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2021-2022學(xué)年湖北省武漢市漢陽區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）將一元二次方程3x2﹣2＝x化成一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（ ?。?/span>A．3，﹣2 B．3，0 C．3，1 D．3，﹣1【解答】解：3x2﹣2＝x，移項得：3x2﹣x﹣2＝0，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是3和﹣1，故選：D．2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ?。?/span>A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4【解答】解：∵x2﹣6x+5＝0，∴x2﹣6x＝﹣5，則x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4，故選：D．3．（3分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）A．趙爽弦圖 B．科克曲線 C．笛卡爾心形線 D．斐波那契螺旋線【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：B．4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的兩個根，則x1x2的值是（ ?。?/span>A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2【解答】解：根據(jù)題意得x1x2＝﹣2．故選：B．5．（3分）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到點P的距離為3，那么點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）A．點P在⊙O外 B．點P在⊙O內(nèi) C．P在⊙O上 D．無法確定【解答】解：∵圓O的半徑為5，P到圓心的距離為3，3＜5，∴點P在圓O的內(nèi)部，故選：B．6．（3分）在育紅學(xué)校開展的課外閱讀活動中，學(xué)生人均閱讀量從七年級的每年100萬字增加到九年級的每年121萬字．設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ?。?/span>A．100（1+x）2＝121 B．100×2（1+x）＝121 C．100（1+2x）＝121 D．100（1+x）+100（1+x）2＝121【解答】解：設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，根據(jù)題意即可列出方程：100（1+x）2＝121．故選：A．7．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，若點B′恰好落在BC邊上，AB′＝CB′，則∠C′的度數(shù)為（ ?。?/span>A．18° B．20° C．22° D．24°【解答】解：∵AB′＝CB′，∴∠C＝CAB′，∴∠AB′B＝∠C+∠CAB′＝2∠C，∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，∴∠C＝∠C′，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴C＝24°，∴∠C′＝∠C＝24°，故選：D．8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+4x經(jīng)變換后得到拋物線y＝x2﹣4x，則這個變換可以是（ ?。?/span>A．向左平移4個單位 B．向右平移4個單位 C．向左平移8個單位 D．向右平移8個單位【解答】解：y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，頂點坐標(biāo)是（﹣2，﹣4）．y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，頂點坐標(biāo)是（2，﹣4）．所以將拋物線y＝x2+4x向右平移4個單位得到拋物線y＝x2﹣4x，故選：B．9．（3分）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩根，則x13﹣4x22+20等于（ ?。?/span>A．1 B．5 C．11 D．13【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩根，∴x12+x1﹣3＝0，x22+x2﹣3＝0，∴x12＝﹣x1+3，x22＝﹣x2+3，∴x13＝x1（﹣x1+3）＝﹣x12+3x1＝﹣（﹣x1+3）+3x1＝4x1﹣3，∴x13﹣4x22+20＝4x1﹣3﹣4（﹣x2+3）+20＝4（x1+x2）+5，∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩根，∴x1+x2＝﹣1，∴x13﹣4x22+20＝4×（﹣1）+5＝1．故選：A．10．（3分）如圖，△ABC是圓O的內(nèi)接正三角形，弦EF過BC的中點D，且EF∥AB，若AB＝4，則DE的長為（ ）A．