?2021年江蘇省鹽城市亭湖區(qū)、大豐區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．（3分）﹣2021的絕對值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
2．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）今年的政府工作報告中指出：去年脫貧攻堅取得決定性成就，農(nóng)村貧困人口減少1109萬．?dāng)?shù)字1109萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．a(chǎn)6÷a2＝a3
C．（﹣3a3）2＝9a6 D．（a+2）2＝a2+4
5．（3分）如圖是由5個大小相同的小正方體組成的幾何體，則它的左視圖是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）設(shè)方程x2﹣3x+2＝0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2的值為（　?。?br /> A．3 B．﹣ C． D．﹣2
7．（3分）肆虐的冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過兩輪傳染將累計會有225人感染（225人可以理解為三輪感染的總?cè)藬?shù)），若設(shè)1人平均感染x人，依題意可列方程（　?。?br /> A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225
8．（3分）如圖，點B在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，點C在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，且BC∥y軸，AC⊥BC，垂足為點C，交y軸于點A．則△ABC的面積為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請將答案直接寫在答題卡的相應(yīng)位置上）
9．（3分）如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是　 　．
10．（3分）一組數(shù)據(jù)2，0，2，1，5，1，8的中位數(shù)為 　 ?。?br /> 11．（3分）因式分解：x2﹣2xy+y2＝　 ?。?br /> 12．（3分）如圖，已知AB∥CD，∠2＝135°，則∠1的度數(shù)是　 ?。?br />
13．（3分）一只不透明的袋子中裝有n個白球和4個黑球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，若摸出白球的概率為，則n＝　 　．
14．（3分）點（m，y1），（m+1，y2）都在函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象上，若y1﹣y2＝2，則k＝　 　．
15．（3分）如圖，半圓O的直徑AB＝8，將半圓O繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′，與AB交于點P，則圖中陰影部分的面積為 　 　．

16．（3分）如圖，點A是邊長為2的正方形DEFG的中心，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，DG∥BC，點P為正方形邊上的一動點，在BP的右側(cè)作∠PBH＝90°且BH＝2PB，則AH的最大值為 　 　．

三、解答題（本大題共有11小題，共102分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟）
17．（6分）計算：﹣（2021﹣π）0+（﹣）﹣3+3tan30°．
18．（6分）解不等式組：．
19．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
20．（8分）4月18日上午7：30，2021鹽城馬拉松在鹽城市鹽南體育中心正式鳴槍開跑，共吸引了來自全國各地約15000名選手同臺競技．本次馬拉松共設(shè)三個項目：全程馬拉松、半程馬拉松、迷你馬拉松．小軍和小峰參加了該賽事的志愿者服務(wù)工作，組委會將志愿者隨機(jī)分配到三個項目組中的一個．
（1）小軍被分配到半程馬拉松項目組的概率為 　 ?。?br /> （2）用樹狀圖或列表法求小軍和小峰被分到同一個項目組的概率．
21．（8分）為了解鹽瀆街道20～60歲居民最喜歡的春節(jié)晚會節(jié)目類型，某興趣小組對街道內(nèi)該年齡段部分居民展開了隨機(jī)問卷調(diào)查（每人只能選擇其中一項），并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理后繪成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）求參與問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形D的圓心角；
（3）該街道20～60歲的居民約9000人，估算這些人中最喜歡歌舞類節(jié)目的人數(shù)．
22．（10分）如圖，△ABC中，點D為AB的中點．
（1）過點B作BP∥AC；（尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡，不寫作法．）
（2）在線段AC上任意找一點E（不與A、C重合），連接ED并延長，交BP于點F，連接BE，AF．求證：四邊形AEBF是平行四邊形．

23．（10分）如圖是小強(qiáng)洗漱時的側(cè)面示意圖，洗漱臺（矩形ABCD）靠墻擺放，高AD＝80cm，寬AB＝48cm，小強(qiáng)身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱時下半身與地面成80°（∠FGK＝80°），身體前傾成125°（∠EFG＝125°），腳與洗漱臺距離GC＝15cm（點D，C，G，E在同一直線上）．
（1）此時小強(qiáng)頭部E點與地面DK相距多少？
（2）小強(qiáng)希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點O的正上方，他應(yīng)向前或后退多少？（cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，≈1.414，計算結(jié)果精確到0.1cm）

