?2021年廣東省汕頭市濠江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）.
1．在﹣，﹣3，0，5這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（　?。?br /> A．﹣ B．﹣3 C．0 D．5
2．下列是有關(guān)防疫的圖片，其中是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．2020年7月23日，中國首顆火星探測器“天問一號”順利升空，當(dāng)“天問一號”探測器抵達(dá)火星附近時，總飛行里程將達(dá)到470000000公里．470000000這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．4.7×107 B．4.7×108 C．4.7×109 D．47×107
4．下列運(yùn)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2
5．已知一組數(shù)據(jù)：2，5，x，7，9的平均數(shù)是6，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（　?。?br /> A．9 B．7 C．5 D．2
6．下列尺規(guī)作圖，能判斷AD是△ABC邊上的高是（　?。?br /> A． B．
C． D．
7．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
8．如圖，直線y＝kx+b過點A（﹣2，0），B（0，3），則不等式kx+b＞0的解集是（　?。?br />
A．x＞3 B．﹣2＜x＜0 C．﹣2＜x＜3 D．x＞﹣2
9．如圖，CD是△ABC的邊AB上的中線，將線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點E恰好落在AC邊上，若AD＝，BC＝，則AC的長為（　?。?br />
A．3 B．4 C． D．2
10．如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上一動點（不與點B、C重合），連接AP，作射線PD，使∠APD＝60°，PD交AC于點D，已知AB＝a，設(shè)CD＝y(tǒng)，BP＝x，則y與x函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空題（本大題7題，每小題4分，共28分）.請將下列各題的正確答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.
11．分式方程＝的解是　 ?。?br /> 12．分解因式：a2﹣4b2＝　 ?。?br /> 13．若a2﹣2a﹣1＝0，則代數(shù)式2a2﹣4a+3的值為 　 ?。?br /> 14．將一副三角尺按如圖所示的方式疊放（兩條直角邊重合），則∠α的度數(shù)是　 ?。?br />
15．若，則以x+y的值為邊數(shù)的多邊形的內(nèi)角和為 　 ?。?br /> 16．如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以點O為圓心，OA為半徑的⊙O與BC相切于點B，CO的延長線交⊙O于點E，連接AE，若AB＝2，則圖中陰影的面積為 　 ?。?br />
17．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，點P、M、N分別在邊AB、BC、CA上，連接PM、MN，NP，則△PMN周長的最小值為　 ?。?br />
三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）
18．計算：．
19．先化簡，再求值：，其中a＝2，b＝．
20．“校園安全”越來越受到人們的關(guān)注，我市某中學(xué)對部分學(xué)生就校園安全知識的了解程度，采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息回答下列問題：

（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有　 　人，條形統(tǒng)計圖中m的值為　 ??；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為　 ??；
（3）若該中學(xué)共有學(xué)生1800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計出該學(xué)校學(xué)生中對校園安全知識達(dá)到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)為　 　人；
（4）若從對校園安全知識達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
四、解答題（二）（本大題3小題，每小題8分，共24分）
21．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉在兩墻之間，如圖所示：
（1）求證：△ADC≌△CEB；
（2）假設(shè)砌墻所用的每塊磚塊的厚度相同，請你幫小明求出tan∠BCE的值．
22．某種商品的標(biāo)價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．
（1）求該種商品每次降價的百分率；
（2）若該種商品進(jìn)價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元，問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？
23．如圖，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝2BC，點O在邊AB上，且BO＝AB，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓分別交AB，BC于D，E兩點．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）判斷由D，O，E及切點所構(gòu)成的四邊形的形狀，并說明理由．

五、解答題（三）（本大題2小題，每小題10分，共20分）
24．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸是否存在點Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)．
25．如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4，3），反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交矩形ABOC的兩邊AC，AB于E、F兩點（E、F不與A重合），沿著EF將矩形ABOC折疊使A、D兩點重合．
（1）AE＝　 ?。ㄓ煤衚的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，當(dāng)點D恰好落在矩形ABOC的對角線BC上時，求CE的長度；
（3）若折疊后，△ABD是等腰三角形，求此時點D的坐標(biāo)．



