?2021-2022學(xué)年湖北省武漢市江夏區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）在一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（　?。?br /> A．2，5 B．2，﹣5 C．2，1 D．2，﹣1
2．（3分）下列四個(gè)圖形分別是四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中屬于中心對(duì)稱圖形的有（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方得（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝5
4．（3分）在某籃球邀請(qǐng)賽中，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共比賽36場(chǎng)．設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（　?。?br /> A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
5．（3分）如圖，已知圓心角∠BOC＝100°，則圓周角∠BAC的大小是（　?。?br />
A．50° B．100° C．130° D．200°
6．（3分）如圖，將△ABD繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△CBE，且點(diǎn)C剛好落在線段AD上，若∠CBD＝32°，則∠E的度數(shù)是（　?。?br />
A．32° B．34° C．36° D．38°
7．（3分）已知點(diǎn)A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+b的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（　?。?br /> A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．（3分）將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象繞點(diǎn)（1，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°，得到的圖象的解析式為（　?。?br /> A．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣3）2﹣2 D．y＝﹣（x+2）2﹣3
9．（3分）觀察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得，71+72+…+72020+72021的結(jié)果的個(gè)位數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．7 D．8
10．（3分）已知拋物線y＝x2﹣（1+m）x+m與直線y＝﹣x兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x1，x2，并且x12+mx2＝2，則m的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　 　．
12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是　 ?。?br /> 13．（3分）某種植物主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)分支又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干、小分支的總數(shù)是91，每個(gè)枝干長(zhǎng)出　 　小分支．
14．（3分）在半徑為10的⊙O中，弦AB＝12，弦CD＝16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是 　 ?。?br /> 15．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸為直線x＝1．下面結(jié)論：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個(gè)根大于﹣1且小于0．
其中正確的是 　 ?。ㄖ惶钚蛱?hào)）

16．（3分）△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D為BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)B作BF⊥l于F，過(guò)A作AE⊥l于E，求AE+BF的最大值為 　 　．

三、解答題（共8題，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
18．（8分）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．
求證：AC＝BD．

19．（8分）如圖，有一矩形的硬紙板，長(zhǎng)為30cm，寬為20cm，在其四個(gè)角各剪去一個(gè)相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為何值時(shí)，所得長(zhǎng)方體盒子的底面積為264cm2？

20．（8分）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過(guò)程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問(wèn)題：
（1）將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對(duì)應(yīng)線段AE；
（2）過(guò)點(diǎn)E畫一條直線把平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分；
（3）過(guò)點(diǎn)D畫格點(diǎn)線段DP，使得DP⊥BC于點(diǎn)M，垂足為M；
（4）過(guò)點(diǎn)M畫線段MN，使得MN∥AB，MN＝AB．

21．（8分）如圖，AB為⊙O直徑，C為AB上一點(diǎn)，DC⊥AB于C，交⊙O于D，D為中點(diǎn)，AE交DC于點(diǎn)F．
（1）求證：AE＝2DC；
（2）若AC＝2，AE＝8，求⊙O半徑R和CF長(zhǎng)．

22．（10分）某商店經(jīng)銷一種銷售成本為30元/kg的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析：若按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出300kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg．設(shè)售價(jià)為x元/kg（x＞50），月銷售量為ykg；
（1）求月銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）商店想在月銷售成本不超過(guò)6000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)不少于4000元，銷售單價(jià)應(yīng)定在什么范圍？請(qǐng)直接寫出售價(jià)x的取值范圍．
23．（10分）等邊△ABC中，D、E分別是邊AC、BC邊上的點(diǎn)，CD＝CE，以CE、CD為鄰邊作菱形CDFE，連BF，P為BF中點(diǎn)，連AP、EP．

（1）作出△PEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱的△PQB，并證明：AP⊥EP；
（2）將菱形CDFE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)：
①如圖2，確定線段AP與線段EP的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
②若AC＝3，DC＝1，菱形CDFE在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接寫出線段AP的最大值是 　 　，最小值是 　 ?。?br /> 24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（6，4）在拋物線上．

（1）求拋物線解析式；
（2）如圖1，D為y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且∠DCA＝2∠CAB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，直線y＝mx+n與拋物線交于點(diǎn)E、F，連接CE、CF分別交y軸于點(diǎn)M、N，若OM?ON＝3．求證：直線EF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