1 B．1 C． D．2【解答】解：方法一：如圖．過C作CN⊥AB于N，交EF于M，∵EF∥AB，∴CM⊥EF．根據(jù)圓和等邊三角形的性質(zhì)知：CN必過點O．∵EF∥AB，D是BC的中點，∴DG是△ABC的中位線，∴DGAB＝2；∵△CGD是等邊三角形，CM⊥DG，∴DM＝MG；∵OM⊥EF，由垂徑定理得：EM＝MF，∴DE＝GF．∵弦BC、EF相交于點D，∴BD?DC＝DE?DF，即DE×（DE+2）＝4；解得DE1（負(fù)值舍去）．方法二：如圖，連接OA，OE，∴OA2＝（2OA）2+22，∴OA∵EF∥AB，D是BC的中點，∴DG是△ABC的中位線，∴DGAB＝2；∵△CGD是等邊三角形，CM⊥DG，∴DM＝MG＝1，∵CD＝2，∴CM，∵OE＝OC＝OA，∴OM＝OC﹣CM，∴EM，∴DE＝EM﹣DM1．故選：B．二、填空題（每小題3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（﹣2，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是 ?。?/span>2，﹣3） ．【解答】解：點（﹣2，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（2，﹣3）．故答案是：（2，﹣3）．12．（3分）一個小組有若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡56張，則這個小組共有 8 人．【解答】解：設(shè)這小組有x人．由題意得：x（x﹣1）＝56，解得x1＝8，x2＝﹣7（不合題意，舍去）．答：這個小組共有8人．故答案為：8．13．（3分）如圖，將⊙O的劣弧AB翻折，D為優(yōu)弧AB上一點，AD交翻折后的弧AB于點C，若∠AOB＝80°，則∠DCB的大小是 40° ．【解答】解：作C點關(guān)于AB的對稱點C′，連接AC′、BC′，作所對的圓周角∠APB，如圖，∵C點和C′關(guān)于AB對稱，∴∠ACB＝∠AC′B，∵∠ACB+∠DCB＝180°，∠AC′B+∠APB＝180°，∴∠DCB＝∠P，∵∠P∠AOB80°＝40°，∴∠DCB＝40°．故答案為：40°．14．（3分）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率y與加工時間x（單位：min）滿足函數(shù)表達(dá)式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，則最佳加工時間為 3.75 min．【解答】解：根據(jù)題意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，當(dāng)x3.75時，y取得最大值，則最佳加工時間為3.75min．故答案為：3.75．15．（3分）關(guān)于拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0），給出下列結(jié)論：①當(dāng)a＜0時，拋物線與直線y＝2x+2沒有交點；②若拋物線與x軸有兩個交點，則其中一定有一個交點在點（0，0）與（1，0）之間；③若拋物線的頂點在點（0，0），（2，0），（0，2）圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則a≥1．其中正確結(jié)論的序號是 ②③ ．【解答】解：由，消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝16+4a，a＜0，∴Δ的值可能大于0，∴拋物線與直線y＝2x+2可能有交點，故①錯誤．∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ＝4﹣4a＞0，∴a＜1，∵拋物線經(jīng)過（0，1），且x＝1時，y＝a﹣1＜0，∴拋物線與x軸一定有一個交點在（0，0）與（1，0）之間．故②正確，∵拋物線的頂點在點（0，0），（2，0），（0，2）圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界），∴20且20，解得，a≥1，故③正確，故答案為：②③．16．（3分）如圖，等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D是AB上一點，AD＝2，BD＝4，E是邊BC上的動點，若點E繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)30°的對應(yīng)點是F，連CF，則CF的最小值是 32 ．【解答】解：如圖，將DB逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到DM，連接BM，作射線MF，過點A作AQ⊥BC于Q，過點C作CH⊥MF于H，設(shè)DM交BC于G，MF交BC于K，過點G作GN⊥AB于N，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝AD+BD＝2+4＝6，AQ⊥BC，∴∠ABC＝30°，∴AQAB＝3，∴BQ＝CQ3，∴BC＝2BQ＝6，∵∠BDM＝∠EDF＝30°，∴∠BDM+∠MDE＝∠MDE+∠EDF，即∠BDE＝∠MDF，∵DB＝DM，DE＝DF，∴△DBE≌△DMF（SAS），∴∠DBE＝∠DMF＝30°，∵∠DMB＝∠DBM75°，∴∠BKM＝∠CKH＝30°，∠BDG＝∠DBG＝30°，即點F在射線MF上移動，當(dāng)且僅當(dāng)CF⊥MF時，CF的值最小，∵GN⊥BD，∴BN＝DN＝2，設(shè)GN＝x（x＞0），則BG＝2x，∵BN2+GN2＝BG2，∴22+x2＝（2x）2，解得：x，∴BG＝DG，∴GM＝4GK，∴BK＝BG+GK＝4，∴CK＝BC﹣BK＝64，在Rt△CKH中，∠CKH＝30°，∴CHCK（64）＝32，∴CF的最小值為32；故答案為32．