前面我們學(xué)完了正弦、余弦定理，并對正弦、余弦定理的應(yīng)用舉例做了了解，兩個定理的應(yīng)用非常廣泛，可以與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合命題，也可以在現(xiàn)實生活中利用與正弦、余弦定理相關(guān)的知識解決問題，那么如何建立解三角形的模型解決問題呢？
知識點1 數(shù)學(xué)建模的概念
把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題，我們把數(shù)學(xué)知識的這一應(yīng)用過程稱為數(shù)學(xué)建模．
知識點2 正弦、余弦定理在實際測量中的應(yīng)用的一般步驟
(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；
(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的數(shù)學(xué)模型；
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；
(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．
測量底部不能到達的建筑物的高度時，往往需要在經(jīng)過建筑物底部的水平面內(nèi)引一條基線．
(1)當基線CD與建筑物AB在同一鉛垂面內(nèi)時，如圖，需要測量哪些數(shù)據(jù)？如何計算該建筑物的高度？
[提示] 測量出基線CD的長及在C，D處建筑物AB頂部點A的仰角的度數(shù)，
在Rt△ABD中，BD＝ eq \f(AB,tan ∠ADB)，
在Rt△ABC中，BC＝ eq \f(AB,tan ∠ACB)，
∴a＝CD＝BC－BD＝ eq \f(AB,tan ∠ACB)－ eq \f(AB,tan ∠ADB).
∴AB＝ eq \f(a,\f(1,tan ∠ACB)－\f(1,tan ∠ADB)).
(2)當基線CD與建筑物AB不在同一鉛垂面內(nèi)時，如圖，需要測量哪些數(shù)據(jù)？如何計算該建筑物的高度？
[提示] 測量出基線CD的長及在C處建筑物AB頂部點A的仰角的度數(shù)，在平面BCD內(nèi)，測量出∠BCD與∠BDC的度數(shù)．
在△BCD中，BC＝ eq \f(a,sin （∠BCD＋∠D）)×sin D.
∵AB⊥BC ，
∴∠BAC＝ eq \f(π,2)－∠ACB.
∴在△ABC中，AB＝ eq \f(BC,sin ∠BAC)×sin ∠ACB＝ eq \f(BC,cs ∠ACB)×sin ∠ACB.
∴AB＝ eq \f(\f(a,sin （∠BCD＋∠D）)×sin D,cs ∠ACB)×sin ∠ACB＝ eq \f(a sin D tan ∠ACB,sin （∠BCD＋∠D）).
類型1 基線與建筑物在同一鉛垂面內(nèi)
【例1】 如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α，在塔底C處測得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD.
[解] 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根據(jù)正弦定理得 eq \f(AC,sin ∠ABC)＝ eq \f(BC,sin ∠BAC)，即 eq \f(AC,sin （90°－α）)＝ eq \f(BC,sin （α－β）)，
∴AC＝ eq \f(BC cs α,sin （α－β）)＝ eq \f(h cs α,sin （α－β）).
在Rt△ACD中，CD＝AC sin ∠CAD
＝AC sin β＝ eq \f(h cs αsin β,sin （α－β）).
所以，山的高度為 eq \f(h cs αsin β,sin （α－β）).
解三角應(yīng)用題的一般步驟
(1)準確理解題意，分清已知和所求，尤其要理解應(yīng)用題中的名詞和術(shù)語；
(2)畫出示意圖，并在圖形中標注出已知條件；
(3)若已知量與未知量涉及多個三角形，則需要利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，并作答．
eq \a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])
1．某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35°，沿傾斜角為20°的斜坡前進1000米后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5°，求山的高度．(精確到1m. eq \r(2)≈1.4142，sin 35°≈0.5736).
[解] 過點D作DE∥AC交BC于E，
因為∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，
由正弦定理得，AB＝ eq \f(AD sin ∠ADB,sin ∠ABD)＝1000 eq \r(2)(m).
在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈811(m).
所以，山的高度約為811m.
類型2 基線與建筑物不在同一鉛垂面內(nèi)
【例2】 如圖所示，A、B是水平面上的兩個點，相距800 m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D點是點C到水平面的垂足，求山高CD.
[解] 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由 eq \f(AB,sin 15°)＝ eq \f(AD,sin 45°)，得AD＝ eq \f(AB·sin 45°,sin 15°)＝ eq \f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800( eq \r(3)＋1)(m).
所以，山的高度為800( eq \r(3)＋1)m．
測量高度時，要準確理解仰角、俯角的數(shù)學(xué)含義．它是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵．
