1．圓過定點(diǎn)問題的一般設(shè)問方式
(1)證明以PQ為直徑的圓恒過x或y軸上某定點(diǎn)M(m，0)或M(0，n)；
(2)證明以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M(m，n)；
(3)證明以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M(m，n)；
(4)以PQ為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)M？若是，求出該定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
2．圓過定點(diǎn)問題的一般解法
(1)向量法：基本思想是根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝0．這是解決圓過定點(diǎn)的主要方法．
一般步驟：①設(shè)出M(m，n)及相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或相關(guān)直線的方程；
②根據(jù)題設(shè)條件求出點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)，P(A(t)，B(t))，Q(C(t)，D(t))；
③求出eq \(MP,\s\up6(→))與eq \(MQ,\s\up6(→))的坐標(biāo)，并根據(jù)eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝0，建立方程f(m，n，t)＝0，并整理成tf(m，n)＋g(m，n)＝0；
④根據(jù)圓過定點(diǎn)時與參數(shù)沒有關(guān)系(即方程對參數(shù)t的任意值都成立)，得到方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f?m，n?＝0，,g?m，n?＝0；))
⑤以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是圓所過的定點(diǎn)．
(2)方程法：基本思想是根據(jù)已知條件求出圓的方程，即f(x，y，k)＝0．這種方法用的很少．
一般步驟：①設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或相關(guān)直線的方程；
②根據(jù)題設(shè)條件求出點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)，P(A(t)，B(t))，Q(C(t)，D(t))；
③求出圓的方程f(x，y，t)＝0，并整理成tf(x，y)＋g(x，y)＝0；
④根據(jù)圓過定點(diǎn)時與參數(shù)沒有關(guān)系(即方程對參數(shù)t的任意值都成立)，得到方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f?x，y?＝0，,g?x，y?＝0；))
⑤以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是圓所過的定點(diǎn)．
(3)賦值法：基本思想是從特殊到一般，根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．
【例題選講】
[例1] (2019·北京)已知拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(diǎn)(2，－1)．
(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y＝－1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn)．
[規(guī)范解答] (1)由拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(diǎn)(2，－1)，得p＝2．
所以拋物線C的方程為x2＝－4y，其準(zhǔn)線方程為y＝1．
(2)向量法
拋物線C的焦點(diǎn)為F(0，－1)，設(shè)直線l的方程為y＝kx－1(k≠0)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＝－4y))得x2＋4kx－4＝0．
設(shè)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，則x1x2＝－4．
直線OM的方程為y＝eq \f(y1,x1)x．令y＝－1，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA＝－eq \f(x1,y1)．
同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB＝－eq \f(x2,y2)．設(shè)點(diǎn)D(0，n)，
則eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x1,y1)，－1－n))，eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x2,y2)，－1－n))，
eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(x1x2,y1y2)＋(n＋1)2＝eq \f(x1x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x\\al(2,1),4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x\\al(2,2),4))))＋(n＋1)2＝eq \f(16,x1x2)＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2．
令eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，則n＝1或n＝－3．
綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0，1)和(0，－3)．
[例2] 已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點(diǎn)Q(1，eq \f(3,2))，且離心率e＝eq \f(1,2)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)橢圓C長軸兩端點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的動點(diǎn)，直線l：x＝4與直線PA，PB分別交于M，N兩點(diǎn)，又點(diǎn)E(7，0)，過E，M，N三點(diǎn)的圓是否過x軸上不同于點(diǎn)E的定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
[規(guī)范解答] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，,eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1,,a2＝b2＋c2))，解得a2＝4，b2＝3，故橢圓C的方程為：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)向量法
設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，由橢圓的第三定義知k1k2＝e2－1＝－eq \f(3,4)，
又PA：y＝k1(x＋2)，令x＝4，得M(4，6k1)，
同理：PB：y＝k2(x－2)，令x＝4，得N(4，2k2)，
則kEMkEN＝(－eq \f(6k1,3))(－eq \f(2k2,3))＝－1，過E，M，N三點(diǎn)的圓的直徑為MN．
設(shè)圓過定點(diǎn)R(m，0)，則eq \(RM,\s\up6(→))·eq \(RN,\s\up6(→))＝0，因?yàn)閑q \(RM,\s\up6(→))＝(4－m，6k1)，eq \(RN,\s\up6(→))＝(4－m，2k2)．
所以eq \(RM,\s\up6(→))·eq \(RN,\s\up6(→))＝(4－m)2＋12k1k2＝0，即(4－m)2＝9，解得m＝1或m＝7 (舍)．
故經(jīng)過E，M，N三點(diǎn)的圓是以MN為直徑，過x軸上不同于點(diǎn)E的定點(diǎn)R(1，0)．
[例3] 已知A(－2，0)，B(2，0)，點(diǎn)C是動點(diǎn)且直線AC和直線BC的斜率之積為－eq \f(3,4)．
(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)設(shè)直線l與(1)中軌跡相切于點(diǎn)P，與直線x＝4相交于點(diǎn)Q，判斷以PQ為直徑的圓是否過x軸上一定點(diǎn)．
[規(guī)范解答] (1)設(shè)C(x，y)．由題意得kAC·kBC＝eq \f(y,x＋2)·eq \f(y,x－2)＝－eq \f(3,4)(y≠0)．整理，得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)．
故動點(diǎn)C的軌跡方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)．
(2)方法一：向量法
易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx＋m．
聯(lián)立方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．
依題意得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即3＋4k2＝m2．
設(shè)x1，x2為方程(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0的兩個根，則x1＋x2＝eq \f(－8km,3＋4k2)，所以x1＝x2＝eq \f(－4km,3＋4k2)．