24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D、E在⊙O上，連接AE、ED、DA，連接BD并延長至點C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點E是的中點，AE與BC交于點F，
①求證：CA＝CF；
②若⊙O的半徑為3，BF＝2，求AC的長．

25．（10分）疫情期間，某銷售商在網(wǎng)上銷售A、B兩種型號的電腦“手寫板”，其進(jìn)價、售價和每日銷量如表所示：

進(jìn)價（元/個）
售價（元/個）
銷量（個/日）
A型
400
600
200
B型
800
1200
400
根據(jù)市場行情，該銷售商對A型手寫板降價銷售，同時對B型手寫板提高售價，此時發(fā)現(xiàn)A型手寫板每降低5元就可多賣1個，B型手寫板每提高5元就少賣1個．銷售時保持每天銷售總量不變，設(shè)其中A型手寫板每天多銷售x個，每天獲得的總利潤為y元．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（2）要使每天的利潤不低于212000元，求出x的取值范圍；
（3）該銷售商決定每銷售一個B型手寫板，就捐助a元（0＜a≤100）給受“新冠疫情”影響的困難學(xué)生，若當(dāng)30≤x≤40時，每天的最大利潤為203400元，求a的值．
26．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，點E，F(xiàn)，P，Q分別是邊AD，AB，BC，CD上的點，且滿足AE＝CP＝5，AF＝CQ，連接EF，PQ．將△AEF和△CPQ分別沿直線EF，PQ進(jìn)行翻折，得到對應(yīng)的△GEF和△HPQ，連接EH，PG．
（1）（i）求證：∠AEG＝∠CPH；
（ii）判斷四邊形EGPH的形狀并說明理由；
（2）如圖2，若點A，G，P在一條直線上，求四邊形EGPH的周長；
（3）如圖3，若點H，G分別落在EF，PQ上，HP交FG于點M，HQ交EG于點N，求AF的長，并直接寫出四邊形NHMG的面積．

27．（14分）我們不妨約定，過坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點（例如A，B兩點）作x軸的垂線，兩個垂足之間的距離叫做這兩點在x軸上的“足距”，記作．根據(jù)該約定，完成下列各題：
（1）若點A（x1，6），B（x2，﹣4）．當(dāng)點A、B在函數(shù)y＝2x的圖象上時，＝　 ?。划?dāng)點A，B在函數(shù)y＝﹣的圖象上時，＝　 　．
（2）若反比例函數(shù)y＝（k≠1）的圖象上有兩點A（x1，k），B（x2，k2﹣k），當(dāng)＝k時，求正整數(shù)k的值．
（3）在（2）條件下拋物線y＝kx2+2x﹣3與x軸交于A1，B1兩點，與y軸交于點C．如圖，點D是該拋物線的頂點，點P（m，n）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個點，分別連接A1D、A1C、A1P，當(dāng)∠PA1B1＝2∠CA1D時，求m的值．


