?2021年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分，請(qǐng)選出各題中唯一的正確選項(xiàng)，不選、多選錯(cuò)選，均不得分）
1．2021年5月22日，我國自主研發(fā)的“祝融號(hào)”火星車成功到達(dá)火星表面．已知火星與地球的最近距離約為55000000千米，數(shù)據(jù)55000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．55×106 B．5.5×107 C．5.5×108 D．0.55×108
2．如圖是由四個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖為（　　）

A． B． C． D．
3．能說明命題“若x為無理數(shù)，則x2也是無理數(shù)”是假命題的反例是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣
4．已知三個(gè)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
5．將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（　?。?br />
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
6．5月1日至7日，我市每日最高氣溫如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．中位數(shù)是33℃
B．眾數(shù)是33℃
C．平均數(shù)是℃
D．4日至5日最高氣溫下降幅度較大
7．已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（　?。?br /> A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切
8．為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（　?。?br /> A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，連結(jié)AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG＝FG時(shí)，線段DE長為（　?。?br />
A． B． C． D．4
10．已知點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，則下列不等式一定成立的是（　?。?br /> A．≤ B．≥ C．≥ D．≤
二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）
11．（4分）已知二元一次方程x+3y＝14，請(qǐng)寫出該方程的一組整數(shù)解 　 　．
12．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)是 　 　．

13．（4分）觀察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此規(guī)律，則第n個(gè)等式為2n﹣1＝　 ?。?br /> 14．（4分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長為 　 ?。?br />
15．（4分）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上中下三個(gè)等級(jí)的三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序?yàn)?0，8，6．若田忌的三匹馬隨機(jī)出場，則田忌能贏得比賽的概率為 　 ?。?br /> 馬匹
姓名
下等馬
中等馬
上等馬
齊王
6
8
10
田忌
5
7
9
16．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連結(jié)A′C，A′P．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A′到直線AB距離的最大值是 　 ?。稽c(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A′P掃過的面積為 　 ?。?br />
三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20，21題每題8分，第22，23題每題10分，第24題12分，共66分）
17．（6分）（1）計(jì)算：2﹣1+﹣sin30°；
（2）化簡并求值：1﹣，其中a＝﹣．
18．（6分）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：
小敏：
兩邊同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
則x＝6．
小霞：
移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
19．（6分）如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，每一個(gè)小正方形的邊長為1．
（1）以AB為邊畫菱形，使菱形的其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫出一個(gè)即可）．
（2）計(jì)算你所畫菱形的面積．

20．（8分）根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”，前30米稱為“加速期”，30米~80米為“中途期”，80米~100米為“沖刺期”．市田徑隊(duì)把運(yùn)動(dòng)員小斌某次百米跑訓(xùn)練時(shí)速度y（m/s）與路程x（m）之間的觀測數(shù)據(jù)，繪制成曲線如圖所示．
（1）y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？為什么？
（2）“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為多少？
（3）根據(jù)如圖提供的信息，給小斌提一條訓(xùn)練建議．

21．（8分）某市為了解八年級(jí)學(xué)生視力健康狀況，在全市隨機(jī)抽查了400名八年級(jí)學(xué)生2021年初的視力數(shù)據(jù)，并調(diào)取該批學(xué)生2020年初的視力數(shù)據(jù)，制成如圖統(tǒng)計(jì)圖（不完整）：

青少年視力健康標(biāo)準(zhǔn)
類別
視力
健康狀況
A
視力≥5.0
視力正常
B
4.9
輕度視力不良
C
4.6≤視力≤4.8
中度視力不良
D
視力≤4.5
重度視力不良
根據(jù)以上信息，請(qǐng)解答：
（1）分別求出被抽查的400名學(xué)生2021年初輕度視力不良（類別B）的扇形圓心角度數(shù)和2020年初視力正常（類別A）的人數(shù)．
（2）若2021年初該市有八年級(jí)學(xué)生2萬人，請(qǐng)估計(jì)這些學(xué)生2021年初視力正常的人數(shù)比2020年初增加了多少人？
（3）國家衛(wèi)健委要求，全國初中生視力不良率控制在69%以內(nèi)．請(qǐng)估計(jì)該市八年級(jí)學(xué)生2021年初視力不良率是否符合要求？并說明理由．
22．（10分）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，△BCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．當(dāng)按壓柄△BCD按壓到底時(shí)，BD轉(zhuǎn)動(dòng)到BD′，此時(shí)BD′∥EF（如圖3）．
（1）求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長；
（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．
（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

