集合的含義與表示第2課時　集合的表示(教師用書獨具)●三維目標1．知識與技能(1)掌握集合的表示方法——列舉法和描述法；(2)能進行自然語言與集合語言間的相互轉(zhuǎn)換．2．過程與方法(1)教學時不僅要關(guān)注集合的基本知識的學習，同時還要關(guān)注學生抽象概括能力的培養(yǎng)；(2)教學過程中應(yīng)努力培養(yǎng)學生的思維能力，提高學生理解掌握概念的能力，訓練學生分析問題和處理問題的能力．3．情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)數(shù)學的特有文化——簡潔精練，體會從感性到理性的思維過程．●重點難點重點：用集合語言(描述法)表達數(shù)學對象或數(shù)學內(nèi)容．難點：集合表示法的恰當選擇．(1)重點的突破：以教材中的思考為切入點，讓學生感知列舉法表示集合不足的同時，順其自然的引出集合的另一種方法——描述法，然后通過具體實例說明描述法的特點及書寫形式，必要時可通過題組訓練，讓學生充分暴露用描述法表示集合時出現(xiàn)的各種疑點，教師給予適當點撥，從而化難為易；(2)難點的解決：本節(jié)課不僅要讓學生學習兩種表示法，同時還要讓學生體會如何恰當選擇表示法表示集合．為此，可通過實例多角度啟發(fā)學生關(guān)注知識間的聯(lián)系與區(qū)別，并借助兩種方法表示集合的優(yōu)缺點總結(jié)出表示法選擇的規(guī)律——在元素不太多的情況下，宜采用列舉法；在元素較多時，宜采用描述法表示． 課標解讀1.掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法．(重點)2.能夠運用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合．(重點、難點) 列舉法【問題導思】　設(shè)集合M是小于5的自然數(shù)構(gòu)成的集合，集合M中的元素能一一列舉出來嗎？【提示】　能.0,1,2,3,4.列舉法的定義：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.描述法【問題導思】　1．“絕對值小于2的實數(shù)”構(gòu)成的集合，能用列舉法表示嗎？【提示】　不能．2．設(shè)x為該集合的元素，x有何特征？【提示】　|x|<2.3．如何表示該集合？【提示】　{x∈R||x|<2}1.定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫描述法．2．具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征. 用列舉法表示集合　用列舉法表示下列集合：(1)方程x2－1＝0的解構(gòu)成的集合；(2)由單詞“book”的字母構(gòu)成的集合；(3)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合；(4)直線y＝x與y＝2x－1的交點組成的集合．【思路探究】　先分別求出滿足要求的所有元素，然后用列舉法表示集合．【自主解答】　(1)方程x2－1＝0的解為－1,1，所求集合為{－1,1}；(2)單詞“book”有三個互不相同的字母，分別為“b”、“o”、“k”，所求集合為{b，o，k}；(3)正整數(shù)有1,2,3，…，所求集合為{1,2,3，…}；(4)方程組的解是所求集合為. 1．用列舉法表示集合，要分清是數(shù)集還是點集，如本例(1)是數(shù)集，本例(4)是點集．2．使用列舉法表示集合時應(yīng)注意以下幾點：(1)在元素個數(shù)較少或有(無)限但有規(guī)律時用列舉法表示集合，如集合：{1,2,3}，{1,2,3，…，100}，{1,2,3，…}等．(2)“{}”表示“所有”的含義，不能省略，元素之間用“，”隔開，而不能用“、”；元素無順序，滿足無序性．用列舉法表示下列集合．(1)我國現(xiàn)有直轄市的全體．(2)絕對值小于3的整數(shù)集合．(3)方程組的解集．【解】　(1){北京，上海，天津，重慶}；(2){－2，－1,0,1,2}；(3)方程組的解是所求集合為.用描述法表示集合　用描述法表示下列集合：(1)不等式3x－2≥0的解構(gòu)成的集合；(2)偶數(shù)集；(3)平面直角坐標系中，第一象限內(nèi)的點的集合．【思路探究】　找準集合的代表元素→說明元素滿足的條件→用描述法表示相應(yīng)集合【自主解答】　(1)A＝{x|3x－2≥0}或A＝；(2)B＝{x|x＝2k，k∈Z}；(3){(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}． 1．用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序?qū)崝?shù)對來代表其元素．2．若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值范圍，如本例(2)．把本例(2)換成“{2,4,6,8,10}”如何求解？【解】　該集合用描述法表示為B＝{x|x＝2k,1≤k≤5且k∈Z}.集合表示法的選擇　用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/span>(1)方程組的解集；(2)1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所組成的集合；(3)所有的正方形；(4)拋物線y＝x2上的所有點組成的集合．【思路探究】　依據(jù)集合中元素的個數(shù)，選擇適當?shù)姆椒ū硎炯希?