2021年江蘇省鹽城市亭湖區(qū)、大豐區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．（3分）﹣2021的絕對值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【分析】根據(jù)絕對值的定義直接求得．
【解答】解：﹣2021的絕對值為2021，
故選：A．
2．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C．是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
D．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．
故選：C．
3．（3分）今年的政府工作報告中指出：去年脫貧攻堅取得決定性成就，農(nóng)村貧困人口減少1109萬．?dāng)?shù)字1109萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，故先將1109萬換成11090000，再按照科學(xué)記數(shù)法的表示方法表示即可得出答案．
【解答】解：∵1109萬＝11090000，
∴11090000＝1.109×107．
故選：A．
4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（　?。?br /> A．3a+2a＝5a2 B．a(chǎn)6÷a2＝a3
C．（﹣3a3）2＝9a6 D．（a+2）2＝a2+4
【分析】根據(jù)合并同類項法則；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘底數(shù)不變指數(shù)相加；完全平方公式；對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故A錯誤；
B、a6÷a2＝a4，故B錯誤；
C、（﹣3a3）2＝9a6，故C正確；
D、（a+2）2＝a2+4a+4，故D錯誤．
故選：C．
5．（3分）如圖是由5個大小相同的小正方體組成的幾何體，則它的左視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
【解答】解：從左面看易得第一層有1個正方形，第二層有2個正方形，如圖所示：．
故選：B．
6．（3分）設(shè)方程x2﹣3x+2＝0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2的值為（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】本題可利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出該一元二次方程的二次項系數(shù)以及一次項系數(shù)的值，代入公式求值即可．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次項系數(shù)a＝1，一次項系數(shù)b＝﹣3，
由根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故選：A．
7．（3分）肆虐的冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過兩輪傳染將累計會有225人感染（225人可以理解為三輪感染的總?cè)藬?shù)），若設(shè)1人平均感染x人，依題意可列方程（　?。?br /> A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225
【分析】此題可設(shè)1人平均感染x人，則第一輪共感染（x+1）人，第二輪共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根據(jù)題意列方程即可．
【解答】解：設(shè)1人平均感染x人，
依題意可列方程：1+x+（1+x）x＝（x+1）2＝225，
故選：C．
8．（3分）如圖，點B在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，點C在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，且BC∥y軸，AC⊥BC，垂足為點C，交y軸于點A．則△ABC的面積為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】過B點作BH⊥y軸于H點，BC交x軸于D，如圖，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到，S矩形OACD＝2，S矩形ODBH＝6，則S矩形ACBH＝8，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出△ABC的面積．
【解答】解：過B點作BH⊥y軸于H點，BC交x軸于D，如圖，

∵BC∥y軸，AC⊥BC，
∴四邊形ACDO和四邊形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD＝|2|＝2，
S矩形ODBH＝|﹣6|＝6，
∴S矩形ACBH＝8，
∴S△ACB＝S矩形ACBH＝4．
故選：B．
二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請將答案直接寫在答題卡的相應(yīng)位置上）
9．（3分）如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是　x≥2?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：x﹣2≥0，
∴x≥2，
故答案是：x≥2．
10．（3分）一組數(shù)據(jù)2，0，2，1，5，1，8的中位數(shù)為 　2?。?br /> 【分析】將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
【解答】解：這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：0，1，1，2，2，5，8，
所以中位數(shù)為2，
故答案為：2．
11．（3分）因式分解：x2﹣2xy+y2＝?。▁﹣y）2　．
【分析】根據(jù)完全平方公式直接解答即可．
【解答】解：原式＝（x﹣y）2．
故答案為（x﹣y）2．
12．（3分）如圖，已知AB∥CD，∠2＝135°，則∠1的度數(shù)是　45°　．

【分析】先求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠1＝∠3，代入求出即可．
【解答】解：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠2＝135°，
∴∠3＝180°﹣135°＝45°，
∴∠1＝45°，
故答案為：45°．
13．（3分）一只不透明的袋子中裝有n個白球和4個黑球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，若摸出白球的概率為，則n＝　8?。?br /> 【分析】直接根據(jù)概率公式列出方程求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意得：＝，
解得：n＝8；
故答案為：8．
14．（3分）點（m，y1），（m+1，y2）都在函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象上，若y1﹣y2＝2，則k＝　﹣2?。?br /> 【分析】利用待定系數(shù)法將點（m，y1），（m+1，y2）的坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)＝kx+b（k≠0）中，得到若y1、y2的值，利用y1﹣y2＝2可求得結(jié)論．
【解答】解：∵點（m，y1），（m+1，y2）都在函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象上，
∴y1＝km+b，y2＝k（m+1）+b，
∵y1﹣y2＝2，
∴km+b﹣[k（m+1）+b]＝2，
解得：k＝﹣2．
故答案為：﹣2．
15．（3分）如圖，半圓O的直徑AB＝8，將半圓O繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′，與AB交于點P，則圖中陰影部分的面積為 　4π+8?。?br />
【分析】根據(jù)題意和扇形面積計算公式、三角形的面積公式，可以計算出圖中陰影部分的面積，本題得以解決．
【解答】解：由已知可得，AB＝8，∠OBO′＝45°，
弓形PB的面積是：﹣＝4π﹣8，
陰影部分的面積是：π×42﹣（4π﹣8）＝8π﹣4π+8＝4π+8，
故答案為4π+8．
16．（3分）如圖，點A是邊長為2的正方形DEFG的中心，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，DG∥BC，點P為正方形邊上的一動點，在BP的右側(cè)作∠PBH＝90°且BH＝2PB，則AH的最大值為 　2　．