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4km,3＋4k2)，\f(3m,3＋4k2)))，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4k,m)，\f(3,m)))．
又Q(4，4k＋m)，設(shè)R(t，0)為以PQ為直徑的圓上一點(diǎn)，則由eq \(RP,\s\up7(→))·eq \(RQ,\s\up7(→))＝0，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4k,m)－t，\f(3,m)))·(4－t，4k＋m)＝0，整理，得eq \f(4k,m)(t－1)＋t2－4t＋3＝0．
由eq \f(k,m)的任意性，得t－1＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1．
綜上可知以PQ為直徑的圓過x軸上一定點(diǎn)(1，0)．
方法二：向量法
設(shè)P(x0，y0)，則曲線C在點(diǎn)P處的切線PQ：eq \f(x0x,4)＋eq \f(y0y,3)＝1，令x＝4，得Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(3－3x0,y0)))．
設(shè)R(t，0)為以PQ為直徑的圓上一點(diǎn)，則由eq \(RP,\s\up7(→))·eq \(RQ,\s\up7(→))＝0，
得(x0－t)·(4－t)＋3－3x0＝0，即x0(1－t)＋t2－4t＋3＝0．
由x0的任意性，得1－t＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1．
綜上可知，以PQ為直徑的圓過x軸上一定點(diǎn)(1，0)．
[例4] 已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，過橢圓長軸上一點(diǎn)M(m，0)(不含端點(diǎn))作一條直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
(1)若直線AF2，AB，BF2的斜率依次成等差數(shù)列(公差不為0)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若過點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,3)))的直線交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則以EF為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
[規(guī)范解答] (1)由題意知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l的方程為y＝k(x－m)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＝k(x1－m)，y2＝k(x2－m)，因?yàn)閑q \f(y1,x1－1)＋eq \f(y2,x2－1)＝2k，即eq \f(k(x1－m),x1－1)＋eq \f(k(x2－m),x2－1)＝2k，
整理得(x1＋x2)(1－m)＝2(1－m)，又公差不為0，所以x1＋x2＝2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－m)，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，
由x1＋x2＝eq \f(4k2m,1＋2k2)＝2，得k2＝eq \f(1,2(m－1))>0，所以m>1．
又點(diǎn)M(m，0)在橢圓長軸上(不含端點(diǎn))，
所以1b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別是B1，B2，C是B1F2的中點(diǎn)，
若eq \(B1F1,\s\up6(→))·eq \(B1F2,\s\up6(→))＝2且eq \(CF1,\s\up6(→))⊥eq \(B1F2,\s\up6(→))．
(1)求橢圓的方程；
(2)點(diǎn)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，A1，A2分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線QA1，QA2與直線x＝eq \f(4\r(3),3)分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，試證：以EF為直徑的圓與x軸交于定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．已知圓C1：(x＋1)2＋y2＝8，點(diǎn)C2(1，0)，點(diǎn)Q在圓C1上運(yùn)動，QC2的垂直平分線交QC1于點(diǎn)P
(1)求動點(diǎn)P的軌跡W的方程；
(2)過S(0，eq \f(1,3))且斜率為k的動直線l交曲線W于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)D，使得以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
3．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上的動點(diǎn)，△PF1F2的面積最
大值為eq \r(3)，以原點(diǎn)為中心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線3x－4y＋5＝0相切．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l過定點(diǎn)(1，0)且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)，直線AM，BM分別與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，試問以線段PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．
4．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－1，0)，F(xiàn)21，0)，點(diǎn)P(x0，y0)(y0>0)，是橢圓
C上的動點(diǎn)，直線OP的斜率等于eq \f(\r(2),2)時，PF2⊥x軸．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)P且斜率為－eq \f(x0,2y0)的直線l2與直線l1：x＝2相較于點(diǎn)Q，試判斷以PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．
5．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率是eq \f(\r(2),2)，A1，A2分別是橢圓C的左、右兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C
的右焦點(diǎn)．點(diǎn)D是x軸上位于A2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足eq \f (1,|A1D|)＋eq \f (1,|A2D|)＝eq \f (1,|FD|)＝2．
(1)求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)過點(diǎn)D作x軸的垂線n，再作直線l：y＝kx＋m，與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)P，直線l交直線n于點(diǎn)Q．求證：以線段PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

6．已知點(diǎn)A(0，1)，過點(diǎn)D(0，－1)作與x軸平行的直線l1，點(diǎn)B為動點(diǎn)M在直線l1上的投影，且滿足
eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))．
(1)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)已知P為曲線C上的一點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線為l2，若直線l2與直線l1相交與點(diǎn)Q．試探究在y軸上是否存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
7．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(\r(2),2)，并且直線y＝x＋b是拋物線y2＝4x的一條切線．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)S(0，eq \f(1,3))的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，離心率為eq \f(eq \r(2),2)的橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，過原點(diǎn)
O的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓C交于P，O兩點(diǎn)，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PQ的斜率為eq \f(eq \r(2),2)時，|PQ|＝2eq \r(3)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)試問以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)(與PQ的斜率無關(guān))？請證明你的結(jié)論．

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