2021-2022學(xué)年湖北省武漢市江夏區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）在一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（　?。?br /> A．2，5 B．2，﹣5 C．2，1 D．2，﹣1
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)和多項(xiàng)式的項(xiàng)的定義得出答案即可．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是2和﹣1，
故選：D．
2．（3分）下列四個(gè)圖形分別是四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中屬于中心對(duì)稱圖形的有（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念即可求解．
【解答】解：第一個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，
第二個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形，
第三個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，
第四個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形，
故選：B．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方得（　?。?br /> A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝5
【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上4，然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5．
故選：B．
4．（3分）在某籃球邀請(qǐng)賽中，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共比賽36場(chǎng)．設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（　?。?br /> A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
【分析】關(guān)系式為：球隊(duì)總數(shù)×每支球隊(duì)需賽的場(chǎng)數(shù)÷2＝36，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】解：設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為：
x（x﹣1）＝36，
故選：A．
5．（3分）如圖，已知圓心角∠BOC＝100°，則圓周角∠BAC的大小是（　?。?br />
A．50° B．100° C．130° D．200°
【分析】根據(jù)圓周角定理可直接求出答案．
【解答】解：根據(jù)圓周角定理，可得：∠A＝∠BOC＝50°．
故選：A．
6．（3分）如圖，將△ABD繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△CBE，且點(diǎn)C剛好落在線段AD上，若∠CBD＝32°，則∠E的度數(shù)是（　?。?br />
A．32° B．34° C．36° D．38°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出答案．
【解答】解：∵將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△CBE，
∴CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，
∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠CBD＝32°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+32°＝72°，
∴∠D＝∠E＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．
故選：D．
7．（3分）已知點(diǎn)A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+b的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（　?。?br /> A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象具有對(duì)稱性和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可以判斷y1、y2、y3的大小，從而可以解答本題．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+b，
∴函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+b的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，開口向下，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵﹣1﹣（﹣3）＝2，﹣1﹣（﹣1）＝0，2﹣（﹣1）＝3，
∴y3＜y1＜y2，
故選：B．
8．（3分）將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象繞點(diǎn)（1，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°，得到的圖象的解析式為（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣3）2﹣2 D．y＝﹣（x+2）2﹣3
【分析】求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及繞點(diǎn)（2，1）旋轉(zhuǎn)180°后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)后拋物線開口方向向下，利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴繞點(diǎn)（1，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），
∴所得到的圖象的解析式為y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
故選：A．
9．（3分）觀察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得，71+72+…+72020+72021的結(jié)果的個(gè)位數(shù)是（　?。?br /> A．0 B．1 C．7 D．8
【分析】由71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，得出規(guī)律：個(gè)位數(shù)4個(gè)數(shù)一循環(huán)，由1+7+9+3＝20可得每循環(huán)的個(gè)位數(shù)字和的個(gè)位數(shù)均為0，進(jìn)而可求解．
【解答】解：由71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，可得：個(gè)位數(shù)4個(gè)數(shù)一循環(huán)，且4個(gè)數(shù)一循環(huán)的個(gè)位數(shù)字之和為7+9+3+1＝20，
∵2021÷4＝505…1，
∴71+72+…+72021＝505×0+7＝7，
故選：C．
10．（3分）已知拋物線y＝x2﹣（1+m）x+m與直線y＝﹣x兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x1，x2，并且x12+mx2＝2，則m的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2
【分析】把拋物線解析式與直線解析式聯(lián)立成方程組，得到關(guān)于x的方程，然后得到，再利用韋達(dá)定理可以得出x1+x2，然后代入x12+mx2＝2得出m的方程即可．
【解答】解：令x2﹣（1+m）x+m＝﹣x，
∴x2﹣mx+m＝0，
∴m2﹣4m＞0，
∴m＜0 或 m＞4，
x1+x2＝m，
∵，
∴，
∴
＝mx1﹣m+mx2，
＝m（x1+x2）﹣m，
＝m2﹣m，
∴m2﹣m＝2，
∴m1＝2（舍去），m2＝﹣1，
故選：A．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　x1＝0，x2＝1?。?br /> 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案為：x1＝0，x2＝1．
12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是?。ī?，﹣4）?。?br /> 【分析】根據(jù)關(guān)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．填空即可．
【解答】解：點(diǎn)P（2，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣4），
故答案為：（﹣2，﹣4）
13．（3分）某種植物主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)分支又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干、小分支的總數(shù)是91，每個(gè)枝干長(zhǎng)出　9　小分支．
【分析】設(shè)每個(gè)枝干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，則主干上長(zhǎng)出了x個(gè)枝干，根據(jù)主干、枝干和小分支的總數(shù)是91，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)每個(gè)枝干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，則主干上長(zhǎng)出了x個(gè)枝干，
根據(jù)題意得：x2+x+1＝91．
整理，得
（x+10）（x﹣9）＝0，
解得x1＝﹣10（舍去），x2＝9．
即每個(gè)枝干長(zhǎng)出 9小分支．
故答案是：9．
14．（3分）在半徑為10的⊙O中，弦AB＝12，弦CD＝16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是 　2或14?。?br /> 【分析】過(guò)O作OE⊥CD于E，直線OE交AB于F，連接OC，OA，根據(jù)垂徑定理求出CE＝DE＝8，AF＝BF＝6，根據(jù)勾股定理求出OE和OF，再求出EF即可．
【解答】解：過(guò)O作OE⊥CD于E，直線OE交AB于F，連接OC，OA，
∵AB∥CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，
∵AB＝12，CD＝16，OE過(guò)圓心O，
∴CE＝DE＝8，AF＝BF＝6，
有兩種情況：①如圖1，