【分析】連結(jié)AP，CH，并延長PA，HC交于點M，PA交BH于點N，證明CH等于兩倍的AP，且CH垂直AP，從而判斷H的運(yùn)動軌跡為以C為中心的正方形E′F′G′D′，且正方形E′F′G′D′的邊長為正方形DEFG的兩倍，從而確定當(dāng)H與F'重合時，AH最大，求出AF'即可．
【解答】解：連結(jié)AP，CH，并延長PA，HC交于點M，PA交BH于點N，
∵∠PBH＝∠ABC＝90°，
∴∠PBA＝∠HBC，
∴，
∴△PBA∽△HBC，
∴CH＝2PA，∠BPA＝∠BHC，
∴∠MAH+∠AHM
＝∠MAH+∠AHB+∠BHC
＝∠PNB+∠BPA＝90°，
∴∠M＝90°，
∴CH⊥PA，
∵P是以點A為中心的正方形DEFG的邊上的動點，
∴H的軌跡為以C為中心的正方形E′F′G′D′，且正方形E′F′G′D′的邊長為正方形DEFG的兩倍，
如下圖所示：

當(dāng)H與F'重合時，AH最大，
延長AB，F(xiàn)'G'交于點K，
則AK＝4，KF'＝6，
∴，
∴AH的最大值為．
三、解答題（本大題共有11小題，共102分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟）
17．（6分）計算：﹣（2021﹣π）0+（﹣）﹣3+3tan30°．
【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，再利用實數(shù)的加減運(yùn)算法則計算得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣8+3×
＝3﹣1﹣8+
＝﹣6+．
18．（6分）解不等式組：．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
則不等式組的解集為﹣1≤x＜2．
19．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把x的值代入進(jìn)行計算即可．
【解答】解：原式＝?
＝，
當(dāng)x＝﹣1時，原式＝＝．
20．（8分）4月18日上午7：30，2021鹽城馬拉松在鹽城市鹽南體育中心正式鳴槍開跑，共吸引了來自全國各地約15000名選手同臺競技．本次馬拉松共設(shè)三個項目：全程馬拉松、半程馬拉松、迷你馬拉松．小軍和小峰參加了該賽事的志愿者服務(wù)工作，組委會將志愿者隨機(jī)分配到三個項目組中的一個．
（1）小軍被分配到半程馬拉松項目組的概率為 　?。?br /> （2）用樹狀圖或列表法求小軍和小峰被分到同一個項目組的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，小軍和小峰被分到同一個項目組的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小軍被分配到半程馬拉松項目組的概率為，
故答案為：；
（2）把三個項目：全程馬拉松、半程馬拉松、迷你馬拉松，分別記為：A、B、C，
畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，小軍和小峰被分到同一個項目組的結(jié)果有3種，
∴小軍和小峰被分到同一個項目組的概率為．
21．（8分）為了解鹽瀆街道20～60歲居民最喜歡的春節(jié)晚會節(jié)目類型，某興趣小組對街道內(nèi)該年齡段部分居民展開了隨機(jī)問卷調(diào)查（每人只能選擇其中一項），并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理后繪成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）求參與問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形D的圓心角；
（3）該街道20～60歲的居民約9000人，估算這些人中最喜歡歌舞類節(jié)目的人數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)A類的人數(shù)和所占的百分比可以求得本次參與問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）根據(jù)C類所占的百分比可以求得C類的人數(shù)，然后可以得到C類41～60的人數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整，然后根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以計算出扇形D的圓心角的度數(shù)；
（3）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以計算出這些人中最喜歡歌舞類節(jié)目的人數(shù)．
【解答】解：（1）（120+80）÷40%＝200÷40%＝500（人），
即參與問卷調(diào)查的一共有500人；
（2）喜歡C類的41～64歲的人數(shù)是：500×15%﹣15＝60，
補(bǔ)全的條形統(tǒng)計圖如右圖所示，
扇形D的圓心角是：360°×＝36°；
（3）9000×＝3150（人），
答：這些人中最喜歡歌舞類節(jié)目的有3150人．
22．（10分）如圖，△ABC中，點D為AB的中點．
（1）過點B作BP∥AC；（尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡，不寫作法．）
（2）在線段AC上任意找一點E（不與A、C重合），連接ED并延長，交BP于點F，連接BE，AF．求證：四邊形AEBF是平行四邊形．