參考答案
一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）.
1．在﹣，﹣3，0，5這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（　?。?br /> A．﹣ B．﹣3 C．0 D．5
【分析】根據(jù)正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，兩個負(fù)數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小，即可得出答案．
解：∵||＝，|﹣3|＝3，而，
∴，
∴在﹣，﹣3，0，5這四個數(shù)中，最小的數(shù)是﹣3．
故選：B．
2．下列是有關(guān)防疫的圖片，其中是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念解答．
解：A、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．
故選：A．
3．2020年7月23日，中國首顆火星探測器“天問一號”順利升空，當(dāng)“天問一號”探測器抵達(dá)火星附近時，總飛行里程將達(dá)到470000000公里．470000000這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．4.7×107 B．4.7×108 C．4.7×109 D．47×107
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
解：470000000＝4.7×108．
故選：B．
4．下列運(yùn)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2
【分析】運(yùn)算合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、積的乘方法則逐個計算得結(jié)論．
解：a2+a2＝2a2≠a4，故選項A運(yùn)算錯誤，不符合題意；
a2?a3＝a2+3＝a5≠a6，故選項B運(yùn)算錯誤，不符合題意；
（a2）3＝a6≠a5故選項C運(yùn)算錯誤，不符合題意；
（ab）2＝a2b2故選項D運(yùn)算正確，符合題意．
故選：D．
5．已知一組數(shù)據(jù)：2，5，x，7，9的平均數(shù)是6，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（　?。?br /> A．9 B．7 C．5 D．2
【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義可以先求出x的值，再根據(jù)眾數(shù)的定義即可得出答案．
解：∵數(shù)據(jù)2，5，x，7，9的平均數(shù)為6，
∴x＝6×5﹣2﹣5﹣7﹣9＝7，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7；
故選：B．
6．下列尺規(guī)作圖，能判斷AD是△ABC邊上的高是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】過點A作BC的垂線，垂足為D，則AD即為所求．
解：過點A作BC的垂線，垂足為D，
故選：B．
7．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【分析】先將每一個不等式解出來，然后根據(jù)求解的口訣即可解答．
解：，
解不等式①得：x≥﹣5，
解不等式②得：x＜2，
由大于向右畫，小于向左畫，有等號畫實點，無等號畫空心，
∴不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：


故選：C．
8．如圖，直線y＝kx+b過點A（﹣2，0），B（0，3），則不等式kx+b＞0的解集是（　?。?br />
A．x＞3 B．﹣2＜x＜0 C．﹣2＜x＜3 D．x＞﹣2
【分析】看在x軸上方的函數(shù)圖象所對應(yīng)的自變量的取值即可．
解：由圖象可以看出，x軸上方的函數(shù)圖象所對應(yīng)自變量的取值為x＞﹣2，
則不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2．
故選：D．
9．如圖，CD是△ABC的邊AB上的中線，將線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點E恰好落在AC邊上，若AD＝，BC＝，則AC的長為（　?。?br />
A．3 B．4 C． D．2
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝DE＝，∠ADE＝90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求AE＝AD＝2，∠AED＝45°，BE＝DE＝2，∠BED＝45°，由勾股定理可求CE，即可求解．
解：如圖，連接BE，

∵CD是△ABC的邊AB上的中線，
∴AD＝BD，
∵將線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，
∴AD＝DE＝，∠ADE＝90°，
∴BD＝DE＝，AE＝AD＝2，∠AED＝45°，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝45°，
∴∠AEB＝90°，
∴CE＝＝＝1，
∴AC＝2+1＝3，
故選：A．
10．如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上一動點（不與點B、C重合），連接AP，作射線PD，使∠APD＝60°，PD交AC于點D，已知AB＝a，設(shè)CD＝y(tǒng)，BP＝x，則y與x函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出∠B＝∠C＝60°，由等角的補(bǔ)角相等可得出∠BAP＝∠CPD，進(jìn)而即可證出△ABP∽△PCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出y＝﹣x2+x，對照四個選項即可得出結(jié)論．
解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AB＝a，PC＝a﹣x．
∵∠APD＝60°，∠B＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝120°，∠APB+∠CPD＝120°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣x2+x．
故選：C．