eq \a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])
2.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，求此山的高度CD.
[解] 依題意，∠CAB＝30°，AB＝600 m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，
∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.
由正弦定理，得BC＝ eq \f(AB,sin ∠ACB)·sin ∠CAB＝ eq \f(600,sin 45°)×sin 30°＝300 eq \r(2)，
∴CD＝BC tan ∠CBD＝300 eq \r(2)×tan 30°＝100 eq \r(6)(m).
所以，山的高為100 eq \r(6)m.
1．如圖，AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法．
[解] 選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上．
由在G，H兩點用測角儀器測得A的仰角分別是α，β，CD＝a，測角儀器的高是h.
那么，在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC＝ eq \f(a sin β,sin （α－β）)，
AB＝AE＋h＝AC sin α＋h＝ eq \f(a sin αsin β,sin （α－β）)＋h.
所以，該建筑物高度AB為 eq \f(a sin αsin β,sin （α－β）)＋h.
2．要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，求電視塔的高度．
[解] 由題意畫出示意圖，
設(shè)高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，
在Rt△ABD中，由已知BD＝ eq \r(3)h，在△BCD中，
由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs ∠BCD，
即3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500.
所以，電視塔的高度為500m.
3．為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖所示).飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離．請設(shè)計一個方案：包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟．
[解] 方案1：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角α1，β1；B點到M，N點的俯角α2，β2；A，B的距離d(如圖所示).
②第一步：計算AM，由正弦定理，得AM＝ eq \f(d sin α2,sin （α1＋α2）)；
第二步：計算AN，由正弦定理，得AN＝ eq \f(d sin β2,sin （β2－β1）)；
第三步：計算MN，由余弦定理得：MN＝ eq \r(AM2＋AN2－2AM·AN cs （α1－β1）).
方案2：①需要測量的數(shù)據(jù)有：
A點到M，N點的俯角α1，β1；B點到M，N點的俯角α2，β2；A，B的距離d(如圖所示).
②第一步：計算BM，由正弦定理，得BM＝ eq \f(d sin α1,sin （α1＋α2）)；
第二步：計算BN，由正弦定理，得BN＝ eq \f(d sin β1,sin （β2－β1）)；
第三步：計算MN，由余弦定理得：MN＝ eq \r(BM2＋BN2＋2BM·BN cs （β2＋α2）).
4.某人在塔的正東方沿著南偏西60°的方向前進40 m以后，望見塔在東北方向．若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔的高度．
[解] 在△BCD中，CD＝40m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠DBC＝45°＋90°＝135°.
由正弦定理，得 eq \f(CD,sin ∠DBC)＝ eq \f(BD,sin ∠BCD)，
∴BD＝ eq \f(CD·sin ∠BCD,sin ∠DBC)＝ eq \f(40sin 30°,sin 135°)＝20 eq \r(2)(m).
在Rt△ABE中，tan ∠AEB＝ eq \f(AB,BE)，AB為定值，故要使∠AEB最大，需要BE最小，
即BE⊥CD，這時∠AEB＝30°.
在△BCD中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，
∴BE＝BD·sin ∠BDE＝20 eq \r(2)sin 15°＝10( eq \r(3)－1)(m).
在Rt△ABE中，AB＝BE tan ∠AEB＝10( eq \r(3)－1)·tan 30°＝ eq \f(10,3)(3－ eq \r(3))(m).
所以，塔的高度為 eq \f(10,3)(3－ eq \r(3))m．
學(xué) 習(xí) 任 務(wù)
核 心 素 養(yǎng)
1．了解數(shù)學(xué)建模的意義．
2．了解數(shù)學(xué)建模的基本過程．(重點)
3．能夠利用或建立解三角形模型解決關(guān)于高度測量的實際問題．(難點、重點)
1．經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．
2．通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題的過程，提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理與直觀想象素養(yǎng)．

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1 建筑物高度的測量

版本： 北師大版 (2019)

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