【分析】（1）作∠PBA＝∠A即可；
（2）利用ASA證明△ADE≌△BDF，可得AE＝BF，進(jìn)而可以證明四邊形AEBF是平行四邊形．
【解答】解（1）如圖所示：BP∥AC；

所以BP即為所求；
（2）如圖所示：

∵BP∥AC
∴∠FBA＝∠EAB
∵點D為AB的中點
∴AD＝BD
在△ADE和△BDF中，

∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF
∵BP∥AC
∴四邊形AEBF是平行四邊形．
23．（10分）如圖是小強(qiáng)洗漱時的側(cè)面示意圖，洗漱臺（矩形ABCD）靠墻擺放，高AD＝80cm，寬AB＝48cm，小強(qiáng)身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱時下半身與地面成80°（∠FGK＝80°），身體前傾成125°（∠EFG＝125°），腳與洗漱臺距離GC＝15cm（點D，C，G，E在同一直線上）．
（1）此時小強(qiáng)頭部E點與地面DK相距多少？
（2）小強(qiáng)希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點O的正上方，他應(yīng)向前或后退多少？（cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，≈1.414，計算結(jié)果精確到0.1cm）

【分析】（1）過點F作FN⊥DK于N，過點E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的長，即可解決問題；
（2）過點E作EP⊥AB于點P，延長OB交MN于H，求出OH、PH的長，即可解決問題．
【解答】解：（1）過點F作FN⊥DK于N，過點E作EM⊥FN于M，
∵EF+FG＝166cm，F(xiàn)G＝100cm，
∴EF＝166﹣100＝66（cm），
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100?sin80°≈100×0.98＝98（cm），
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝66?cos45°＝33≈46.66（cm），
∴MN＝FN+FM≈144.7（cm），
即此時小強(qiáng)頭部E點與地面DK相距約為144.7cm；
（2）過點E作EP⊥AB于點P，延長OB交MN于H，
∵AB＝48，O為AB中點，
∴AO＝BO＝24（cm），
∵EM＝66?sin45°＝66×＝33≈46.66（cm），
∴PH≈46.66（cm），
∵GN＝100?cos80°≈100×0.17＝17（cm），CG＝15（cm），
∴OH＝24+15+17＝56（cm），OP＝OH﹣PH＝9.34≈9.3（cm），
即小強(qiáng)應(yīng)向前9.3cm．

24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D、E在⊙O上，連接AE、ED、DA，連接BD并延長至點C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點E是的中點，AE與BC交于點F，
①求證：CA＝CF；
②若⊙O的半徑為3，BF＝2，求AC的長．

