如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤校c(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD所在的直線l 對(duì)稱，問(wèn)線段CD所在的直線l 與線段AA′有什么關(guān)系？
我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡(jiǎn)化得到下圖.
已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l 對(duì)稱，如果沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直線l 既平分線段AA′，又垂直線段AA′.
我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.
由上可知：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.
如圖，在線段AB的垂直平分線l 上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB，線段PA，PB之間有什么關(guān)系？
作關(guān)于直線l 的軸反射（即沿直線l 對(duì)折），由于l 是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合. 從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.
線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.
由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：
我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過(guò)來(lái)，如果已知一點(diǎn)P到線段AB兩端的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，
所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，
顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如下圖所示.
所以△PAB是等腰三角形.
過(guò)頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，
從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
因此直線PC是線段AB的垂直平分線，
此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.
到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：
例 已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平 分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC. 求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.
證明 ∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，
∴ 點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.
1. 如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交 AB，BC于點(diǎn)D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度數(shù).
答：∠CAE=50°.
2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且 AC =BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O. 求證：AO=BO.
證明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴ CD為線段AB的垂直平分線.
又 AB與CD相交于點(diǎn)O
如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線.
根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵是找出到線段AB兩端距離相等的兩點(diǎn).
因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以可以用這種方法作出線段的中點(diǎn).
如何過(guò)一點(diǎn)P作已知直線l的垂線呢？
由于兩點(diǎn)確定一條直線， 因此我們可以通過(guò)在已知直線上作線段的垂直平分線來(lái)找出垂線上的另一點(diǎn)，從而確定已知直線的垂線.
用尺規(guī)完成下列作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）.1. 如圖，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA= PB.
2. 如圖，作出△ABC的BC邊上的高.
如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于18cm，則AC的長(zhǎng)等于（ ） B.8cm C.10cm D.12cm

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初中數(shù)學(xué)湘教版八年級(jí)上冊(cè)電子課本

2.4 線段的垂直平分線

版本： 湘教版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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