩邊平方整理，得(x＋)2＋y2＝()2.(1)當(dāng)P點(diǎn)在(－,0)為圓心，為半徑的圓上時(shí)，居民到A、B兩地購(gòu)貨總費(fèi)用相等.(2)當(dāng)P點(diǎn)在上述圓內(nèi)時(shí)，(x＋)2＋y2＜()2，[9(x＋5)2＋9y2]－[(x－5)2＋y2]＝8[(x＋)2＋y2－()2]＜0，所以3＜，故此時(shí)到A地購(gòu)貨最合算.(3)當(dāng)P點(diǎn)在上述圓外時(shí)，同理可知，此時(shí)到B地購(gòu)貨最合算.點(diǎn)評(píng)：以點(diǎn)(－,0)為圓心，為半徑的圓就是A、B兩地售貨區(qū)域的分界線，掌握了這一分界線不僅對(duì)進(jìn)貨者有利，而且使商家能有效掌握售貨情況.四、直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用例2某城市規(guī)劃交通，擬在半徑為50m的高架圓形道東側(cè)某處開(kāi)一個(gè)出口，以與圓形道相切的方式，引伸一條直道接到距圓形道圓心正北150m處的道路上.試建立適當(dāng)坐標(biāo)系，寫(xiě)出引伸直道的方程，并計(jì)算出口應(yīng)開(kāi)在圓形道何處？分析：通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把實(shí)際的問(wèn)題(高架圓形道東側(cè)某處開(kāi)一個(gè)出口，以與圓形道相切)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的問(wèn)題(在點(diǎn)C處引圓O的切線，求切點(diǎn)P的坐標(biāo))，利用直線與圓的位置關(guān)系加以分析求解.解析：以圓形道圓心O原點(diǎn)，正北方向?yàn)閥軸正向，建立直角坐標(biāo)系，如圖，則圓形道的方程為x2＋y2＝502，引伸直與北向道路的交接點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,150)，設(shè)出口開(kāi)在圓形道的點(diǎn)P處，問(wèn)題的幾何表述是：在點(diǎn)C處引圓O的切線，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0)，因?yàn)镻是PC與圓O相切的切點(diǎn)，則PC方程可以表示為x0x＋y0y＝502，因?yàn)辄c(diǎn)C在PC上，以其坐標(biāo)(0,150)代入得150y0＝2500，y0＝，因?yàn)镻在圓O上，以其坐標(biāo)(x0,y0)代入圓方程，又得x＋()2＝502，x0＝±，據(jù)實(shí)際問(wèn)題，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓心O的東側(cè)，故應(yīng)取x0＝，所以引伸直道在所建坐標(biāo)系中的方程為(2x＋y)＝502，即2x＋y＝150，出口點(diǎn)P在所建坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(,).點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化思想是實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的重要解題思想，通過(guò)轉(zhuǎn)化實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)加以求解.而在轉(zhuǎn)化過(guò)程中要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題中的具體要求，達(dá)到實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，又不脫離現(xiàn)實(shí)實(shí)際.

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)B必修2電子課本

2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系

版本： 人教版新課標(biāo)B

年級(jí)： 必修2

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