/span>【自主解答】　(1)解方程組得故解集為{(4，－2)}；(2)集合的代表元素是數(shù)x，集合用描述法表示為{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1000}；(3)集合用描述法表示為{x|x是正方形}，簡寫為{正方形}；(4)集合用描述法表示為{(x，y)|y＝x2}． 1．本例(1)在集合的表示時，常因不明白方程組解的含義，導致出現(xiàn)以下兩種錯誤表示：{4，－2}和{x＝4，y＝－2}．2．當集合的元素個數(shù)很少(很容易寫出全部元素)時，常用列舉法表示集合；當集合的元素個數(shù)較多(不易寫出全部元素)時，常用描述法表示．對一些元素有規(guī)律的無限集，也可以用列舉法表示，如正偶數(shù)集也可寫成{2,4,6,8,10，…}．有下面六種表示方法：①{x＝－1，y＝2}；②；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{x，y|x＝－1或y＝2}．其中能正確表示方程組的解集的是________，(把所有正確的序號都填在橫線上)【解析】　∵方程組的解為∴該方程組的解集應(yīng)為點集，其正確形式是②⑤.【答案】　②⑤  分類討論思想在集合表示法中的應(yīng)用　(12分)集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一個元素，試求實數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A.【思路點撥】　明確集合A的含義→對k加以討論→求出k值→寫出集合A【規(guī)范解答】　(1)當k＝0時，原方程變?yōu)椋?x＋16＝0，x＝2.2分此時集合A＝{2}.4分(2)當k≠0時，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有兩個相等實根.6分只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.8分此時方程的解為x1＝x2＝4，集合A＝{4}，滿足題意.10分綜上所述，實數(shù)k的值為0或1.當k＝0時，A＝{2}；當k＝1時，A＝{4}.12分 　1．解答與描述法有關(guān)的問題時，明確集合中代表元素及其共同特征是解題的切入點．2．本題因kx2－8x＋16＝0是否為一元二次方程而分k＝0和k≠0而展開討論，從而做到不重不漏．3．集合與方程的綜合問題，一般要求對方程中最高次項的系數(shù)的取值進行分類討論，確定方程的根的情況，進而求得結(jié)果．需特別關(guān)注判別式在一元二次方程的實數(shù)根個數(shù)的討論中的作用．   1．表示一個集合可以用列舉法，也可以用描述法，一般地，若集合元素為有限個，常用列舉法，集合元素為無限個多用描述法．2．處理描述法給出的集合問題時，首先要明確集合的代表元素，特別要分清數(shù)集和點集；其次要確定元素滿足的條件是什么．  1．使不等式x＞2成立的實數(shù)x的集合可表示為(　　)A．{x＞2}　　　　　　　　B．{x＞2|x∈R}C．{3,4,5，…}            D．{x∈R|x＞2}【解析】　使不等式x＞2成立的實數(shù)x的集合表示為{x|x＞2}．【答案】　D2．直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合為(　　)A.                 B．{(0,1)}C.                D.【解析】　解方程組得故集合為{(0,1)}【答案】　B3．下面四種說法正確的有________個．①10以內(nèi)的合數(shù)構(gòu)成的集合是{0,2,4,6,8,9}；②由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或{3,2,1}；③方程x2－2x＋1＝0的解集是{1}；④0與{0}表示同一個集合．【解析】　①不正確，∵0和2不是合數(shù)；②正確，用列舉法表示集合，其元素無順序可言；③正確，因為方程x2－2x＋1＝0有且只有一個解x＝1；④不正確，{0}表示一個集合，其元素只有一個0，故{0}與0不同．【答案】　24．分別用描述法和列舉法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解組成的集合；(2)大于1且小于5的所有整數(shù)構(gòu)成的集合．【解】　(1)描述法表示集合為{x|x2－x－2＝0}；由于方程x2－x－2＝0的兩解分別是－1,2，故方程的解組成的集合可用列舉法表示為{－1,2}；(2)描述法表示集合為{x|x是大于1且小于5的整數(shù)}；列舉法表示為{2,3,4}.        一、選擇題1．集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示(　　)A．方程y＝3x＋1B．點(x，y)C．平面直角坐標系中所有的點組成的集合D．函數(shù)y＝3x＋1的圖象上的所有點組成的集合【解析】　由集合描述法的定義可知，該集合表示函數(shù)y＝3x＋1的圖象上的所有點組成的集合．【答案】　D2．集合A＝{(0,1)，(2,3)}中元素的個數(shù)是(　　)A．1　　　　　　　　　B．2C．3                  D．4【解析】　集合A中的元素是點，而不是數(shù)，故集合A中有兩個元素．【答案】　B3．(2013·臨沂高一檢測)已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列結(jié)論正確的是(　　)A．0∈A              B．1?AC．－1∈A            D．0?A【解析】　∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0,1}，∴0∈A.【答案】　A4．