23．（10分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？
（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．
24．（12分）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，連結(jié)BD．
[探究1]如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)C′恰好在DB延長線上．若AB＝1，求BC的長．
[探究2]如圖2，連結(jié)AC′，過點(diǎn)D′作D′M∥AC′交BD于點(diǎn)M．線段D′M與DM相等嗎？請(qǐng)說明理由．
[探究3]在探究2的條件下，射線DB分別交AD′，AC′于點(diǎn)P，N（如圖3），發(fā)現(xiàn)線段DN，MN，PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明．


2021年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分，請(qǐng)選出各題中唯一的正確選項(xiàng)，不選、多選錯(cuò)選，均不得分）
1．2021年5月22日，我國自主研發(fā)的“祝融號(hào)”火星車成功到達(dá)火星表面．已知火星與地球的最近距離約為55000000千米，數(shù)據(jù)55000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．55×106 B．5.5×107 C．5.5×108 D．0.55×108
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)．
【解答】解：55000000＝5.5×107．
故選：B．
2．如圖是由四個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖為（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
【解答】解：從上面看，底層右邊是一個(gè)小正方形，上層是兩個(gè)小正方形，右齊．
故選：C．
3．能說明命題“若x為無理數(shù)，則x2也是無理數(shù)”是假命題的反例是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣
【分析】根據(jù)題意，只要x2是有理數(shù)，即求出各個(gè)選項(xiàng)中x2的值，再判斷即可．
【解答】解：（﹣1）2＝3﹣2，是無理數(shù)，不符合題意；
（+1）2＝3+2，是無理數(shù)，不符合題意；
（3）2＝18，是有理數(shù)，符合題意；
（﹣）2＝5﹣2，是無理數(shù)，不符合題意；
故選：C．
4．已知三個(gè)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)x1＜x2＜0＜x3即可得出結(jié)論
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝中，k＝2＞0，
∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?br /> ∵x1＜x2＜0＜x3，
∴A、B兩點(diǎn)在第三象限，C點(diǎn)在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故選：A．
5．將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（　?。?br />
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【分析】對(duì)折是軸對(duì)稱得到的圖形，根據(jù)最后得到的圖形可得是沿對(duì)角線折疊2次后，剪去一個(gè)三角形得到的，按原圖返回即可．
【解答】解：如圖，由題意可知，剪下的圖形是四邊形BACD，

由折疊可知CA＝AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又△ABC和△BCD關(guān)于直線CD對(duì)稱，
∴四邊形BACD是菱形，
故選：D．
6．5月1日至7日，我市每日最高氣溫如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．中位數(shù)是33℃
B．眾數(shù)是33℃
C．平均數(shù)是℃
D．4日至5日最高氣溫下降幅度較大
【分析】分別確定7個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)及平均數(shù)后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：A、7個(gè)數(shù)排序后為23，25，26，27，30，33，33，位于中間位置的數(shù)為27，所以中位數(shù)為27℃，故A錯(cuò)誤，符合題意；
B、7個(gè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的為33，所以眾數(shù)為33℃，正確，不符合題意；
C、平均數(shù)為（23+25+26+27+30+33+33）＝，正確，不符合題意；
D、觀察統(tǒng)計(jì)表知：4日至5日最高氣溫下降幅度較大，正確，不符合題意，
故選：A．
7．已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（　　）
A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．
【解答】解：⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，
即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，
∴點(diǎn)A在⊙O外，點(diǎn)B在⊙O上，
∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，
故選：D．
8．為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（　?。?br /> A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
【分析】若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5x元，根據(jù)等量關(guān)系“繽紛棒比熒光棒少20根”可列方程即可．
【解答】解：若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5x元，
根據(jù)題意可得：﹣＝20．
故選：B．
9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，連結(jié)AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG＝FG時(shí)，線段DE長為（　?。?br />
A． B． C． D．4
【分析】分別過點(diǎn)G，F(xiàn)作AB的垂線，垂足為M，N，過點(diǎn)G作GP⊥FN于點(diǎn)P，由中位線定理及勾股定理可分別表示出線段AG和FG的長，建立等式可求出結(jié)論．
【解答】解：如圖，分別過點(diǎn)G，F(xiàn)作AB的垂線，垂足為M，N，過點(diǎn)G作GP⊥FN于點(diǎn)P，

