?2021年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題共有10小題，每小題3分，共30分）
1．21的相反數(shù)是（　?。?br /> A．21 B．﹣21 C． D．﹣
2．如圖是由四個相同的小正方體組成的立體圖形，它的主視圖為（　　）

A． B． C． D．
3．2021年5月國家統(tǒng)計局公布了第七次人口普查結(jié)果，我國人口數(shù)約為1412000000．其中數(shù)據(jù)1412000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．14.12×108 B．0.1412×1010
C．1.412×109 D．1.412×108
4．下列計算正確的是（　?。?br /> A．（x2）3＝x5 B．x2+x2＝x4 C．x2?x3＝x5 D．x6÷x3＝x2
5．一個布袋里放有3個紅球和2個白球，它們除顏色外其余都相同．從布袋中任意摸出1個球，摸到白球的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
6．已知扇形的半徑為6，圓心角為150°，則它的面積是（　?。?br /> A．π B．3π C．5π D．15π
7．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，連結(jié)DE，EF，則四邊形ADEF的周長為（　?。?br />
A．6 B．9 C．12 D．15
8．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕；一雀一燕交而處，衡適平；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古時1斤＝16兩）．雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩，可列出方程組（　?。?br /> A． B．
C． D．
9．如圖．將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．當AC平分∠B′AC′時，∠α與∠β滿足的數(shù)量關(guān)系是（　?。?br />
A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β
C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°
10．已知A，B兩地相距60km，甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發(fā)到B地，甲騎自行車勻速行駛3h到達，乙騎摩托車，比甲遲1h出發(fā)，行至30km處追上甲，停留半小時后繼續(xù)以原速行駛．他們離開A地的路程y與甲行駛時間x的函數(shù)圖象如圖所示．當乙再次追上甲時距離B地（　?。?br />
A．15km B．16km C．44km D．45km
二、填空題（本題共有6小題，每小題4分，共24分）
11．若有意義，則x的值可以是 　 ?。▽懗鲆粋€即可）
12．不等式2（y+1）＜y+3的解為 　 　．
13．為慶祝建黨100周年，某校舉行“慶百年紅歌大賽”．七年級5個班得分分別為85，90，88，95，92，則5個班得分的中位數(shù)為 　 　分．
14．如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，BD交于點F，則∠AFB的度數(shù)為 　 ?。?br />
15．將一副三角板如圖放置在平面直角坐標系中，頂點A與原點O重合，AB在x軸正半軸上，且AB＝4，點E在AD上，DE＝AD，將這副三角板整體向右平移 　 　個單位，C，E兩點同時落在反比例函數(shù)y＝的圖象上．

16．圖1是某折疊式靠背椅實物圖，圖2是椅子打開時的側(cè)面示意圖，椅面CE與地面平行，支撐桿AD，BC可繞連接點O轉(zhuǎn)動，且OA＝OB，椅面底部有一根可以繞點H轉(zhuǎn)動的連桿HD，點H是CD的中點，F(xiàn)A，EB均與地面垂直，測得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．
（1）椅面CE的長度為 　 　cm．
（2）如圖3，椅子折疊時，連桿HD繞著支點H帶動支撐桿AD，BC轉(zhuǎn)動合攏，椅面和連桿夾角∠CHD的度數(shù)達到最小值30°時，A，B兩點間的距離為 　 　cm（結(jié)果精確到0.1cm）．
（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

三、解答題（本題共有8小題，第17~19小題每小題6分，第20~21小題每小題6分，第22~23小題每小題6分，第24小題12分，共66分。請務(wù)必寫出解答過程）
17．計算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．
18．先化簡，再求值：+，其中x＝1．
19．如圖，在6×6的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）在圖1中畫出△ACD，使△ACD與△ACB全等，頂點D在格點上．
（2）在圖2中過點B畫出平分△ABC面積的直線l．

20．為進一步做好“光盤行動”，某校食堂推出“半份菜”服務(wù)，在試行階段，食堂對師生滿意度進行抽樣調(diào)查．并將結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖（不完整）．