由勾股定理得：OE＝＝＝6，
OF＝＝＝8，
∴EF＝OF﹣OE＝8﹣6＝2；
②如圖2，

EF＝OE+OF＝6+8＝14，
所以AB與CD之間的距離是2或14，
故答案為：2或14．
15．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸為直線x＝1．下面結(jié)論：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個(gè)根大于﹣1且小于0．
其中正確的是 ?、佗冖堋。ㄖ惶钚蛱?hào)）

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，本題得以解決．
【解答】解：由圖象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
則abc＜0，故①正確；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正確；
∵函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）和（3，0）之間，對(duì)稱軸是直線x＝1，
∴函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（﹣1，0）之間，故④正確；
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∴y＝a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③錯(cuò)誤；
故答案為：①②④．
16．（3分）△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D為BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)B作BF⊥l于F，過(guò)A作AE⊥l于E，求AE+BF的最大值為 　2?。?br />
【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求AC的長(zhǎng)，由“AAS”可證△BFD≌△CKD，可得BF＝CK，由垂線段最短可求解．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥l于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴BH＝2，AH＝2，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AH＝CH＝2，
∴AC＝＝＝2，

∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在△BFD與△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延長(zhǎng)AE，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，得矩形ENCK，
∴CK＝EN，
∴AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，最大值為2，
綜上所述，AE+BF的最大值為2．
故答案為2．
三、解答題（共8題，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】移項(xiàng)后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，開方后得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．
【解答】解：移項(xiàng)得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
開方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
18．（8分）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．
求證：AC＝BD．

【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)可知AE＝BE，再由垂徑定理可知CE＝DE，故可得出結(jié)論．
【解答】證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，

∵OA＝OB，
∴AE＝BE，
又∵在⊙O中，
∴CE＝DE，
∴AC＝BD
19．（8分）如圖，有一矩形的硬紙板，長(zhǎng)為30cm，寬為20cm，在其四個(gè)角各剪去一個(gè)相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為何值時(shí)，所得長(zhǎng)方體盒子的底面積為264cm2？

【分析】設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，那么長(zhǎng)方體紙盒的底面的長(zhǎng)為（30﹣2x）cm，寬為（20﹣2x）cm，然后根據(jù)底面積是264cm2即可列出方程求出即可．
【解答】解：設(shè)剪掉的正方形紙片的邊長(zhǎng)為x cm．
由題意，得 （30﹣2x）（20﹣2x）＝264．
整理，得 x2﹣25x+84＝0．
解方程，得 x1＝4，x2＝21（不符合題意，舍去）．
答：剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為4cm．
20．（8分）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過(guò)程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問(wèn)題：
（1）將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對(duì)應(yīng)線段AE；
（2）過(guò)點(diǎn)E畫一條直線把平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分；
（3）過(guò)點(diǎn)D畫格點(diǎn)線段DP，使得DP⊥BC于點(diǎn)M，垂足為M；
（4）過(guò)點(diǎn)M畫線段MN，使得MN∥AB，MN＝AB．

【分析】（1）作出點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E即可．
（2）連接AC，BD交于點(diǎn)O，作直線OE即可．
（3）取格點(diǎn)P，連接DP交BC于點(diǎn)M，線段DP即為所求．
（4）取格點(diǎn)H，F(xiàn)，連接HF交AD于點(diǎn)N，連接MN，線段MN即為所求．
【解答】解：（1）如圖，線段AE即為所求．
（2）如圖，直線OE即為所求．
（3）如圖，線段DP即為所求．
（4）如圖，線段MN即為所求．