∴四邊形GMNP是矩形，
∴GM＝PN，GP＝MN，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，
∴CA⊥AB，
又∵點(diǎn)G和點(diǎn)F分別是線段DE和BC的中點(diǎn)，
∴GM和FN分別是△ADE和△ABC的中位線，
∴GM＝＝1，AM＝AE，
FN＝AC＝，AN＝AB＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣AE，
∴PN＝1，F(xiàn)P＝，
設(shè)AE＝m，
∴AM＝m，GP＝MN＝﹣m，
在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+12，
在Rt△GPF中，GF2＝（﹣m）2+（）2，
∵AG＝GF，
∴（m）2+12＝（﹣m）2+（）2，
解得m＝3，即DE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝．
故選：A．
10．已知點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，則下列不等式一定成立的是（　?。?br /> A．≤ B．≥ C．≥ D．≤
【分析】結(jié)合選項(xiàng)可知，只需要判斷出a和b的正負(fù)即可，點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，代入可得關(guān)于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判斷出a與b正負(fù)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，
∴﹣3a﹣4＝b，
又2a﹣5b≤0，
∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，
解得a≤﹣＜0，
當(dāng)a＝﹣時(shí)，得b＝﹣，
∴b≥﹣，
∵2a﹣5b≤0，
∴2a≤5b，
∴≤．
故選：D．
二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）
11．（4分）已知二元一次方程x+3y＝14，請(qǐng)寫出該方程的一組整數(shù)解 ?。ù鸢覆晃ㄒ唬。?br /> 【分析】把y看做已知數(shù)求出x，確定出整數(shù)解即可．
【解答】解：x+3y＝14，
x＝14﹣3y，
當(dāng)y＝1時(shí)，y＝11，
則方程的一組整數(shù)解為．
故答案為：（答案不唯一）．
12．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)是 ?。?，2）　．

【分析】根據(jù)圖示，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，該點(diǎn)就是位似中心．
【解答】解：如圖，

點(diǎn)G（4，2）即為所求的位似中心．
故答案是：（4，2）．
13．（4分）觀察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此規(guī)律，則第n個(gè)等式為2n﹣1＝　n2﹣（n﹣1）2?。?br /> 【分析】根據(jù)題目中的式子可以發(fā)現(xiàn)：等號(hào)左邊是一些連續(xù)的奇數(shù)，等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)是和左邊是第幾個(gè)奇數(shù)一樣，第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)少1，然后即可寫出第n個(gè)等式．
【解答】解：∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，
∴第n個(gè)等式為2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，
故答案為：n2﹣（n﹣1）2．
14．（4分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長為 　?。?br />
【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分別利用勾股定理可求出BC和OB的長，又AH⊥OB，可利用等面積法求出AH的長．
【解答】解：如圖，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，
∴AC＝＝2，
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝，
在Rt△OAB中，
OB＝＝，
又AH⊥BD，
∴OB?AH＝OA?AB，即＝，
解得AH＝．
故答案為：．
15．（4分）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上中下三個(gè)等級(jí)的三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序?yàn)?0，8，6．若田忌的三匹馬隨機(jī)出場，則田忌能贏得比賽的概率為 　?。?br /> 馬匹
姓名
下等馬
中等馬
上等馬
齊王
6
8
10
田忌
5
7
9
【分析】列表得出所有等可能的情況，田忌能贏得比賽的情況有1種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：由于田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng)，當(dāng)齊王的三匹馬出場順序?yàn)?0，8，6時(shí)，田忌的馬按5，9，7的順序出場，田忌才能贏得比賽，
當(dāng)田忌的三匹馬隨機(jī)出場時(shí)，雙方馬的對(duì)陣情況如下：

雙方馬的對(duì)陣中，只有一種對(duì)陣情況田忌能贏，
∴田忌能贏得比賽的概率為．
16．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連結(jié)A′C，A′P．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A′到直線AB距離的最大值是 　??；點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A′P掃過的面積為 　?。?br />
【分析】如圖1中，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H．解直角三角形求出CA,當(dāng)CA′⊥AB時(shí)，點(diǎn)A′到直線AB的距離最大，求出CA′,CK．可得結(jié)論．如圖2中，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A′P掃過的面積＝S扇形A′CA﹣2S△ABC，由此求解即可．
【解答】解：如圖1中，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H．

在Rt△ABH中，BH＝AB?sin30°＝1,AH＝BH＝,
在Rt△BCH中，∠BCH＝45°,
∴CH＝BH＝1,
∴AC＝CA′＝1+,
當(dāng)CA′⊥AB時(shí)，點(diǎn)A′到直線AB的距離最大，
設(shè)CA′交AB的延長線于K．
在Rt△ACK中，CK＝AC?sin30°＝,
∴A′K＝CA′﹣CK＝1+﹣＝．
如圖2中，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A′P掃過的面積＝S扇形A′CA﹣2S△ABC＝﹣2××(1+)×1＝(1+)π﹣1﹣．