二、填空題（本大題7題，每小題4分，共28分）.請將下列各題的正確答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.
11．分式方程＝的解是　x＝2?。?br /> 【分析】觀察可得這個分式方程的最簡公分母為x（x﹣1），去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，結(jié)果要檢驗．
解：兩邊都乘以x（x﹣1）得：x＝2（x﹣1），
去括號，得：x＝2x﹣2，
移項、合并同類項，得：x＝2，
檢驗：當(dāng)x＝2時，x（x﹣1）＝2≠0，
∴原分式方程的解為：x＝2，
故答案為：x＝2．
12．分解因式：a2﹣4b2＝?。╝+2b）（a﹣2b）?。?br /> 【分析】直接用平方差公式進(jìn)行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案為：（a+2b）（a﹣2b）．
13．若a2﹣2a﹣1＝0，則代數(shù)式2a2﹣4a+3的值為 　5?。?br /> 【分析】將a2﹣2a﹣1＝0變形為a2﹣2a＝1，然后將整體代入所求的代數(shù)式進(jìn)行化簡求值．
解：∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a+3
＝2（a2﹣2a）+3
＝2×1+3
＝2+3
＝5．
故答案為：5．
14．將一副三角尺按如圖所示的方式疊放（兩條直角邊重合），則∠α的度數(shù)是　75°?。?br />
【分析】先根據(jù)∠DAC+∠ACB＝180°，判定AD∥BC，進(jìn)而得出∠B＝∠DAE＝30°，再根據(jù)∠DEB＝∠D+∠DAE進(jìn)行計算即可．
解：∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE＝30°，
∴∠DEB＝∠D+∠DAE＝45°+30°＝75°，
即∠α的度數(shù)是75°．
故答案為：75°．

15．若，則以x+y的值為邊數(shù)的多邊形的內(nèi)角和為 　900°?。?br /> 【分析】根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根的非負(fù)性求出x，y的值，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可．
解：∵+|y+2|＝0，≥0，|y+2|≥0，
∴＝0，|y+2|＝0，
∴x＝9，y＝﹣2，
∴x+y＝9+（﹣2）＝7，
∴以x+y的值為邊數(shù)的多邊形的內(nèi)角和為：（7﹣2）×180°＝900°，
故答案為：900°．
16．如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以點O為圓心，OA為半徑的⊙O與BC相切于點B，CO的延長線交⊙O于點E，連接AE，若AB＝2，則圖中陰影的面積為 　π?。?br />
【分析】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBC＝90°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OA∥BC，CO∥AB，于是得到∠AOB＝∠OBC＝90°，S△AOB＝S△AEB，由扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
解：連接OB，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC＝90°，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA∥BC，CO∥AB，
∴∠AOB＝∠OBC＝90°，S△AOB＝S△AEB，
∴圖中陰影的面積＝S扇形AOB＝＝π，
故答案為：π．

17．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，點P、M、N分別在邊AB、BC、CA上，連接PM、MN，NP，則△PMN周長的最小值為　2?。?br />
【分析】如圖，作點M關(guān)于直線AB、直線AC的對稱點K、H，連接HK交AB于P，交AC于N．根據(jù)△PMN的周長＝PM+MN+PN＝Pk+PN+HN＝HK，所以HK最小時△PMN的周長最小，根據(jù)對稱性，AM＝AK＝AH，∠MAB＝∠BAK，∠MAC＝∠CAH，推出∠KAH＝2（∠MAB+∠MAC）＝90°，推出KH＝AM，所以AM最短時，△PMN的周長最短＝AM，由此即可解決問題．
解：如圖，作點M關(guān)于直線AB、直線AC的對稱點K、H，連接HK交AB于P，交AC于N．