【分析】（1）根據(jù)AB是⊙O的直徑，可得∠ADB＝90°，證明∠CAB＝90°，即可得結(jié)論；
（2）①根據(jù)點E是的中點，可得∠DAE＝∠BAE，證明∠CFA＝∠CAF，可得CA＝CF；
②設(shè)CA＝CF＝x，則BC＝CF+BF＝x+2，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，即可得AC的長．
【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠DBA＝∠DEA．∠DAC＝∠DEA，
∴∠DAC＝∠DBA，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，∠CAB＝90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）①證明：∵點E是的中點，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵∠CFA＝∠DBA+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，∠DAC＝∠DBA，
∴∠CFA＝∠CAF，
∴CA＝CF；
②解：設(shè)CA＝CF＝x，
則BC＝CF+BF＝x+2，
∵⊙O的半徑為3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得
CA2+AB2＝BC2，
∴x2+62＝（x+2）2，
解得x＝8，
∴AC＝8．
25．（10分）疫情期間，某銷售商在網(wǎng)上銷售A、B兩種型號的電腦“手寫板”，其進(jìn)價、售價和每日銷量如表所示：

進(jìn)價（元/個）
售價（元/個）
銷量（個/日）
A型
400
600
200
B型
800
1200
400
根據(jù)市場行情，該銷售商對A型手寫板降價銷售，同時對B型手寫板提高售價，此時發(fā)現(xiàn)A型手寫板每降低5元就可多賣1個，B型手寫板每提高5元就少賣1個．銷售時保持每天銷售總量不變，設(shè)其中A型手寫板每天多銷售x個，每天獲得的總利潤為y元．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（2）要使每天的利潤不低于212000元，求出x的取值范圍；
（3）該銷售商決定每銷售一個B型手寫板，就捐助a元（0＜a≤100）給受“新冠疫情”影響的困難學(xué)生，若當(dāng)30≤x≤40時，每天的最大利潤為203400元，求a的值．
【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（2）根據(jù)題意可以得到關(guān)于x的方程，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到x的取值范圍；
（3）根據(jù)題意，可以得到相應(yīng)的方程，然后即可得到a的值．
【解答】解：（1）由題意得，
y＝（600﹣400﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+800x+200000，（0≤x≤40且x為整數(shù)），
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣10x2+800x+200000，（0≤x≤40且x為整數(shù)）；
（2）∵y＝﹣10x2+800x+200000＝﹣10（x﹣40）2+216000，
∴當(dāng)y＝212000時，﹣10（x﹣40）2+216000＝212000，
解得：x1＝20，x2＝60，
要使y≥212000，則20≤x≤60，
∵0≤x≤40，
∴20≤x≤40，
即x的取值范圍是：20≤x≤40；
（3）設(shè)捐款后每天的利潤為w元，則
w＝﹣10x2+800x+200000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（800+a）x+200000﹣400a，
對稱軸為，
∵0＜a≤100，
∴，
∵拋物線開口向下，當(dāng)30≤x≤40時，w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝40時，w最大，
∴﹣10×402+40（800+a）+200000﹣400a＝203400，
解得，a＝35．
26．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，點E，F(xiàn)，P，Q分別是邊AD，AB，BC，CD上的點，且滿足AE＝CP＝5，AF＝CQ，連接EF，PQ．將△AEF和△CPQ分別沿直線EF，PQ進(jìn)行翻折，得到對應(yīng)的△GEF和△HPQ，連接EH，PG．
（1）（i）求證：∠AEG＝∠CPH；
（ii）判斷四邊形EGPH的形狀并說明理由；
（2）如圖2，若點A，G，P在一條直線上，求四邊形EGPH的周長；
（3）如圖3，若點H，G分別落在EF，PQ上，HP交FG于點M，HQ交EG于點N，求AF的長，并直接寫出四邊形NHMG的面積．