21．（8分）如圖，AB為⊙O直徑，C為AB上一點(diǎn)，DC⊥AB于C，交⊙O于D，D為中點(diǎn)，AE交DC于點(diǎn)F．
（1）求證：AE＝2DC；
（2）若AC＝2，AE＝8，求⊙O半徑R和CF長(zhǎng)．

【分析】（1）由垂徑定理可得＝，DC＝CN＝DN，可得＝，可得AE＝DN＝2CD；
（2）由勾股定理可求半徑，通過(guò)證明△ACF∽△DCO，可得，即可求解．
【解答】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)DC交⊙O于N，

∵DC⊥AB，AB是直徑，
∴＝，DC＝CN＝DN，
∵D為中點(diǎn)，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴AE＝DN，
∴AE＝2CD；
（2）解：連接OD，

∵AC＝2，AE＝8，
∴CD＝4，CO＝R﹣2，
∵OD2＝CO2+DC2，
∴R2＝（R﹣2）2+16，
∴R＝5，
∴CO＝3，
∵D為中點(diǎn)，
∴OD⊥AE，
∴∠A+∠AOD＝90°＝∠AOD+∠D，
∴∠A＝∠D，
又∵∠ACF＝∠DCO，
∴△ACF∽△DCO，
∴，
∴＝，
∴CF＝．
22．（10分）某商店經(jīng)銷一種銷售成本為30元/kg的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析：若按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出300kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg．設(shè)售價(jià)為x元/kg（x＞50），月銷售量為ykg；
（1）求月銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）商店想在月銷售成本不超過(guò)6000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)不少于4000元，銷售單價(jià)應(yīng)定在什么范圍？請(qǐng)直接寫出售價(jià)x的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出300kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg，可以寫出月銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意可以寫出利潤(rùn)和售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少；
（3）根據(jù)月銷售成本不超過(guò)6000元，月銷售利潤(rùn)不少于4000元，可以得到相應(yīng)的不等式組，然后求解即可．
【解答】解：（1）由題意可得，
y＝300﹣（x﹣50）×10＝﹣10x+800，
即月銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)解析式是y＝﹣10x+800；
（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，
由題意可得w＝（x﹣30）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣55）2+6250，
∴當(dāng)x＝55時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝6250，
答：當(dāng)售價(jià)定為55元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6250元；
（3）∵月銷售成本不超過(guò)6000元，月銷售利潤(rùn)不少于4000元，
∴，
解得60≤x≤70，
即x的取值范圍是60≤x≤70．
23．（10分）等邊△ABC中，D、E分別是邊AC、BC邊上的點(diǎn)，CD＝CE，以CE、CD為鄰邊作菱形CDFE，連BF，P為BF中點(diǎn)，連AP、EP．