∵△PMN的周長＝PM+MN+PN＝Pk+PN+HN＝HK，
∴HK最小時△PMN的周長最小，
根據(jù)對稱性，AM＝AK＝AH，∠MAB＝∠BAK，∠MAC＝∠CAH，
∴∠KAH＝2（∠MAB+∠MAC）＝90°，
∴KH＝AM，
∴AM最短時，△PMN的周長最短＝AM，
當(dāng)AM⊥BC時，AM的值最短，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，AB＝4，∠B＝60°，
∴AM＝AB＝2，AM＝＝＝2，KH＝2，
∴△PMN的周長的最小值為2．
故答案為：2．
三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）
18．計算：．
【分析】先分別化簡二次根式，絕對值，零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，然后再計算．
解：原式＝2+1﹣1
＝2．
19．先化簡，再求值：，其中a＝2，b＝．
【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后將a、b的值代入化簡后的式子即可．
解：
＝÷
＝
＝，
當(dāng)a＝2，b＝時，原式＝＝2+．
20．“校園安全”越來越受到人們的關(guān)注，我市某中學(xué)對部分學(xué)生就校園安全知識的了解程度，采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息回答下列問題：

（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有　60　人，條形統(tǒng)計圖中m的值為　10??；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為　96°??；
（3）若該中學(xué)共有學(xué)生1800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計出該學(xué)校學(xué)生中對校園安全知識達(dá)到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)為　1020　人；
（4）若從對校園安全知識達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）用“基本了解”的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）用360°乘以扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”部分所占的比例即可；
（3）用總?cè)藬?shù)1800乘以達(dá)到“非常了解”和“基本了解”程度的人數(shù)所占的比例即可；
（4）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰好抽到1個男生和1個女生的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解．
解：（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10；
故答案為：60，10；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)＝360°×＝96°；
故答案為：96°；
（3）該學(xué)校學(xué)生中對校園安全知識達(dá)到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)為：1800×＝1020（人）；
故答案為：1020；
（4）由題意列樹狀圖：

由樹狀圖可知，所有等可能的結(jié)果有12 種，恰好抽到1名男生和1名女生的結(jié)果有8種，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率為＝．
四、解答題（二）（本大題3小題，每小題8分，共24分）
21．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉在兩墻之間，如圖所示：
（1）求證：△ADC≌△CEB；
（2）假設(shè)砌墻所用的每塊磚塊的厚度相同，請你幫小明求出tan∠BCE的值．
【分析】（1）根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可．
（2）根據(jù)全等可得DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，再根據(jù)正切的定義可得答案．
【解答】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）解：由題意得：
∵一塊墻磚的厚度為a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，
∴tan∠BCE＝＝．
22．某種商品的標(biāo)價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．
（1）求該種商品每次降價的百分率；
（2）若該種商品進(jìn)價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元，問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？
【分析】（1）設(shè)該種商品每次降價的百分率為x%，根據(jù)“兩次降價后的售價＝原價×（1﹣降價百分比）的平方”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品（100﹣m）件，根據(jù)“總利潤＝第一次降價后的單件利潤×銷售數(shù)量+第二次降價后的單件利潤×銷售數(shù)量”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．
解：（1）設(shè)該種商品每次降價的百分率為x%，
依題意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：該種商品每次降價的百分率為10%．
（2）設(shè)第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品（100﹣m）件，
第一次降價后的單件利潤為：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降價后的單件利潤為：324﹣300＝24（元/件）．
依題意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
答：為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．第一次降價后至少要售出該種商品23件．
23．如圖，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝2BC，點O在邊AB上，且BO＝AB，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓分別交AB，BC于D，E兩點．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）判斷由D，O，E及切點所構(gòu)成的四邊形的形狀，并說明理由．

【分析】（1）作OF⊥AC于F，如圖，理由三角函數(shù)可得到∠A＝30°，則OA＝2OF，再利用BO＝AB得到OA＝2OB，所以O(shè)F＝OB，于是根據(jù)切線的判定方法可判定AC是⊙O的切線；
（2）先證明△OFD和△OBE都是等邊三角形得到OD＝DF，∠BOE＝60°，則可計算出∠EOF＝60°，從而可判定△OEF為等邊三角形，所以EF＝OE，則有OD＝DF＝EF＝OE，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ODFE為菱形．
【解答】（1）證明：作OF⊥AC于F，如圖，
∵∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴OA＝2OF，
∵BO＝AB，
∴OA＝2OB，
∴OF＝OB，
∴AC是⊙O的切線；

（2）四邊形ODFE為菱形．理由如下：
∵∠A＝30°，
∴∠AOF＝∠B＝60°，
∴△OFD和△OBE都是等邊三角形，
∴OD＝DF，∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△OEF為等邊三角形，
∴EF＝OE，
∴OD＝DF＝EF＝OE，
∴四邊形ODFE為菱形．

