?廣安市2021年中考試題數(shù)學(xué)
一、選擇題（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將所選選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置上．本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1. 16的平方根是（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】依據(jù)平方根的定義解答即可．
【詳解】解：16的平方根是±4．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方和積的乘方，完全平方公式分別判斷即可．
【詳解】解：A、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，故選項(xiàng)正確；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方和積的乘方，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握各自的運(yùn)算法則．
3. 到2021年6月3日，我國31個(gè)?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)，累計(jì)接種新冠疫苗約7.05億劑次，請(qǐng)將7.05億用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．即可將題目中的數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示出來．
【詳解】解：7.05億=705000000=7.05×108，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4. 下列幾何體的主視圖既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷主視圖，再根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、主視圖是等腰三角形，是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不合題意；
B、主視圖是是矩形，是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；
C、主視圖是等腰梯形，是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不合題意；
D、主視圖是等腰三角形，是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形關(guān)鍵是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
5. 關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A. 且 B. C. 且 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a+2≠0且△≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤且a≠-2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
6. 下列說法正確的是（ ）
A. 為了了解全國中學(xué)生的心理健康情況，選擇全面調(diào)查
B. 在一組數(shù)據(jù)7，6，5，6，6，4，8中，眾數(shù)和中位數(shù)都是6
C. “若是實(shí)數(shù)，則”是必然事件
D. 若甲組數(shù)據(jù)的方差，乙組數(shù)據(jù)的方差，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查及普查，眾數(shù)和中位數(shù)，隨機(jī)事件，方差的意義分別判斷即可．
【詳解】解：A、為了了解全國中學(xué)生的心理健康情況，人數(shù)較多，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式，故錯(cuò)誤；
B、在一組數(shù)據(jù)7，6，5，6，6，4，8中，眾數(shù)和中位數(shù)都是6，故正確；
C、，則“若a是實(shí)數(shù)，則”是隨機(jī)事件，故錯(cuò)誤；
D、若甲組數(shù)據(jù)的方差，乙組數(shù)據(jù)的方差，則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，故錯(cuò)誤；
故選B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了抽樣調(diào)查及普查，眾數(shù)和中位數(shù)，隨機(jī)事件，方差的意義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)．
7. 若點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中k＜0判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)中k＜0，
∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
∵-3＜0，-1＜0，
∴點(diǎn)A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴點(diǎn)C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，比較簡單．
8. 如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若且于點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性質(zhì)可得∠DAC=20°，即可求解．
【詳解】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
9. 如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形草坪，從地走到地有觀賞路（劣?。┖捅忝衤罚ň€段）.已知、是圓上的點(diǎn)，為圓心，，小強(qiáng)從走到，走便民路比走觀賞路少走（ ）米.

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作OC⊥AB于C，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠A，從而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧長公式計(jì)算出的長，最后求它們的差即可．
【詳解】解：作OC⊥AB于C，如圖，
則AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA=9，
AC=，
∴AB=2AC=，
又∵=，
∴走便民路比走觀賞路少走米，
故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．
10. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①，②，③，④，正確的有（ ）


A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，對(duì)稱軸，與y軸交點(diǎn)可得a，b，c的符號(hào)，從而判斷①；再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，與x軸的交點(diǎn)可得當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，可判斷②；再根據(jù)x=-1時(shí)，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，從而判斷③；最后根據(jù)x=1時(shí)，y=a+b+c，結(jié)合b=2a，可判斷④．
【詳解】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對(duì)稱軸為直線x=-1，即，
∴b=2a，則b＜0，
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正確；
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)在0和1之間，
則與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在-2和-3之間，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c＞0，故②錯(cuò)誤；
∵x=-1時(shí)，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正確；
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．
二、填空題（請(qǐng)把最簡答案填寫在答題卡相應(yīng)位置.本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11. 在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是___．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須．

12. 若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是______．
【答案】8
【解析】
【詳解】解：設(shè)邊數(shù)為n，由題意得，
180（n-2）=3603
解得n=8.
所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8.
13. 一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是方程x2-6x+8=0的根，則三角形的周長為_____．
【答案】12
【解析】
【分析】先求方程x2-6x+8=0的根，再由三角形的三邊關(guān)系確定出三角形的第三邊的取值范圍，即可確定第三邊的長，利用三角形的周長公式可求得這個(gè)三角形的周長．
【詳解】∵三角形的兩邊長分別為3和5，∴5-3＜第三邊＜5+3，即2＜第三邊＜8，
又∵第三邊長是方程x2-6x+8=0的根，∴解之得根為2和4，2不在范圍內(nèi)，舍掉，
∴第三邊長為4．即勾三股四弦五，三角形直角三角形．
∴三角形的周長：3+4+5=12．
故答案為12．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)重點(diǎn)掌握．
14. 若、滿足，則代數(shù)式的值為______．
【答案】-6
【解析】
【分析】根據(jù)方程組中x+2y和x-2y的值，將代數(shù)式利用平方差公式分解，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案為：-6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查方程組的解及代數(shù)式的求值，觀察待求代數(shù)式的特點(diǎn)與方程組中兩方程的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．
15. 如圖，將三角形紙片折疊，使點(diǎn)、都與點(diǎn)重合，折痕分別為、.已知，，，則的長為_______．