（1）作出△PEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱的△PQB，并證明：AP⊥EP；
（2）將菱形CDFE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)：
①如圖2，確定線段AP與線段EP的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
②若AC＝3，DC＝1，菱形CDFE在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接寫出線段AP的最大值是 　2　，最小值是 　　．
【分析】（1）證△BPQ≌△FPE（SAS），得BQ＝FE，∠BQP＝∠FEP，則BQ∥FE，再證△ABQ≌△ACE（SAS），得AQ＝AE，然后由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）①作△PEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱的△PQB，連接AQ、AE，同（1）得△BPQ≌△FPE（SAS），則QB＝EF，PQ＝PE，∠QBP＝∠EFP，再證△ABQ≌△ACE（SAS），得AQ＝AE，∠QAB＝∠EAC，然后證△AEQ是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得AP⊥EP，最后由銳角三角函數(shù)定義得AP＝PE即可；
②由等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義得AP＝AE，當(dāng)AE最大時(shí)，AP最大，當(dāng)AE最小時(shí)，AP最小，再求出AE的最大值和最小值即可．
【解答】（1）證明：如圖1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
由對(duì)稱的性質(zhì)得：PQ＝PE，
∵P為BF的中點(diǎn)，
∴PB＝PF，
又∵∠BPQ＝∠FPE，
∴△BPQ≌△FPE（SAS），
∴BQ＝FE，∠BQP＝∠FEP，
∴BQ∥FE，
∵四邊形CDFE是菱形，
∴CD∥FE，CD＝CE＝FE，
∴BQ∥CD，BQ＝CE，
∴∠QBC+∠ACB＝180°，
即∠ABQ+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABQ＝60°，
∴∠ABQ＝∠ACE，
∴△ABQ≌△ACE（SAS），
∴AQ＝AE，
∵PQ＝PE，
∴AP⊥EP；
（2）解：①AP⊥EP，AP＝EP，證明如下：
作△PEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱的△PQB，連接AQ、AE，如圖2所示：
同（1）得：△BPQ≌△FPE（SAS），
∴QB＝EF，PQ＝PE，∠QBP＝∠EFP，
∴QB∥EF，
∵四邊形CDFE是菱形，
∴CD∥FE，CE＝FE，
∴BQ∥CD，BQ＝CE，
∴∠QBC+∠BCD＝180°，
即∠ABQ+∠ABC+∠ACB+∠ACD＝180°，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABQ+∠ACD＝60°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ECD＝60°，
∴∠ABQ＝∠ACE，
∵BQ＝CE，AB＝AC，
∴△ABQ≌△ACE（SAS），
∴AQ＝AE，∠QAB＝∠EAC，
∵∠BAE+∠EAC＝60°，
∴∠QAB+∠BAE＝60°，
即∠QAE＝60°，
∴△AEQ是等邊三角形，
∵PQ＝PE，
∴AP⊥EP，∠EAP＝∠QAP＝∠QAE＝30°，
∴tan30°＝，
∴AP＝＝＝PE；
②由①得：AP⊥EP，△AEQ是等邊三角形，
∴∠AEP＝60°，
∴sin60°＝，
∴AP＝AE，
∴當(dāng)AE最大時(shí)，AP最大，當(dāng)AE最小時(shí)，AP最小，
如圖3，以C為圓心，CE為半徑作圓C，
∵四邊形CDFE是菱形，
∴CE＝CD＝1，
即圓C的半徑為1，
當(dāng)E位于線段AC上時(shí)，AE最小，
此時(shí)AE＝AC﹣CE＝2，
∴AP的最小值為；
當(dāng)E位于AC延長(zhǎng)線上時(shí)，AE最大，
此時(shí)AE＝AC+CE＝4，
∴AP的最大值為2，
故答案為：2，．



24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（6，4）在拋物線上．

（1）求拋物線解析式；
（2）如圖1，D為y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且∠DCA＝2∠CAB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，直線y＝mx+n與拋物線交于點(diǎn)E、F，連接CE、CF分別交y軸于點(diǎn)M、N，若OM?ON＝3．求證：直線EF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由∠DCA＝2∠CAB，得到∠CAB＝∠CMA，則CA＝CM，進(jìn)而求解；
（3）求出直線CE、CF的解析式，進(jìn)而求出直線CM的表達(dá)式，聯(lián)立CM與拋物線的表達(dá)式得到xE+xF＝4m+2，xE?xF＝﹣8﹣4n，由OM?ON＝3得到（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，
得，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣2；

（2）延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)M，

∵∠DCA＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠CMA，
∴CA＝CM，
過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥AM于點(diǎn)Q，
則QM＝AQ＝8，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（14，0），
由點(diǎn)C、M的坐標(biāo)得，直線DM的解析式為：y＝x+7，
令y＝x+7＝x2﹣x﹣2，
解得x＝﹣6或6，
x＝﹣6，y＝×（﹣6）+7＝10，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣6，10）；

（3）設(shè)直線CE的表達(dá)式為y＝kx+b，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式并解得b＝4﹣6k，
故直線CE解析式為：y＝kx﹣6k+4，
則點(diǎn)M（0，﹣6k+4），
令y＝x2﹣x﹣2＝kx﹣6k+4，
整理得x2﹣（+k）x+6k﹣6＝0，
∴xC+xE＝2+4k，
∴xE＝4k﹣4 ①，
同理設(shè)直線CF的解析式為：y＝tx﹣6t+4，則點(diǎn)N（0，﹣6t+4），即xF＝4t﹣4 ②，
由令y＝x2﹣x﹣2＝mx+n，
整理得x2﹣（+m）x﹣2﹣n＝0，
∴xE+xF＝4m+2③，
xE?xF＝﹣8﹣4n④，
將①②代入③④，得，
又OM?ON＝3，
∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3，
∴n＝m﹣，
∴y＝mx+n＝mx+m﹣＝m（x+）﹣，
當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣，
∴直線EF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．


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