五、解答題（三）（本大題2小題，每小題10分，共20分）
24．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。咳舸嬖冢蟪鯭點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）連接BC交對稱軸于Q，在y＝﹣x2﹣2x+3中，得對稱軸為直線x＝﹣1，C（0，3），AC＝，要使得△QAC的周長最小，只需Q、B、C共線，設(shè)直線BC解析式為y＝kx+t，可得直線BC解析式為y＝x+3，即可得Q（﹣1，2）；
（3）過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），則F（a，0），可得EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，即可求出S四邊形BOCE＝S△BEF+S四邊形EFO＝，故當(dāng)時，S四邊形BOCE最大，且最大值為，點E坐標(biāo)為．
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），
∴，
解得：，
∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在Q（﹣1，2），理由如下：
連接BC交對稱軸于Q，如圖：

在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴C（0，3），
而A（1，0），
∴AC＝，
要使得△QAC的周長最小，只需QC+AQ最小，又A、B關(guān)于對稱軸對稱，有QA＝QB，
∴只需QC+QB最小即可，
∴Q、B、C共線時，△QAC的周長最小，
設(shè)直線BC解析式為y＝kx+t，則，
解得，
∴直線BC解析式為y＝x+3，
令x＝﹣1得y＝2，
∴Q（﹣1，2）；
（3）過點E作EF⊥x軸于點F，如圖：

設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），則F（a，0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a﹣（﹣3）＝a+3，OF＝0﹣a＝﹣a，
∴S△BEF＝BF?EF＝（a+3）（﹣a2﹣2a+3），S四邊形EFOC＝（OC+EF）?OF＝（﹣a2﹣2a+3+3）?（﹣a），
∴S四邊形BOCE＝S△BEF+S四邊形EFOC＝＝，
∴當(dāng)時，S四邊形BOCE最大，且最大值為，
此時﹣a2﹣2a+3＝，
∴點E坐標(biāo)為．
25．如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4，3），反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交矩形ABOC的兩邊AC，AB于E、F兩點（E、F不與A重合），沿著EF將矩形ABOC折疊使A、D兩點重合．
（1）AE＝　4﹣?。ㄓ煤衚的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，當(dāng)點D恰好落在矩形ABOC的對角線BC上時，求CE的長度；
（3）若折疊后，△ABD是等腰三角形，求此時點D的坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)可得點E的縱坐標(biāo)為3，所以得CE＝，從而得AE的長；
（2）如圖2中，連接AD交EF于M，想辦法證明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定證明AE＝EC＝2即可；
（3）分三種情況討論：①AD＝BD，②AD＝AB，③AB＝BD，分別計算DN和BN的長確定點D的坐標(biāo)即可解答．
解：（1）∵四邊形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC＝4，OC＝3，
∵點E在反比例函數(shù)y＝上，
∴E（，3），
∴CE＝，
∴AE＝4﹣；
故答案為：4﹣；
（2）如圖2，∵A（4，3），
∴AC＝4，AB＝3，
∴，
∴點F在y＝上，
∴F（4，），
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED＝∠CDE，
連接AD交EF于M點，

∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，
∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，
∴CE＝DE＝AE＝AC＝2；
（3）過D點作DN⊥AB，
①當(dāng)BD＝AD時，如圖3，有∠AND＝90°，AN＝BN＝AB＝，

∴∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠DAN+∠AFM＝90°，
∴∠ADN＝∠AFM，
∴tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∵AN＝，
∴DN＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
②當(dāng)AB＝AD＝3時，如圖4，

在Rt△ADN中，sin∠ADN＝sin∠AFM＝，
∴，
∴AN＝AD＝＝，
∴BN＝3﹣AN＝3﹣＝，
∵DN＝AN＝＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
③當(dāng)AB＝BD時，△AEF≌△DEF，
∴DF＝AF，
∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，
∴DF+BF＝BD，
此時D、F、B三點共線且F點與B點重合，不符合題意舍去，
∴AB≠BD，
綜上所述，所求D點坐標(biāo)為（，）或（，）．

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