（1）求被調(diào)查的師生人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖．
（2）求扇形統(tǒng)計圖中表示“滿意”的扇形圓心角度數(shù)．
（3）若該校共有師生1800名，根據(jù)抽樣結(jié)果，試估計該校對食堂“半份菜”服務(wù)“很滿意”或“滿意”的師生總?cè)藬?shù)．
21．如圖，在△ABC中，CA＝CB，BC與⊙A相切于點D，過點A作AC的垂線交CB的延長線于點E，交⊙A于點F，連結(jié)BF．
（1）求證：BF是⊙A的切線．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的長．

22．如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標系．
（1）求橋拱頂部O離水面的距離．
（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m．
①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達式．
②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值．

23．如圖1，點C是半圓O的直徑AB上一動點（不包括端點），AB＝6cm，過點C作CD⊥AB交半圓于點D，連結(jié)AD，過點C作CE∥AD交半圓于點E，連結(jié)EB．牛牛想探究在點C運動過程中EC與EB的大小關(guān)系．他根據(jù)學(xué)習函數(shù)的經(jīng)驗，記AC＝xcm，EC＝y(tǒng)1cm，EB＝y(tǒng)2cm．請你一起參與探究函數(shù)y1、y2隨自變量x變化的規(guī)律．
通過幾何畫板取點、畫圖、測量，得出如下幾組對應(yīng)值，并在圖2中描出了以各對對應(yīng)值為坐標的點，畫出了不完整圖象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）當x＝3時，y1＝　 　．
（2）在圖2中畫出函數(shù)y2的圖象，并結(jié)合圖象判斷函數(shù)值y1與y2的大小關(guān)系．
（3）由（2）知“AC取某值時，有EC＝EB”．如圖3，牛牛連結(jié)了OE，嘗試通過計算EC，EB的長來驗證這一結(jié)論，請你完成計算過程．

24．【推理】
如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．
（1）求證：△BCE≌△CDG．
【運用】
（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，CE＝9，求線段DE的長．
【拓展】
（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，H兩點，若＝k，＝，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．