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一個根是2，求m的值及方程的另一個根．【解答】解：設(shè)方程的另一個根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，2+t＝﹣5，2t＝﹣m，解得t＝﹣7，m＝14，即m的值為14，方程的另一個根為﹣7．18．（8分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝1，圖象交x軸于A（3，0）、B（﹣1，0）兩點，交y軸于點C（0，3），根據(jù)圖象解答下列問題：（1）直接寫出方程ax2+bx+c＝0的兩個根；（2）直接寫出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）直接寫出不等式ax2+bx+c＜3的解集．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A（3，0）、B（﹣1，0）兩點，∴ax2+bx+c＝0的兩個根為x1＝3、x2＝﹣1；（2）由圖象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3；（3）∵點C（0，3），∴點C關(guān)于對稱軸的對稱點為：（2，3），∴不等式ax2+bx+c＜3的解集為x＜0或x＞2．19．（8分）如圖，某農(nóng)戶準(zhǔn)備蓋一所小型的矩形雞場，其中一面靠墻，墻足夠長，另外三面分別采用木柵欄和新型材料，兩種材料一共購進(jìn)20米，其中新型材料至少購進(jìn)8米，若雞場的面積為42平方米，求新型材料的長度？【解答】解：設(shè)木柵欄購進(jìn)x米，則新型材料購進(jìn)（20﹣x）米，依題意，得：x?（20﹣x）＝42，整理，得：x2﹣20x+84＝0，解得：x1＝6，x2＝14，∵新型材料至少購進(jìn)8米，∴20﹣x≥8，∴x≤12，∴x2＝14（不合題意，舍去），答：新型材料的長度為6米．20．（8分）已知正方形ABCD，點E是CD的中點，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖（1）中，分別畫出另外三邊的中點；（2）在圖（2）中，連接AE，將△AED繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形． 【解答】解：（1）如圖（1），F，G，H即為所求；（2）如圖（2），△ABM即為旋轉(zhuǎn)后的三角形．21．（8分）如圖，在半徑為5的⊙中，AB為⊙O的直徑，OD⊥弦AC交⊙O于D，垂足是H，BD交AC于E，過點E作EF⊥EB交⊙O于F，且EF＝EB，連接OF，AF，BF．（1）求證：∠OFE＝∠ODE；（2）若EH＝1，求AF的長．【解答】（1）證明：連接OE．在△OEF和△OEB中，，∴△OEF≌△OEB（SSS），∴∠OFE＝∠OBE，∵OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODE，∴∠OFE＝∠ODE． （2）∵AB是直徑，∴∠AFB＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EFA＝45°，∵△OEF≌△OEB，∴∠OEF＝∠OEB＝45°，∴∠AFE＝∠OEF＝45°，∴AF∥OE，∵∠OFE＝∠ODE，∴∠FOH＝∠DEF＝90°，∵OD⊥AC，∴∠AOF＝∠AHD＝90°，∴AO∥AE，∴四邊形AEOF是平行四邊形，∴OF＝AE＝5，AF＝OE，∵EH＝1，∴AH＝AE﹣EH＝4，∴OH3，∴OE，∴AF．22．（10分）某公司電商平臺，在2021年國慶長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價x（元/件）（x為正整數(shù)）的一次函數(shù)，如表僅列出了該商品的售價x，周銷售量y，周銷售利潤W（元）的三組對應(yīng)值數(shù)據(jù)． x407090y1809030W360045002100（1）該商品進(jìn)價 20 （元/件），y關(guān)于x的函數(shù)解析式是 y＝﹣3x+300 （不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）在銷售過程中要求售價不低于進(jìn)價，售價x為多少時，周銷售利潤W最大，并求出此時的最大利潤；（3）因該商品原料漲價，進(jìn)價提高了m（元/件）（m＞0的整數(shù)），該商品在今后的銷售中，公司發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價為63元/件時，周銷售利潤最大，請直接寫出m的值．