【分析】（1）（i）證明△AEF≌△CPQ（SAS），推出∠AEF＝∠CPQ，可得結(jié)論．
（ii）四邊形EGPH是平行四邊形．證明EG＝PH，EG∥PH，即可．
（2）想辦法求出PG，利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可．
（3）延長EF交CB的延長線于T，過點T作TR⊥DA交DA的延長線于R，連接CH．想辦法求出AF＝10，證明PM＝PB＝4，BF＝FM＝2，推出HM＝1，MG＝8，再證明四邊形MGNH是矩形，可得結(jié)論．
【解答】（1）（i）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵AE＝CP，AF＝CQ，
∴△AEF≌△CPQ（SAS），
∴∠AEF＝∠CPQ，
由翻折的性質(zhì)可知，∠AEG＝2∠AEF∠CPH＝2∠CPQ，
∴∠AEG＝∠CPH．

（ii）解：結(jié)論：四邊形EGPH是平行四邊形．
理由：如圖1中，延長EG交CB的延長線于T．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠T，
∵∠AEG＝∠CPH，
∴∠T＝∠CPH，
∴EG∥PH，
∵AE＝EG，PC＝PH，AE＝PC，
∴EG＝PH，
∴四邊形EGPH是平行四邊形．

（2）解：如圖2中，設(shè)AP交EF于J．

在Rt△ABP中，AB＝12，BP＝4，
∴AP＝＝＝4，
∵EA＝EG，AF＝FG，
∴EF垂直平分線段AG，
∴∠AEF+∠EAJ＝90°，
∵∠EAJ+∠BAP＝90°，
∴∠AEF＝∠BAP，
∵∠AJE＝∠ABP＝90°，
∴△EJA∽△ABP，
∴＝，
∴＝，
∴AJ＝，
∴AG＝2AJ＝，
∴PG＝AP﹣AG＝3，
∵四邊形EGPH是平行四邊形，
∴EG＝PH＝5，PG＝EH＝3，
∴四邊形EGPH的周長為10+6．

（3）解：延長EF交CB的延長線于T，過點T作TR⊥DA交DA的延長線于R，連接CH．

∵EF∥PG，CH⊥PG，
∴CH⊥ET，
∴∠CHT＝90°，
∵PC＝PH＝5，
∴∠PCH＝∠PHC，
∵∠PTH+∠PCH＝90°，∠PHT+∠PHC＝90°，
∴∠PTH＝∠PHT，
∴PH＝PT＝5，
∵PB＝4，
∴BT＝PT﹣PB＝1，
∵∠R＝∠RAB＝∠ABT＝90°，
∴四邊形ARTB是矩形，
∴AR＝BT＝1，RT＝AB＝12，
∵AF∥RT，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝10，BF＝2，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠EAF＝∠PBF＝90°，
∴△AEF∽△BFP，
∴∠AFE＝∠FPB，
∵∠FPB+∠PFB＝90°，
∴∠AFE+∠PFB＝90°，
∴∠EFP＝90°，
∵∠EFG+∠PFG＝90°，
∴∠PFB＝∠PFM，
∵∠PMF＝∠PBF，PF＝PF，
∴△PFM≌△PFB（AAS），
∴PB＝PM＝4，BF＝FM＝2，
∵PH＝PC＝5，
∴HM＝1，
∵FA＝FG＝10，
∴MG＝FG﹣FM＝10﹣2＝8，
∵∠MHN＝∠HMG＝∠MGN＝90°，
∴四邊形MGHN是矩形，
∴四邊形MGNH的面積＝1×8＝8．
27．（14分）我們不妨約定，過坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點（例如A，B兩點）作x軸的垂線，兩個垂足之間的距離叫做這兩點在x軸上的“足距”，記作．根據(jù)該約定，完成下列各題：
（1）若點A（x1，6），B（x2，﹣4）．當(dāng)點A、B在函數(shù)y＝2x的圖象上時，＝　5??；當(dāng)點A，B在函數(shù)y＝﹣的圖象上時，＝　10?。?br /> （2）若反比例函數(shù)y＝（k≠1）的圖象上有兩點A（x1，k），B（x2，k2﹣k），當(dāng)＝k時，求正整數(shù)k的值．
（3）在（2）條件下拋物線y＝kx2+2x﹣3與x軸交于A1，B1兩點，與y軸交于點C．如圖，點D是該拋物線的頂點，點P（m，n）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個點，分別連接A1D、A1C、A1P，當(dāng)∠PA1B1＝2∠CA1D時，求m的值．