參考答案
一、選擇題（本題共有10小題，每小題3分，共30分）
1．21的相反數(shù)是（　?。?br /> A．21 B．﹣21 C． D．﹣
解：21的相反數(shù)是﹣21，
故選：B．
2．如圖是由四個相同的小正方體組成的立體圖形，它的主視圖為（　?。?br />
A． B． C． D．
解：從正面看該組合體，所看到的圖形與選項A中的圖形相同，
故選：A．
3．2021年5月國家統(tǒng)計局公布了第七次人口普查結(jié)果，我國人口數(shù)約為1412000000．其中數(shù)據(jù)1412000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．14.12×108 B．0.1412×1010
C．1.412×109 D．1.412×108
解：1412000000＝1.412×109．
故選：C．
4．下列計算正確的是（　?。?br /> A．（x2）3＝x5 B．x2+x2＝x4 C．x2?x3＝x5 D．x6÷x3＝x2
解：A：因為（x2）3＝x6，所以A選項錯誤；
B：因為x2+x2＝2x2，所以B選項錯誤；
C：因為x2?x3＝x2+3＝x5，所以C選項正確；
D：因為x6÷x3＝x6﹣3＝x3，所以D選項錯誤．
故選：C．
5．一個布袋里放有3個紅球和2個白球，它們除顏色外其余都相同．從布袋中任意摸出1個球，摸到白球的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
解：∵從放有3個紅球和2個白球布袋中摸出一個球，共有5種等可能結(jié)果，其中摸出的球是白球的有2種結(jié)果，
∴從布袋中任意摸出1個球，摸到白球的概率是，
故選：D．
6．已知扇形的半徑為6，圓心角為150°，則它的面積是（　?。?br /> A．π B．3π C．5π D．15π
解：扇形面積＝，
故選：D．
7．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，連結(jié)DE，EF，則四邊形ADEF的周長為（　?。?br />
A．6 B．9 C．12 D．15
解：∵點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，
∴DE＝AC＝2.5，AF＝AC＝2.5，EF＝AB＝2，AD＝AB＝2，
∴四邊形ADEF的周長＝AD+DE+EF+AF＝9，
故選：B．
8．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕；一雀一燕交而處，衡適平；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古時1斤＝16兩）．雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩，可列出方程組（　?。?br /> A． B．
C． D．
解：根據(jù)題意，得：
，
故選：A．
9．如圖．將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．當AC平分∠B′AC′時，∠α與∠β滿足的數(shù)量關(guān)系是（　?。?br />
A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β
C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°
解：∵AC平分∠B′AC′，
∴∠B'AC＝∠C'AC，
∵菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠α得到菱形AB′C′D′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB'＝∠DAC'，
∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝α，
∵AD∥BC，
∴4α+β＝180°，
故選：C．
10．已知A，B兩地相距60km，甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發(fā)到B地，甲騎自行車勻速行駛3h到達，乙騎摩托車，比甲遲1h出發(fā)，行至30km處追上甲，停留半小時后繼續(xù)以原速行駛．他們離開A地的路程y與甲行駛時間x的函數(shù)圖象如圖所示．當乙再次追上甲時距離B地（　?。?br />
A．15km B．16km C．44km D．45km
解：由圖象可知：甲的速度為：60÷3＝20（km/h），
乙追上甲時，甲走了30km，此時甲所用時間為：30÷20＝1.5（h），
乙所用時間為：1.5﹣1＝0.5（h），
∴乙的速度為：30÷0.5＝60（km/h），
設(shè)乙休息半小時再次追上甲時，甲所用時間為t，
則：20t＝60（t﹣1﹣0.5），
解得：t＝2.25，
此時甲距離B地為：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），
故選：A．
二、填空題（本題共有6小題，每小題4分，共24分）
11．若有意義，則x的值可以是 　2（答案不唯一）?。▽懗鲆粋€即可）
解：由題意可得：
x﹣1≥0，
即x≥1．
則x的值可以是大于等于1的任意實數(shù)．
故答案為：2（答案不唯一）．
12．不等式2（y+1）＜y+3的解為 　y＜1?。?br /> 解：2（y+1）＜y+3
2y+2＜y+3
2y﹣y＜3﹣2
y＜1，
故答案為：y＜1．
13．為慶祝建黨100周年，某校舉行“慶百年紅歌大賽”．七年級5個班得分分別為85，90，88，95，92，則5個班得分的中位數(shù)為 　90　分．
解：將這5個班的得分重新排列為85、88、90、92、95，
∴5個班得分的中位數(shù)為90分，
故答案為：90．
14．如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，BD交于點F，則∠AFB的度數(shù)為 　72°?。?br />
解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠CBD＝36°，
∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，
故答案為：72°．
15．將一副三角板如圖放置在平面直角坐標系中，頂點A與原點O重合，AB在x軸正半軸上，且AB＝4，點E在AD上，DE＝AD，將這副三角板整體向右平移 　12﹣　個單位，C，E兩點同時落在反比例函數(shù)y＝的圖象上．

解：∵AB＝4，
∴BD＝AB＝12，
∴C（4+6，6），
∵DE＝AD，
∴E的坐標為（3，9），
設(shè)平移t個單位后，則平移后C點的坐標為（4+6+t，6），平移后E點的坐標為（3+t，9），
∵平移后C，E兩點同時落在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴（4+6+t）×6＝（3+t）×9，
解得t＝12﹣，
故答案為12﹣．
16．圖1是某折疊式靠背椅實物圖，圖2是椅子打開時的側(cè)面示意圖，椅面CE與地面平行，支撐桿AD，BC可繞連接點O轉(zhuǎn)動，且OA＝OB，椅面底部有一根可以繞點H轉(zhuǎn)動的連桿HD，點H是CD的中點，F(xiàn)A，EB均與地面垂直，測得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．
（1）椅面CE的長度為 　40　cm．
（2）如圖3，椅子折疊時，連桿HD繞著支點H帶動支撐桿AD，BC轉(zhuǎn)動合攏，椅面和連桿夾角∠CHD的度數(shù)達到最小值30°時，A，B兩點間的距離為 　12.5　cm（結(jié)果精確到0.1cm）．
（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

解：（1）∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABF，
∴tan∠ECB＝tan∠ABF，
∴，
∴，
∴CE＝40（cm），
故答案為：40；
（2）如圖2，延長AD，BE交于點N，

∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
在△ABF和△BAN中，
，
∴△ABF≌△BAN（ASA），
∴BN＝AF＝54（cm），
∴EN＝9（cm），
∵tanN＝，
∴＝，
∴DE＝8（cm），
∴CD＝32（cm），
∵點H是CD的中點，
∴CH＝DH＝16（cm），
∵CD∥AB，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝＝＝，
如圖3，連接CD，過點H作HP⊥CD于P，

∵HC＝HD，HP⊥CD，
∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，
∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，
∴PD≈16×0.26＝4.16，
∴CD＝2PD＝8.32，
∵CD∥AB，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴，
∴AB＝12.48≈12.5（cm），
故答案為：12.5．
三、解答題（本題共有8小題，第17~19小題每小題6分，第20~21小題每小題6分，第22~23小題每小題6分，第24小題12分，共66分。請務(wù)必寫出解答過程）
17．計算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．
解：原式＝3+1﹣3+2×
＝2．
18．先化簡，再求值：+，其中x＝1．
解：原式＝﹣
＝
＝
＝x+3，
當x＝1時，原式＝1+3＝4．
19．如圖，在6×6的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）在圖1中畫出△ACD，使△ACD與△ACB全等，頂點D在格點上．
（2）在圖2中過點B畫出平分△ABC面積的直線l．

解：（1）如圖1中，△ADC即為所求．
（2）如圖2中，直線BT即為所求．

20．為進一步做好“光盤行動”，某校食堂推出“半份菜”服務(wù)，在試行階段，食堂對師生滿意度進行抽樣調(diào)查．并將結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖（不完整）．

（1）求被調(diào)查的師生人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖．
（2）求扇形統(tǒng)計圖中表示“滿意”的扇形圓心角度數(shù)．
（3）若該校共有師生1800名，根據(jù)抽樣結(jié)果，試估計該校對食堂“半份菜”服務(wù)“很滿意”或“滿意”的師生總?cè)藬?shù)．
解：（1）被調(diào)查的師生人數(shù)是：120÷60%＝200（人），
“不滿意”的人數(shù)有：200﹣120﹣70＝10（人），
補充條形統(tǒng)計圖如圖：

（2）扇扇形統(tǒng)計圖中表示“滿意”的扇形圓心角度數(shù)為×360°＝126°；
（3）1800×＝1710（人）．
答：估計該校對食堂“半份菜”服務(wù)“很滿意”或“滿意”的師生總?cè)藬?shù)為1710人．
21．如圖，在△ABC中，CA＝CB，BC與⊙A相切于點D，過點A作AC的垂線交CB的延長線于點E，交⊙A于點F，連結(jié)BF．
（1）求證：BF是⊙A的切線．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的長．

解：（1）證明：連接AD，如圖，

∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC．
∵AE⊥AC，
∴∠CAB+∠EAB＝90°．
∵BC與⊙A相切于點D，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∴∠BAE＝∠BAD．
在△ABF和△ABD中，
，
∴△ABF≌△ABD（SAS）．
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴BF是⊙A的切線．
（2）由（1）得：BF⊥AE，
∵AC⊥AE，
∴BF∥AC．
∴△EFB∽△EAC．
∴，
∵BE＝5，CB＝AC＝20，
∴CE＝EB+CB＝20+5＝25，
∴．
∴BF＝4．
在Rt△BEF中，
EF＝．
22．如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標系．
（1）求橋拱頂部O離水面的距離．
（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m．
①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達式．
②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值．