【答案】
【解析】
【分析】由折疊的性質(zhì)得出BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，得出∠AFE=30°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EAF=∠AFE=30°，證出△ABE是等邊三角形，得出∠BAE=60°，求出AE=BE=2，證出∠BAF=90°，利用勾股定理求出AF，即CF，可得BC．
【詳解】解：∵把三角形紙片折疊，使點(diǎn)B、點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為DE，F(xiàn)G，
∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，
∴∠AFE=30°，又AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE=30°，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等邊三角形，∠AED=∠BED=30°，
∴∠BAE=60°，
∵DE=，
∴AE=BE=AB==2，
∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，
∴FC=AF==，
∴BC=BF+FC=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)折疊的性質(zhì)得出相等的邊和角是解題關(guān)鍵．
16. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也落在直線上，以此進(jìn)行下去……若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______．

【答案】
【解析】
【分析】計(jì)算出△AOB的各邊，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出OB1，B1B3，...，得出規(guī)律，求出OB21，再根據(jù)一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)求出點(diǎn)B21的縱坐標(biāo)即可．
【詳解】解：∵AB⊥y軸，點(diǎn)B（0，3），
∴OB=3，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，代入，
得：，得：x=-4，即A（-4，3），
∴OB=3，AB=4，OA==5，
由旋轉(zhuǎn)可知：
OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，
∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，
∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，
設(shè)B21（a，），則OB21=，
解得：或（舍），
則，即點(diǎn)B21的縱坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)以及直角三角形的性質(zhì)，求出△OAB的各邊，計(jì)算出OB21的長度是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共4個(gè)小題，第17小題5分，第18、19、20小題各6分，共23分）
17. 計(jì)算：．
【答案】0
【解析】
【分析】分別化簡各數(shù)，再作加減法．
【詳解】解：
=
=
=0
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．
18. 先化簡：，再從-1，0，1，2中選擇一個(gè)適合的數(shù)代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡，再取使得分式有意義的a的值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：
=
=
=
由原式可知，a不能取1，0，-1，
∴a=2時(shí)，原式=．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是記住分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
19. 如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)、分別在邊、的延長線上，且．連接、．
求證：．

【答案】見解析
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根據(jù)SAS證明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形得到判定全等的條件．
20. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)在軸上，且滿足的面積等于4，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)求出m，得到反比例函數(shù)解析式，據(jù)此求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再將A，B代入一次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），求出直線AB與x軸交點(diǎn)，再結(jié)合△ABP的面積為4得到關(guān)于a的方程，解之即可．
【詳解】解：（1）由題意可得：
點(diǎn)B（3，-2）在反比例函數(shù)圖像上，
∴，則m=-6，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
將A（-1，n）代入，
得：，即A（-1，6），
將A，B代入一次函數(shù)解析式中，得
，解得：，
∴一次函數(shù)解析式為；
（2）∵點(diǎn)P在x軸上，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），
∵一次函數(shù)解析式為，令y=0，則x=2，
∴直線AB與x軸交于點(diǎn)（2，0），
由△ABP的面積為4，可得：
，即，
解得：a=1或a=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交的有關(guān)問題；通常先求得反比例函數(shù)解析式；較復(fù)雜三角形的面積可被x軸或y軸分割為2個(gè)三角形的面積和．
四、實(shí)踐應(yīng)用題（本大題共4個(gè)小題，第21小題6分，第22、23、24小題各8分，共30分）
21. 在中國共產(chǎn)黨成立100周年之際，我市某中學(xué)開展黨史學(xué)習(xí)教育活動(dòng)．為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，在七年級(jí)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并依據(jù)成績（百分制）繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)圖中信息回答下列問題：

（1）本次抽取調(diào)查的學(xué)生共有______人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示等級(jí)的扇形圓心角度數(shù)為_______．
（2）等級(jí)中有2名男生，2名女生.從中隨機(jī)抽取2人參加學(xué)校組織的知識(shí)問答競(jìng)賽，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）50，108°；（2）
【解析】
【分析】（1）用B等級(jí)的人數(shù)除以對(duì)應(yīng)百分比，可得抽取的人數(shù)，再用C等級(jí)的人數(shù)所占比例乘以360°可得對(duì)應(yīng)圓心角；
（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解．
【詳解】解：（1）24÷48%=50人，
∴本次抽取調(diào)查的學(xué)生共有50人，
∵C等級(jí)的人數(shù)為15，
∴對(duì)應(yīng)圓心角為=108°；
（2）畫樹狀圖如下：