【分析】（1）根據(jù)題意，把A、B兩點的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式y(tǒng)＝2x中，可分別求得x1與x2的值，則由“足距”的定義可得：＝|x1﹣x2|，從而可求得結(jié)果；同理可求得當(dāng)點A、B在y＝﹣的圖象上時的；
（2）根據(jù)題意，把A、B兩點的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式y(tǒng)＝中，可分別求得x1與x2的值，根據(jù)＝k，從而可求得k的結(jié)果；
（3）連接CD，過點P作PH⊥x軸于點H，作∠PA1B1的平分線A1G交PH于點G，過點G作GM⊥A1P于點M，易得△A1CD是直角三角形，可得tan∠MA1G＝tan∠GA1H＝tan∠CA1D＝，根據(jù)點P及點M的坐標(biāo)可得A1H及PH的長度，從而可得PG的長度，易得△PMG∽△PHA1，從而可得PM，在Rt△PMG中，由勾股定理可建立關(guān)于m，n的方程，再根據(jù)點P在拋物線上，也可得關(guān)于m，n的方程，解方程組即可求得m的值．
【解答】解：（1）由題意得：2x1＝6，2x2＝﹣4，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
∴＝|x1﹣x2|＝|3﹣（﹣2）|＝5；
將A（x1，6），B（x2，﹣4）代入y＝﹣，得：
6＝﹣，﹣4＝﹣，
∴x1＝﹣4，x2＝6，
∴＝|x2﹣x1|＝|6﹣（﹣4）|＝10；
故答案為：5；10．
（2）∵A（x1，k），B（x2，k2﹣k）在反比例函數(shù)y＝（k≠1）的圖象上，
∴x1＝，x2＝，
∵＝k，
∴|﹣|＝k，
∴|k﹣2|＝k2，
當(dāng)k﹣2＞0時，k2﹣k+2＝0，
此時無解，
當(dāng)k﹣2＜0時，k2+k﹣2＝0，
解：k＝﹣2或1，
∵k為正整數(shù)，且x≠1，
∴k不可能為正整數(shù)．
（3）如圖，連接CD，過點P作PH⊥x軸于點H，作∠PA1B1的平分線A1G交PH于點G，過點G作GM⊥A1P于點M，
由拋物線y＝x2+2x﹣3可得：對稱軸為直線x＝﹣1，
∴D（﹣1，﹣4），
∵A1（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴A1D＝2，CD＝，A1C＝3，
∵A1D2＝（2）2＝20，CD2+A1C2＝20，
∴A1D2＝CD2+A1C2，
∴△A1CD是直角三角形，
∴tan∠CA1D＝＝，
∵A1G平分∠PA1B1，GM⊥A1P1，GH⊥A1B1，
∴∠PA1B1＝2∠MA1G＝2∠GA1H，GH＝GM，∠PMG＝∠PHA1＝90°，
∵∠PA1B1＝2∠CA1D，
∴∠MA1G＝∠GA1H＝∠CA1D，
∴tan∠MA1G＝tan∠GA1H＝tan∠CA1D＝，
∵P（m，n），A1（﹣3，0），
∴A1H＝3+m，PH＝n，
∴GH＝GM＝A1H?tan∠GA1H＝，
∵∠PMG＝∠PHA1＝90°，∠A1PH＝∠A1PH，
∴△PMG∽△PHA1，
∴＝，即＝，
∴PM＝，
∴PG＝PH﹣GH＝n﹣，
在Rt△PMG中，PM2+GM2＝PG2，
∴（）2+（）2＝（n﹣）2，
∴n＝m+①，
∵點P在拋物線y＝x2+2x﹣3上，
∴n＝m2+2m﹣3②，
聯(lián)立①②式可得：4m2+5m﹣21＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝，
∵點P（m，n）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個點，
∴m＝．



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