解：（1）根據(jù)題意可知點F的坐標為（6，﹣1.5），可設(shè)拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達式為：y1═a1x2．
將F（6，﹣1.5）代入y1═a1x2有：﹣1.5═36a1，求得a1═，
∴y1═x2，
當x═12時，y1═×122═﹣6，
∴橋拱頂部離水面高度為6m．
（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標為（6，1），可設(shè)其表達式為y2═a2（x﹣6）2+1，
將H（0，4）代入其表達式有：4═a2（0﹣6）2+1，求得a2═，
∴右邊鋼纜所在拋物線表達式為：y═（x﹣6）2+1，
②設(shè)彩帶的長度為Lm，
則L═y2﹣y1═（x﹣6）2+1﹣（x2）══，
∴當x═4時，L最小值═2，
答：彩帶長度的最小值是2m．
23．如圖1，點C是半圓O的直徑AB上一動點（不包括端點），AB＝6cm，過點C作CD⊥AB交半圓于點D，連結(jié)AD，過點C作CE∥AD交半圓于點E，連結(jié)EB．牛牛想探究在點C運動過程中EC與EB的大小關(guān)系．他根據(jù)學(xué)習函數(shù)的經(jīng)驗，記AC＝xcm，EC＝y(tǒng)1cm，EB＝y(tǒng)2cm．請你一起參與探究函數(shù)y1、y2隨自變量x變化的規(guī)律．
通過幾何畫板取點、畫圖、測量，得出如下幾組對應(yīng)值，并在圖2中描出了以各對對應(yīng)值為坐標的點，畫出了不完整圖象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）當x＝3時，y1＝　3　．
（2）在圖2中畫出函數(shù)y2的圖象，并結(jié)合圖象判斷函數(shù)值y1與y2的大小關(guān)系．
（3）由（2）知“AC取某值時，有EC＝EB”．如圖3，牛牛連結(jié)了OE，嘗試通過計算EC，EB的長來驗證這一結(jié)論，請你完成計算過程．

解：（1）當x＝3時，點C和圓心O重合，此時CE為半圓O的半徑，

∵AB＝6，
∴EC＝y(tǒng)1cm＝3cm，
∴y1＝3，
故答案為：3；
（2）函數(shù)y的圖象如圖：

由圖象得：
當0＜x＜2時，y1＜y2，
當x＝2時，y1＝y(tǒng)2，
當2＜x＜6時，y1＞y2；
（3））連接OD，作EH⊥AB于H，

由（2）知時，有EC＝EB，
∵AC＝2，AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OE＝OB＝3cm，OC＝1cm，
∵CD⊥AB，
∴CD＝＝2，
設(shè)OH＝m，則CH＝1+m，
∵EH⊥AB，
∴EH＝＝，
∵CE∥AD，
∴∠DAC＝∠ECH，
∵∠DCA＝∠EHC＝90°，
∴△DAC∽△ECH，
∴，即，
∴m1＝1，m2＝﹣（不合題意，舍去），
∴HB＝3﹣1＝2，EH＝＝2，
∴EC＝＝2，EB＝＝2，
∴EC＝EB．
24．【推理】
如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．
（1）求證：△BCE≌△CDG．
【運用】
（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，CE＝9，求線段DE的長．
【拓展】
（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，H兩點，若＝k，＝，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．

【解答】（1）證明：如圖1中，

∵△BFE是由△BCE折疊得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵BC＝CD，
∴△BCE≌△CDG（AAS）．

（2）如圖2中，連接EH．

∵△BCE≌△CDG，
∴CE＝DG＝9，
由折疊可知BC＝BF，CE＝FE＝9，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BCG＝∠HGF，
∵∠BFC＝∠HFG，
∴∠HFG＝∠HGF，
∴HF＝HG，
∵＝，DG＝9，
∴HD＝4，HF＝HG＝5，
∵∠D＝∠HFE＝90°，
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴52+92＝42+DE2，
∴DE＝3或﹣3（舍棄），
∴DE＝3．

（3）如圖3中，連接HE．

由題意＝，可以假設(shè)DH＝4m，HG＝5m，設(shè)＝x．
①當點H在點D的左側(cè)時，
∵HF＝HG，
∴DG＝9m，
由折疊可知BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵∠BCE＝∠D＝90°，
∴△CDG∽△BCE，
∴＝，
∵＝＝k，
∴＝，
∴CE＝＝FE，
∴DE＝M
∵∠D＝∠HFE＝90°
∴∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x＝或﹣（舍棄），
∴＝．
②當點H在點D的右側(cè)時，如圖4中，

同理HG＝HF，△BCE∽△CDG，
∴DG＝m，CE＝＝FE，
∴DE＝，
∵HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x＝或﹣（舍棄），
∴＝．
綜上所述，＝或．


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