【解答】解：（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品進(jìn)價為40﹣3600÷180＝20（元），設(shè)y＝kx+b，由題意有：，解得，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+300；故答案為：20，y＝﹣3x+300；（2）由（1）可得W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，∵﹣3＜0．∴當(dāng)x＝60時，W最大，最大值為4800，∴售價為60元時，周銷售利潤W最大，最大利潤為4800元；（3）由題意W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m）＝﹣3x2+（360+3m）x﹣6000﹣300m，對稱軸x＝60，∵當(dāng)售價為63元/件時，周銷售利潤最大，∴6063，解得：m＝6．∴m的值為6．23．（10分）如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC邊上一點，連接AD．（1）如圖（1），將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE．連接DE，BE，求證：△ABE≌△ACD；（2）如圖（2），將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到AE，連接CE交AB于F，猜想AF與BD存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖（3），以AC為斜邊向AC邊右側(cè)作Rt△AMC，連接BM，N為BM的中點，連接DN．若AB＝24，CD＝8，當(dāng)DN取最小值時，請直接寫出△BDN的面積． 【解答】（1）證明：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠DAC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）解：如圖2中，延長EA至H，使AH＝AE，連接DH，CH，∵AD＝AE，∠EAD＝120°，∴AH＝AD，∠DAH＝60°，∴△ADH是等邊三角形，∴∠AHD＝∠ADH＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠AHD，∴點A、D、C、H共圓，∴∠ACH＝∠ADH＝60°，∴∠ACH＝∠BAC＝60°，∴AF∥CH，∵EA＝AH，∴EF＝CF，∴CH＝2AF，∵△ABC，△ADH都是等邊三角形，∴同法可證△BAD≌△CAH（SAS），∴BD＝CH，∴BD＝2AF； （3）解：如圖3中，取AC的中點O，連接OB，取OB的中點J，連接JN，過點J作JK⊥BC于點K，連接DJ，OM．∵△ABC是等邊三角形，OA＝OC，∴AB＝AC＝BC＝24，OA＝OC＝12，BO⊥AC，∴OB12，∴BJ＝OJ＝6，∵∠JBK＝30°，JK⊥BD，∴JK＝3，BK＝9，∴CD＝8，∴BD＝BC﹣CD＝24﹣8＝16，∴BK＝9，DK＝7∴JD2，∵∠AMC＝90°，OA＝OC，∴OMAC＝12，∵BN＝NM，BL＝JO，∴NJOM＝6，∵DN≥DJ﹣JN＝26，∴當(dāng)點N落在線段DJ上時，DN的值最小，此時S△BDN16（26）＝24．24．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）的頂點為D，與x軸交于A，B兩點（A在B左邊）．（1）若該拋物線的頂點D坐標(biāo)為（1，4），求其解析式；（2）如圖（1），已知拋物線的頂點D在直線l：y＝﹣x+3上滑動，且與直線l交于另一點E，若△ADE的面積為，求拋物線頂點D的坐標(biāo)；（3）如圖（2），在（1）的條件下，P，Q為y軸上的兩個關(guān)于原點對稱的動點，射線BP，BQ分別與拋物線交于M，N兩點，求MN與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系． 【解答】解：（1）∵拋物線頂點坐標(biāo)為D（1，4），二次項系數(shù)a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）設(shè)點D、E的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），則x1，將拋物線與直線l解析式聯(lián)立得：﹣x+3＝﹣x2+bx+c，整理得：x2﹣（b+1）x+3﹣c＝0，∴x1+x2＝b+1，x1x2＝3﹣c，∴x21，∴（1）＝3﹣c，∴y1﹣y2＝﹣x1+3﹣（﹣x2+3）＝x2﹣x111，設(shè)直線l與x軸的交點為G，則G（3，0），∴S△ADE＝S△ADG﹣S△AEGAG（y1﹣y2）AG，∵S△ADE，∴AG，∴AG，∴A（，0），將A（，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：b+c＝0，聯(lián)立方程組，得，解得：b1，b2（舍去），∴b，∴D（，）；（3）如圖2，設(shè)P（0，m），∵P，Q為y軸上的兩個關(guān)于原點對稱的動點，∴Q（0，﹣m），∴PQ＝2m，由（1）知：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），設(shè)直線BP的解析式為y＝kx+d，則：，解得：，∴直線BP的解析式為yx+m，聯(lián)立方程組，得：，解得：（舍去），，∴M（1，），同理可得：N（1，），∴MNm，∴．
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