故答案為：，(1+)π﹣1﹣．
三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20，21題每題8分，第22，23題每題10分，第24題12分，共66分）
17．（6分）（1）計(jì)算：2﹣1+﹣sin30°；
（2）化簡并求值：1﹣，其中a＝﹣．
【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)值可以解答本題；
（2）先通分，然后根據(jù)分式的減法法則即可化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【解答】解：（1）2﹣1+﹣sin30°
＝+2﹣
＝2；
（2）1﹣
＝
＝
＝，
當(dāng)a＝﹣時(shí)，原式＝＝2．
18．（6分）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：
小敏：
兩邊同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
則x＝6．
小霞：
移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
【分析】小敏：沒有考慮x﹣3＝0的情況；
小霞：提取公因式時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正確的解答方法：移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
則x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
19．（6分）如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，每一個(gè)小正方形的邊長為1．
（1）以AB為邊畫菱形，使菱形的其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫出一個(gè)即可）．
（2）計(jì)算你所畫菱形的面積．

【分析】（1）先以AB為邊畫出一個(gè)等腰三角形，再作對(duì)稱即可；
（2）根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半可求得．
【解答】解：（1）如下圖所示：

四邊形ABCD即為所畫菱形，（答案不唯一，畫出一個(gè)即可）．
（2）圖1菱形面積S＝×2×6＝6，
圖2菱形面積S＝×2×4＝8，
圖3菱形面積S＝（）2＝10．
20．（8分）根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”，前30米稱為“加速期”，30米~80米為“中途期”，80米~100米為“沖刺期”．市田徑隊(duì)把運(yùn)動(dòng)員小斌某次百米跑訓(xùn)練時(shí)速度y（m/s）與路程x（m）之間的觀測數(shù)據(jù)，繪制成曲線如圖所示．
（1）y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？為什么？
（2）“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為多少？
（3）根據(jù)如圖提供的信息，給小斌提一條訓(xùn)練建議．

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義，可直接判斷；
（2）由圖象可知，“加速期”結(jié)束時(shí)，即跑30米時(shí)，小斌的速度為10.4m/s．
（3）答案不唯一．建議合理即可．
【解答】解：（1）y是x的函數(shù)，在這個(gè)變化過程中，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．
（2）“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根據(jù)圖象信息，小斌在80米左右時(shí)速度下降明顯，建議增加耐力訓(xùn)練，提高成績．
21．（8分）某市為了解八年級(jí)學(xué)生視力健康狀況，在全市隨機(jī)抽查了400名八年級(jí)學(xué)生2021年初的視力數(shù)據(jù)，并調(diào)取該批學(xué)生2020年初的視力數(shù)據(jù)，制成如圖統(tǒng)計(jì)圖（不完整）：

青少年視力健康標(biāo)準(zhǔn)
類別
視力
健康狀況
A
視力≥5.0
視力正常
B
4.9
輕度視力不良
C
4.6≤視力≤4.8
中度視力不良
D
視力≤4.5
重度視力不良
根據(jù)以上信息，請(qǐng)解答：
（1）分別求出被抽查的400名學(xué)生2021年初輕度視力不良（類別B）的扇形圓心角度數(shù)和2020年初視力正常（類別A）的人數(shù)．
（2）若2021年初該市有八年級(jí)學(xué)生2萬人，請(qǐng)估計(jì)這些學(xué)生2021年初視力正常的人數(shù)比2020年初增加了多少人？
（3）國家衛(wèi)健委要求，全國初中生視力不良率控制在69%以內(nèi)．請(qǐng)估計(jì)該市八年級(jí)學(xué)生2021年初視力不良率是否符合要求？并說明理由．
【分析】（1）利用2021年初視力不良的百分比乘360°即可求解．
（2）分別求出2021、2020年初視力正常的人數(shù)即可求解．
（3）用1﹣31.25%即可得該市八年級(jí)學(xué)生2021年視力不良率，即可判斷．
【解答】解：（1）被抽查的400名學(xué)生2021年初輕度視力不良的扇形圓心角度數(shù)＝360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.1°．
該批400名學(xué)生2020年初視力正常人數(shù)＝400﹣48﹣91﹣148＝113（人）．
（2）該市八年級(jí)學(xué)生221年初視力正常人數(shù)＝20000×31.25%＝6250（人）．
這些學(xué)生2020年初視力正常的人數(shù)＝（人）．
∴增加的人數(shù)＝6250﹣5650＝600（人）．
（3）該市八年級(jí)學(xué)生2021年視力不良率＝1﹣31.25%＝68.75%．
∵68.75%＜69%．
∴該市八年級(jí)學(xué)生2021年初視力良率符合要求．
22．（10分）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，△BCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．當(dāng)按壓柄△BCD按壓到底時(shí)，BD轉(zhuǎn)動(dòng)到BD′，此時(shí)BD′∥EF（如圖3）．
（1）求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長；
（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．
（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