可知，所有等可能的結(jié)果有12?種，恰好抽到1名男生和1名女生的結(jié)果有8種，
∴恰好抽到一男一女的概率為=．
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖綜合，以及列表法或樹狀圖法求概率，注意掌握條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖各量的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．
22. 國慶節(jié)前，某超市為了滿足人們的購物需求，計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售．經(jīng)了解，甲種水果和乙種水果的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如下表所示：
水果單價(jià)
甲
乙
進(jìn)價(jià)（元/千克）


售價(jià)（元/千克）
20
25
已知用1200元購進(jìn)甲種水果的重量與用1500元購進(jìn)乙種水果的重量相同．
（1）求的值；
（2）若超市購進(jìn)這兩種水果共100千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，則超市應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【答案】（1）16；（2）購進(jìn)甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤425元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)用1200元購進(jìn)甲種水果的重量與用1500元購進(jìn)乙種水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種水果m千克，則乙種水果100-m千克，利潤為y，列出y關(guān)于m的表達(dá)式，根據(jù)甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，求出m的范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【詳解】解：（1）由題意可知：
，
解得：x=16，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=16是原方程的解；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種水果m千克，則乙種水果100-m千克，利潤為y，
由題意可知：
y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，
∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，
∴m≥3（100-m），
解得：m≥75，即75≤m＜100，
在y=-m+500中，-1＜0，則y隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=75時(shí)，y最大，且為-75+500=425元，
∴購進(jìn)甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤425元．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)表達(dá)式．
23. 如圖①、圖②分別是某種型號(hào)跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖．已知跑步機(jī)手柄與地面平行，踏板長為，與地面的夾角，支架長為，，求跑步機(jī)手柄所在直線與地面之間的距離．（結(jié)果精確到.參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】1.3m
【解析】
【分析】過C點(diǎn)作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根據(jù)三角函數(shù)可求CF，在Rt△CDG中，根據(jù)三角函數(shù)可求CG，再根據(jù)FG=FC+CG即可求解．
【詳解】解：如圖，過C點(diǎn)作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD與地面DE的夾角∠CDE為15°，∠ACD為75°，
∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°，
∴∠CAF=60°，
在Rt△ACF中，CF=AC?sin∠CAF=m，
在Rt△CDG中，CG=CD?sin∠CDE=1.5·sin15°，
∴FG=FC+CG=+1.5·sin15°≈1.3m．
故跑步機(jī)手柄AB所在直線與地面DE之間的距離約為1.3m．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．
24. 下圖是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上.要求以為邊畫一個(gè)平行四邊形，且另外兩個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)谙旅娴木W(wǎng)格圖中畫出4種不同的設(shè)計(jì)圖形．

【答案】見解析
【解析】
【分析】將點(diǎn)A沿任意方向平移到另一格點(diǎn)處，然后將點(diǎn)B也按相同的方法平移，最后連接點(diǎn)A、B及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可．
【詳解】解：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
五、推理論證題
25. 如圖，是直徑，點(diǎn)在上，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，延長、相交于點(diǎn)．


（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為5，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）連接OE，由題意可證OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，則可證CD是⊙O的切線；
（2）連接BE，證明△ADE∽△AEB，得到，根據(jù)tan∠EAD=，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再證明△COE∽△CAD，得到，設(shè)BC=x，解方程即可求出BC．
【詳解】解：（1）連接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切線；


（2）連接BE，∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°=∠D，又∠DAE=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
又tan∠EAD=，
∴，則AE=2BE，又AB=10，
在△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（2BE）2+BE2=102，
解得：BE=，則AE=，
∴，
解得：AD=8，DE=4，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴，設(shè)BC=x，
∴，解得：x=，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=是原方程的解，
故BC的長為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，作出輔助線，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
六、拓展探索題
26. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于、、三點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接、．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）求、的值；
（2）在、運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？
（3）在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（，）
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；
（3）畫出圖形，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），
則，
解得：；
（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)可知：
AP=，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，
∴AE=PE==t，即E（3-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ
=
=
∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，
AC=，AB=4，
∴0≤t≤3，
∴當(dāng)t==2時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，即為=4；

（3）∵點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn)，
如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，
∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，
∴∠PMF=∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，
∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-2t，4-t），
∵點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x+3上，
∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，
解得：t=或（舍），
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．


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