下列集合的表示正確的是(　　)A．{1,2,2}B．R＝{全體實數(shù)}C．{3,5}D．不等式x－5>0的解集為{x－5>0}【解析】　A不正確，因為集合中的元素需滿足互異性；B不正確，因為花括號“{　}”本身就有“全體”的意思；C正確；D不正確，不等式x－5>0的解集為{x|x－5>0}．【答案】　C5．下列集合中表示同一集合的是(　　)A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}【解析】　A中M、N都為點集，元素為點的坐標，順序不同表示的點不同；C中M、N分別表示點集和數(shù)集；D中M為數(shù)集，N為點集，故選B.【答案】　B二、填空題6．若集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{y|y＝x－1，x∈A}，將集合B用列舉法表示為________．【解析】　x＝1時，y＝0；x＝2時，y＝1；x＝3時，y＝2；x＝4時，y＝3.故B＝{0,1,2,3}．【答案】　{0,1,2,3}7．設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，則集合A用列舉法表示為________．【解析】　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．【答案】　{－1,4}8．已知A＝{2,4,6}，若實數(shù)a∈A時，6－a∈A，則a＝________.【解析】　代入驗證，若a＝2，則6－2＝4∈A，符合題意；若a＝4，則6－4＝2∈A，符合題意；若a＝6，則6－6＝0?A，不符合題意，舍去，所以a＝2或a＝4.【答案】　2或4三、解答題9．選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/span>(1)被5除，余1的正整數(shù)組成的集合；(2)24的所有正因數(shù)組成的集合；(3)在直角坐標平面內(nèi)，兩坐標軸上的點組成的集合；(4)三角形的全體組成的集合．【解】　(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；(2{1,2,3,4,6,8,12,24}；(3){(x，y)|xy＝0}；(4){x|x是三角形}或{三角形}．(教師用書獨具)用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/span>(1)由大于5，且小于9的所有正整數(shù)組成的集合；(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(3)不等式2x＋3≥0的解組成的集合；(4)拋物線y＝－x2上的所有點組成的集合．【思路探究】　明確集合中的元素→明確元素滿足的條件選擇適當?shù)姆椒ū硎炯?/span>【規(guī)范解答】　(1){6,7,8}；(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴∴方程的解集可表示為{(2，－3)}；(3){x|2x＋3≥0}；(4){(x，y)|y＝－x2}． 　集合表示法的選擇(1)對于有限集或元素間存在明顯規(guī)律的無限集，可采用列舉法．(2)對于無明顯規(guī)律的無限集，不能將它們一一列舉出來，可以通過將集合中元素的只有這個集合才有的共同特征描述出來，即采用描述法．用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/span>(1)A＝；(2)B＝.【解】　(1)；(2)∵∈Z，且x∈N，∴1＋x＝1,2,3,6.∴x＝0,1,2,5，即＝6,3,2,1.∴B＝{6,3,2,1}．【資料卡片】康托爾·羅素·數(shù)學第三次危機1874年，德國數(shù)學家康托爾(1845－1918)創(chuàng)立了集合論，他是集合理論的創(chuàng)始人．集合理論很快滲透到大部分數(shù)學分支，成為它們的基礎(chǔ)．到19世紀末，全部數(shù)學幾乎都建立在集合論的基礎(chǔ)之上了．就在這時，集合論中接連出現(xiàn)了一些自相矛盾的結(jié)果，特別是1903年羅素提出的理發(fā)師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗．1903年，英國邏輯學家、數(shù)學家、諾貝爾和平獎獲得者羅素對集合論提出了以他的名字命名的“羅素悖論”．后來，他用一個“理發(fā)師悖論”來形象地說明自己的悖論：一天，薩維爾村理發(fā)師掛出一塊招牌：“村里所有不自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā)，我也只給這些人理發(fā)．”于是有人問他：“您的頭發(fā)由誰理呢？”理發(fā)師頓時啞口無言．很顯然，在邏輯上，他無論怎樣做，都會違背自己的原則．“羅素悖論”在20世紀數(shù)學理論中引起了軒然大波．“數(shù)學大廈的基石”竟然出現(xiàn)了明顯的“裂縫”，那么人類耗費數(shù)千年心血建立起來的“數(shù)學殿堂”，會不會倒塌呢？一時間，數(shù)學界眾說紛紜，悲觀者甚至因此把當代數(shù)學比作“建立在沙灘上的龐然大物”．這就是數(shù)學史上著名的“第三次數(shù)學危機”．“羅素悖論”構(gòu)成的危機震撼了國際數(shù)學界，進而也進一步推動了數(shù)學的向前發(fā)展．  

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1.1.1 集合的含義與表示

版本： 人教版新課標A

年級： 必修1

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