【分析】（1）由BD'∥EF,求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根據(jù)弧長公式即可求出點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長為＝π；
（2）過D作DG⊥BD'于G,過E作EH⊥BD'于H，Rt△BDG中，求出DG＝BD?sin36°＝3.54,Rt△BEH中，HE＝3.80,故DG+HE≈7.3,即點(diǎn)D到直線EF的距離為7.3cm,
【解答】解：∵BD'∥EF,∠BEF＝108°，
∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，
∵∠DBE＝108°，
∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，
∵BD＝6，
∴點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長為＝π；
（2）過D作DG⊥BD'于G,過E作EH⊥BD'于H，如圖：

Rt△BDG中，DG＝BD?sin36°≈6×0.59＝3.54,
Rt△BEH中，HE＝BE?sin72°≈4×0.95＝3.80,
∴DG+HE＝3.54+3.80＝7.34≈7.3,
∵BD'∥EF,
∴點(diǎn)D到直線EF的距離約為7.3cm,
答：點(diǎn)D到直線EF的距離約為7.3cm．
23．（10分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？
（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．
【分析】（1）解析式化成頂點(diǎn)式即可求得；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三種情況討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值m和最小值n，進(jìn)而根據(jù)m﹣n＝3得到關(guān)于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝（x﹣3）2+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；
（2）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大值＝4，
∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y最小值＝0，
∵當(dāng)3＜x≤4時(shí)，y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，y最小值＝3．
∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值為4，最小值為0；
（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，對(duì)t進(jìn)行分類討論，
①當(dāng)t+3＜3時(shí)，即t＜0，y隨著x的增大而增大，
當(dāng)x＝t+3時(shí)，m＝（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
當(dāng)x＝t時(shí)，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合題意，舍去），
②當(dāng)0≤t＜3時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，
∴m＝4，
i）當(dāng)0≤t≤時(shí)，在x＝t時(shí)，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合題意，舍去）；
ii）當(dāng)＜t＜3時(shí)，在x＝t+3時(shí)，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），
③當(dāng)t≥3時(shí)，y隨著x的增大而減小，
當(dāng)x＝t時(shí)，m＝﹣t2+6t﹣5，
當(dāng)x＝t+3時(shí)，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合題意，舍去），
綜上所述，t＝3﹣或．
24．（12分）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，連結(jié)BD．
[探究1]如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)C′恰好在DB延長線上．若AB＝1，求BC的長．
[探究2]如圖2，連結(jié)AC′，過點(diǎn)D′作D′M∥AC′交BD于點(diǎn)M．線段D′M與DM相等嗎？請(qǐng)說明理由．
[探究3]在探究2的條件下，射線DB分別交AD′，AC′于點(diǎn)P，N（如圖3），發(fā)現(xiàn)線段DN，MN，PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明．

【分析】（1）如圖1，設(shè)BC＝x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，證明△D'C'B∽△ADB，由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線段得出方程，求出x的值即可得出答案；
（2）連接DD'，證明△AC'D'≌△DAB（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠D'AC'＝∠ADB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADD'＝∠AD'D，證出∠MDD'＝∠MD'D，則可得出結(jié)論；
（3）連接AM，證明△AD'M≌△ADM（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠MAD'＝∠MAD，得出MN＝AN，證明△NPA∽△NAD，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，設(shè)BC＝x，

∵矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AB′C′D′，
∴點(diǎn)A，B，D’在同一直線上，
∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，
∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，
∵∠BAD＝∠D'＝90°，
∴D'C'∥DA，
又∵點(diǎn)C'在DB的延長線上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，
∴，
解得x1＝，x2＝（不合題意，舍去），
∴BC＝．
（2）D'M＝DM．
證明：如圖2，連接DD'，

∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M＝∠D'AC'，
∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，
∴△AC'D'≌△DAB（SAS），
∴∠D'AC'＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠AD'M，
∵AD'＝AD，
∴∠ADD'＝∠AD'D，
∴∠MDD'＝∠MD'D，
∴D'M＝DM；
（3）關(guān)系式為MN2＝PN?DN．
證明：如圖3，連接AM，

∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，
∴△AD'M≌△ADM（SSS），
∴∠MAD'＝∠MAD，
∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，
∴△NPA∽△NAD，
∴，
∴AN2＝PN?DN，
∴MN2＝PN?DN．


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